2025届青海省西宁市大通县高三(上)期中考试数学试卷（解析版）

这是一份2025届青海省西宁市大通县高三(上)期中考试数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列双曲线中，焦点在轴上的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点在轴上.
故选：C
2. 已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】A
【解析】由可知集合中的元素是非负偶数，
所以可得，则中元素的个数为5.
故选：A
3. 若复数满足，则的虚部与实部之差为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，
所以，复数的虚部为，实部为，
所以，的虚部与实部之差为.
故选：B.
4. 将7张不同的邮票分给甲、乙、丙三位同学，每人至少2张，且邮票都要分完，则甲、乙分得的邮票数相等的分法共有（ ）
A. 210种B. 420种C. 240种D. 480种
【答案】A
【解析】依题意可得，甲、乙分得的邮票数相等且丙至少2张，意味着甲、乙两人都分得2张邮票，
所以甲、乙分得的邮票数相等的分法共有种.
故选：A．
5. 下列函数中，在上为减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，，在0,π上均不是单调函数，
时，，
所以在0,π上为增函数，在0,π上为减函数.
故选：D．
6. 若是等差数列，且，，则数列的前10项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，则，
所以，则，
故数列的前10项和为.
故选：C．
7. 已知过抛物线的焦点作斜率为的直线，与的一个交点位于第四象限，且与的准线交于点，若，则（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】B
【解析】如图，过点作准线的垂线，垂足为，则，，
由，得，则，
因此，所以.
故选：B
8. 已知，，则使成立的一个充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对于A，取，，显然有成立，但不成立，不符合题意.
对于B，由，得，所以，可推出，符合题意.
对于C，，可得，不符合题意.
对于D，由，得，因为，，所以，所以，不能推出，不符合题意.
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知的终边经过点，则（ ）
A. B. 可能等于
C. D. 可能等于
【答案】ACD
【解析】因为的终边经过点，且，
所以，，故A，C正确
因为点在第四象限，所以不可能等于，可能等于，B错误，D正确.
故选：ACD.
10. 已知表示不超过的最大整数．设函数的两个零点为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】.当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
因为，，，，
所以，，所以，.
故选：AC
11. 在体积为的正四棱锥中，异面直线PC与AB所成角的余弦值为，则（ ）
A.
B. 二面角的余弦值为
C. 正四棱锥的外接球的表面积为
D. 直线BC与平面PCD所成角的正切值为2
【答案】BCD
【解析】取的中点，设为正方形的中心，连接，，则.
因为，所以异面直线与所成的角即，则.
设，则，，，则，
所以正四棱锥体积为，
解得，所以，故A错误.
在正方形中，由于，为的中点，
所以，则为二面角的平面角，
所以，故B正确.
设正四棱锥的外接球的球心为，且，又，
由，得，解得，
所以正四棱锥的外接球的表面积为，故C正确.
因为，所以直线与平面所成的角即直线与平面所成的角.
过点作，垂足为，
因为平面，且平面，
所以，又，且平面，
所以平面，又平面，
所以，又，且平面，
所以平面，
则为直线与平面所成的角，
则，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知离散型随机变量的分布列为
则______.
【答案】
【解析】由分布列，有.
13. 已知，，且是奇函数，则______.
【答案】
【解析】由是奇函数，得，
令，得，则.
14. 已知向量，，满足，，，.若恒成立，则的最大值为______.
【答案】
【解析】因为，结合，所以.
建立如图所示的平面直角坐标系，
使得，.
令，则，，
代入，整理得，
所以点在以为圆心，为半径的圆上.
因为，点在圆内，所以，
当且仅当点在的延长线上时，等号成立.
若恒成立，则，所以的最大值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某红茶批发地只经营甲､乙､丙三种品牌的红茶，且甲､乙､丙三种品牌的红茶优质率分别为.
（1）若该红茶批发地甲､乙､丙三种品牌的红茶市场占有量的比例为，小张到该批发地任意购买一盒红茶，求他买到的红茶是优质品的概率；
（2）若小张到该批发地甲､乙､丙三种品牌店各任意买一盒红茶，求他恰好买到两盒优质红茶的概率.
解：（1）设事件分别表示小张买到的红茶品牌为甲品牌、乙品牌、丙品牌，事件表示他买到的红茶是优质品，
则依据已知可得，，
由全概率公式得
，
所以他买到的红茶是优质品的概率为.
（2）设事件表示他恰好买到两盒优质红茶，组成事件的情况有：
甲乙优质红茶丙非优质红茶、甲丙优质红茶乙非优质红茶，乙丙优质红茶甲非优质红茶，且优质与否互相独立，
则
，
所以他恰好买到两盒优质红茶的概率为.
16. 在中，、、的对边分别为、、，且.
（1）若的面积，，求；
（2）若，求.
解：（1）由，得.
因为，所以，得，.
由余弦定理可得，所以.
（2）由及正弦定理得.
因为，，
所以，即，
即.
因为，所以，所以，即.
17. 如图，四边形ABCD是正方形，AE，DF，BG都垂直于平面ABCD，且，，，M，N分别是EG，BC中点.

（1）证明：平面ABCD.
（2）若，求点N到平面AMF的距离.
（1）证明：因为，，都垂直于平面，则.
取的中点，连接，，
则，且，
所以且，所以四边形为平行四边形，
可得，
且平面，平面，所以平面.
（2）解：连接.
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A2,0,0，，，，
可得，，
设平面的法向量为n=x,y,z，则，
取，得，，可得.
故点到平面的距离.
18. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，，求的取值范围；
（3）若有3个零点，求的取值范围.
解：（1）当时，，则，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）当时，在上单调递增，
因为，
所以当时，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，解得，
故的取值范围为.
（3）因为，则0为的1个零点，
因为有3个零点，所以在上有2个零点，
即方程有2个不同的实根，
即直线与函数的图象在上有2个不同的交点，
设，则，
令，得，在上单调递增；
令，得，在上单调递减，
，，
因为直线与函数的图象在上有2个不同的交点，
所以，即的取值范围是.
19. 椭圆有一个光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光照射到椭圆上，其反射光线会经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆的左、右焦点分别为，，光线从发出，经过上一点（不在轴上）反射后，到达椭圆上的点，再反射到达上的点，不断反射，得到反射点列，设.
（1）若的焦距为2，，，求的离心率；
（2）证明：；
（3）证明：是等比数列.
（1）解：由题意，得，则，F1-1,0.
因为，，三点共线，所以，解得.
又，所以的离心率为.
（2）证明：由题意，得，，三点共线，其中.
当时，直线的方程为，
代入，得.
由韦达定理得，
，
所以①.
假设，则.
由①，得，即，解得，
此时，则，这与不在轴上矛盾，
所以假设不成立，即.

（3）证明：，，三点共线，其中，
当时，直线的方程为，
与（2）同理，得②.
由①②，得.
当时，同理得.
所以对任意，都有，即，
可化为，
即，
所以是首项为，公比为的等比数列.1
2
3
4