长沙市雅礼集团2023-2024学年九年级上学期第三次月考数学试题（原卷及解析版）

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考生注意：本试卷共3道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1.-2023的相反数是（ ）
A.2023B.C.D.
2.传统艺术是我国劳动人民智慧的结晶，剪纸文化是最古老的传统艺术之一，下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A.B.C.D.
3.“五一”长假期间，“网红长沙”火爆出圈，长沙市共接待国内外游客3 179 000人次，将用科学记数法表示为（ ）
A.B.C.D.
4.下列运算正确的是（ ）
A.B.C.D.
5.下列说法正确的是（ ）
A.为了解我国中小学生的睡眠情况，应采取普查的方式
B.一组数据1，2，5，5，5，3，3的众数和中位数都是5
C.若甲、乙两组数据的方差分别是，，则甲组数据比乙组数据更稳定
D.抛掷一枚硬币200次，一定有100次“正面向上”
6.如图，在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为(1，2)，(3，1)．以点为位似中心，在原点的同一侧按1∶3的相似比将△OAB放大，则点的对应点的坐标为（）
A.B.C.D.
7.如图，BD是的直径，A，C在圆上，，的度数是（ ）
A.50°B.45°C.40°D.35°
8.在数轴上表示不等式组的解集正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9.把半径为的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则的长为（ ）
A.B.C.D.
10.如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（ ）
A.B.C.D.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11.若二次根式有意义，则x的取值范围是___．
12.已知点P的坐标为，则点P到x轴的距离为 _____．
13.抛物线的顶点坐标是____．
14.为了解某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉只，戴上识别卡并放回，经过一段时间后观察发现，只A种候鸟中有只佩有识别卡，由此估计该湿地约有______只A种候鸟．
15.如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD，则__________．
16.如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接．若，的面积是，则的值为____．
三、解答题（本大题共9个小题，第 17、18、19题每小题6分，第20、21 题每小题8分，第22、23题每小题9分，第 24、25题每小题10分，共72分，解答写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.计算：
18.先化简，再求值：，．
19.某次军事演习中，一艘船以的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东方向，小时后到达处，测得小岛在它的北偏西方向，求该船在航行过程中与小岛的最近距离（参考数据：，．结果精确到）．

20.为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部办公厅印发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》．为贯彻《通知》精神，长沙某校团委组织了“如何合理健康使用手机”为主题的知识竞赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）
请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）获奖总人数为 人，＝ ，A所对的圆心角度数是 ；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
21.如图，正方形中，E是上一点，连接，过B点作，垂足为点G，延长交于点F，连接．
（1）求证：．
（2）若正方形边长是5，，求的长．
22.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．长沙某汽车销售决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆．
（1）A型和B型汽车的进价分别为每辆多少万元
（2）该公司决定用不多于1222万元购进A型和B型汽车共100辆，最多可以购买多少辆A型汽车？
23.如图，已知是直径，且．C，D是上点，，交于点E，连接， ，过点D作射线交延长线于点F．
（1）求的度数；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）；
（3）若，试证明是的切线．
24.如图所示，二次函数的图象（记为抛物线L）与轴交于点C，与轴分别交于点A、B，点A、B的横坐标分别记为，且．
（1）已知，
①当A点坐标为，则值是 ，点B的坐标是 ，当时，借助图象，自变量的取值范围是 ；
②对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围（用含的式子表示）；
（2）若点P的坐标为，过点P作直线l垂直于y轴，且抛物线的L的顶点M在直线l上，连接，若，求的最小值．
25.【阅读理解】如图1，点为线段上一点，且，如果，那么点是线段的一个黄金分割点，比值叫做黄金分割比．
（1）如图1，若线段的长为4，是线段的黄金分割点（），则的长为 ；（保留根号）
（2）如图2，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明：是的黄金分割点；
（3）我们把有一个内角等于的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金分割比．如图3，是的直径，点在上，，过点作直线分别交直线和于点、，连接，，．
①求弦的长；
②在直线或上是否存在点（点、除外），使是黄金三角形？若存在，直接写出的长；若不存在，说明理由．