河北省邢台市质检联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷（Word版附解析）

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1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
令双曲线方程的右边为0，两侧开方，整理后就得到双曲线的渐近线方程．
【详解】解：双曲线标准方程为，
其渐近线方程是，
整理得．
故选：．
【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．属于基础题．
2. 关于空间向量，下列运算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量数量积的运算律判断即可.
【详解】根据空间向量数量积的运算律可知：，，
均成立，即A、B、C正确；
为与共线的向量，
为与共线的向量，所以与不一定相等，故D错误．
故选：D
3. 已知椭圆的离心率为，且过点，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用椭圆中的关系求解即可.
【详解】由题意可得解得，
所以椭圆的方程为.
故选：A
4. 已知，，，若，，共面，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. －1
【答案】D
【解析】
【分析】由空间向量共面的基本定理求解即可；
【详解】因为共面，所以，
即，
则解得.
故选：D.
5. 图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立直角坐标系，直线交抛物线于两点，抛物线方程为，代入抛物线，解得答案.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则点.设抛物线的方程为，
由点可得，解得，所以.
当时，，所以水面宽度为.
故选：C.
6. 已知椭圆，过点的直线交于、两点，且是的中点，则直线的斜率为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设、，利用点差法可求得直线的斜率.
【详解】若线段轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，所以，直线的斜率存在，
设、，由题意可得，，
则，两式相减可得，
所以，，解得，
因此，直线的斜率为.
故选：A.
7. 若动圆过定点，且和定圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A. （）B. （）
C. （）D. （）
【答案】D
【解析】
【分析】根据动圆与定圆外切得出，再由双曲线定义判断
动点轨迹，写出方程即可.
【详解】定圆的圆心为，与关于原点对称.
设，由两圆外切可得，
所以,
所以的轨迹为双曲线的右支.
设的轨迹方程为，则，
所以轨迹方程为.
故选：D
8. 已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，根据，得出的轨迹方程，再结合条件为直线上的点，得到直线与圆的位置关系，即可求解.
【详解】设，则，，
因，所以，
即，所以点在以为圆心，4为半径的圆上.
点在直线上，
所以直线与圆有公共点，
则，解得
故选:B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知抛物线的焦点为，直线与在第一象限的交点为，过点作的准线的垂线，垂足为，下列结论正确的是（ ）
A. 直线过点B. 直线的倾斜角为
C. D. 是等边三角形
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出抛物线的焦点，代入验证可判断A；由直线的斜率求出倾斜角可判断B；由与直线的倾斜角的关系可判断C；由抛物线定义可知，进而判断的形状，从而判断D.
【详解】抛物线的焦点为，而，所以直线过点，故A正确；
设直线的倾斜角，因为直线的斜率为，，
所以，即直线的倾斜角为，故B正确；
因为，故C错误；
因为点在抛物线上，由抛物线定义可知，，
又，所以是等边三角形，故D正确.
故选：ABD.

10. 圆和圆的交点为，，点在圆上，点在圆上，则（ ）
A. 直线的方程为
B. 线段的中垂线方程为
C.
D. 点与点之间的距离的最大值为8
【答案】ABD
【解析】
【分析】将两圆的方程作差可得A正确；由圆的一般方程变成标准方程，求出圆心，再由线段的中垂线经过和的圆心可得B正确；由几何法求出弦长可得C错误；由最大距离等于两半径之和加圆心距可得D正确；
【详解】对于A，将两圆的方程作差，可得，即直线的方程为，A正确.
对于B，圆，圆，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，，线段的中垂线经过和的圆心，故线段的中垂线方程为，故B正确.
对于C，圆的圆心到直线的距离为，故，C错误.
对于D，点与点之间的距离的最大值为，D正确.
故选：ABD.
11. 若平面，平面，平面，则称点F为点E在平面内的正投影，记为如图，在直四棱柱中，，， 分别为，的中点，，记平面为，平面ABCD为，，（ ）

A. 若，则
B. 存在点H，使得平面
C. 线段长度的最小值是
D. 存在点H，使得
【答案】ABC
【解析】
【分析】先建系，对于选项A，先证Q，B，N，P四点共面，再计算的值；对于选项B，先找出，，可得是平面的一个法向量，结合平面，则，依此求出H的位置；对于选项C，表示出，求解其最小值即可；对于D，依据，则，从而可判定H的存在性.
【详解】对于A：因为为直四棱柱，，所以以A为坐标原点，AD，AB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，连接PQ，

则，，，，，
故，，
所以，即Q，B，N，P四点共面，
若，则，解得，A正确；
对于B：过点H作，交于点G，过点G作AB的垂线，垂足即，
过点A作的垂线，垂足即，连接，，由题意可得，
则，，，，
故，，，，
易得是平面的一个法向量，若平面，
则，即，解得，符合题意，
所以存在点H，使得平面，B正确，
对于C：，
当时，取得最小值，最小值为，C正确.
对于D：若，则，
得，无解，所以不存在点H，使得，D错误.
故选：ABC
【点睛】关键点点睛：根据题意可知在平面上，然后建立坐标系，根据投影表示所需要点的坐标，然后利用坐标计算即可.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若直线与互相垂直，则______.
【答案】1
【解析】
【分析】根据两直线垂直的条件（斜率存在时）即可求解.
【详解】直线的斜率，则直线的斜率，解得.
故答案为：1
13. 如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则__________.
【答案】6
【解析】
【分析】，为等边三角形，利用向量数量积的定义求即可.
【详解】棱长为的正方体中，
连接，则是边长为的等边三角形，
..
故选：
14. 已知椭圆与双曲线有公共焦点与在第一象限的交点为，且，记的离心率分别为，则__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得，根据勾股定理化简可得，结合离心率定义即可得结果.
【详解】由题意可知，，
所以.
因为，所以，即，
所以，
故答案为：2.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知在中，，，，记的外接圆为圆.
（1）求圆的标准方程；
（2）求过点且与圆相切的直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）方法一，求两条线段垂直平分线的交点确定圆心，圆心到圆上一点的距离确定半径，从而得到圆的方程；
方法二，设出圆的标准方程，待定系数法求圆的方程.
（2）先求圆心与点连线的斜率，利用垂直关系，确定切线斜率，再利用点斜式即可求解切线方程.
【小问1详解】
（方法一）直线的方程为，、的中点为，
所以线段的中垂线方程为，
直线的方程为，、的中点为，
线段的中垂线方程为.
直线与直线的交点为，即圆的圆心为.
点与点的距离为，
即圆的半径为，所以圆的标准方程为.
（方法二）设圆的标准方程为，
则，
解得
故圆的标准方程为
【小问2详解】
圆的圆心为，，直线的斜率为，
所以切线斜率为，所求切线方程为，
整理得.
16. 如图，长方体的底面是正方形，分别为的中点，.

（1）证明：平面.
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，由空间向量坐标运算，即可证明线面平行；
（1）由空间向量的坐标运算结合二面角的公式代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】

设，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为n=x,y,z，
则即
令，则.
证明：.
因为，所以，
平面ACD1，所以平面.
【小问2详解】
易知为平面的一个法向量，且.
.
易得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
17. 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过点且与轴垂直的直线交于两点，是与的一个公共点，，.
（1）求与的标准方程；
（2）过点且与相切的直线与交于点，求.
【答案】（1）的标准方程为，的标准方程为
（2）
【解析】
【分析】（1）由抛物线的定义代入计算，即可求得的标准方程，再将点的坐标代入椭圆方程，即可得到的标准方程；
（2）根据题意，联立直线与抛物线方程，结合弦长公式，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
记，则抛物线的方程为，其准线方程为.
因为，所以，解得，则的标准方程为.
不妨设点在第一象限，记，因为，
所以，解得.因为，所以，即.
由解得
所以的标准方程为.
【小问2详解】
不妨设点在第一象限，则.
设直线.
联立得.
由，解得，则.
设.
联立得，则，
故.
18. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面.
（1）证明：.
（2）点在线段上，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证平面，再由其性质定理即可证明；
（2）根据题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算以及线面角的公式代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
证明：取的中点，连接.
因为为等边三角形，所以.
因为为等腰直角三角形，且，所以.
因为平面平面，所以平面，
所以.
【小问2详解】
因为平面平面，平面平面平面，所以平面.
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，则
.
设平面的法向量为n=x,y,z，
则即
令，则，所以.
设直线与平面所成的角为，
则
，当且仅当时，等号成立.
故直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
19. 已知为坐标原点，双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0左､右顶点分别为，圆过点，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且.
（1）求的方程；
（2）过点且斜率不为0的直线与双曲线的左､右两支的交点分别为，，连接并延长，交双曲线于点，记直线与直线的交点为，证明：点在曲线上.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由圆过点得，由已知得是等边三角形，进而得渐近线的斜率，即可求出，即可得出的方程；
（2）设直线，联立直线与双曲线的方程，根据韦达定理得，将直线与直线的方程变形可得.由及计算可证得结论.
【小问1详解】
因为圆过点，得，所以，.
在中，，
所以，
所以是等边三角形，.
双曲线一条渐近线的斜率为，即，所以.
故的方程为.
【小问2详解】
证明点在曲线上，即证明点在曲线上.
设直线，则.
联立得，
则.
直线的方程为，直线的方程为
将直线与直线的方程变形可得,
即,
得，
即，
即，
化简可得.
得，
，
，
，
化简得.
将代入可得，
即点在曲线上.