2025届云南省长水教育集团高三(上)11月期中质量检测数学试卷（解析版）

这是一份2025届云南省长水教育集团高三(上)11月期中质量检测数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，
由，
所以或，
解得或或1，
经检验集合中元素的互异性，把或舍去，
所以.
故选：A.
2. “，”成立的充分必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当即时，，，所以；
当即时，，.
故选：C.
3. 国家射击运动员在某次训练中的8次射击成绩（单位：环）分别为10，7，8，10，，10，8，6，其中为整数，若这8次射击成绩的中位数为9，则（ ）
A. 6B. 7C. 9D. 10
【答案】D
【解析】将成绩（除了）从小到大排列为：6，7，8，8，10，10，10，
结合选项，只有时，这8次射击成绩的中位数.
故选：D.
4. 已知，，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，，所以，
因为，，所以，所以，
当且仅当时取等号.
所以的最小值为.
故选：B.
5. 已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则该正四棱锥侧棱和底面所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，正四棱锥中，是底面中心，是中点，则是棱锥的高，是斜高，是侧棱与底面所成的角，
设底面边长为，，
由已知，则，又，
所以，而，
所以，.
故选：D．

6. 设向量与的夹角为，定义，已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，，，
即，则，
故，得，
，，
.
故选：D.
7. 已知数列的首项，且满足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，，易知，
所以，即，
又，所以，
故是以为首项，为公差的等差数列，
则，故，
所以.
故选：A.
8. 设椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点为，，右顶点为，已知点在椭圆上，若，，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图：由题意不妨设Px1,y1在第一象限，知，
因为，所以，
所以，
则，且，即，
又由，所以，又，即，
结合解得，
代入中，整理得，
即，解得（舍）或.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若复数，在复平面内对应的点为，则（ ）
A. B.
C. 的虚部为2D. 点在直线上
【答案】ACD
【解析】，
，故A正确；
，故B错误；
的虚部为2，故C正确；
点坐标代入直线成立，故D正确.
故选：ACD.
10. 设为正实数，已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，函数的图象的一条对称轴为
B. 已知，，且的最小值为，则
C. 当时,函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数
D. 若在区间上单调递增，则的取值范围是
【答案】BCD
【解析】A选项，当时，函数的图象的对称轴为,即,不能取到,A错误；
B选项，为的最小值点，为的最大值点，则，即，且，所以，B正确；
C选项，当时,函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数，故C正确；
D选项，∵，则，
若在区间上单调递增，则，解得，D正确；
故选：BCD.
11. 已知函数的极值点，则（ ）
A. 是的极小值点B. 有三个零点
C D.
【答案】ABD
【解析】由，得，
由是函数的极值点，得，解得，
故函数，，
令，解得或，
所以函数和上单调递增，在上单调递减，
故为极小值点，A选项正确；
又，，，，
所以函数分别在，，上各有一个零点，共三个零点，B选项正确；
又在上单调递减，且，
所以，
又，故，C选项错误；
同理，且，
，D选项正确；
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. ______.
【答案】
【解析】
.
13. 已知抛物线的焦点为，若以轴正方向的射线绕焦点逆时针旋转，与抛物线交于点，过作轴，交准线于点，则的面积为______．
【答案】
【解析】由题知焦点F1,0，准线为，直线的方程为：，
联立，可得，
所以或（舍），，，
所以．
14. 已知一个圆台的侧面积为，下底面半径比上底面半径大，母线与下底面所成角的正切值为，则该圆台的外接球(圆台的上、下底面圆周上的点均在球面上)的体积为________．
【答案】
【解析】如图，设、分别为上下底面圆心，为母线，为点在底面的投影，
为该圆台的外接球球心，
由该圆台的侧面积为，则有，
即，
由下底面半径比上底面半径大，则有，
由母线与下底面所成角的正切值为，则有，即，
又，即有，
则，即，则，
则有，
即，即，即，
设该圆台的外接球半径为，则,
故该圆台的外接球体积.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
（1）求B；
（2）若，，求c.（提示：.）
解：（1）因，
所以由正弦定理得：，即，
所以由余弦定理的：，
因为B∈0,π，所以.
（2）由（1）可知，，，
由正弦定理得，所以，
所以，
所以，因为，
所以由正弦定理得：，
所以.
16. 如图，长方体中，点分别在上，且，.
（1）求证：平面；
（2）当时，求平面与平面的夹角的余弦值.
（1）证明：因为平面平面，所以，
又且，平面，所以平面，
且平面，故，同理，，
平面，
所以平面.
（2）解：以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图：
则，
在平面中，
设平面的一个法向量为，
则，可取
由（1）知，平面的一个法向量为
设平面与平面的夹角为，
则
故所求的夹角的余弦值为.
17. 已知函数.
（1）讨论函数在区间上的单调性；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
解：（1），
解得，
因为x∈0,π，所以，
当，当，
所以在上单调递减，在上单调递增；
（2），
当时，由可得不成立，
当时，，
令恒成立，
故在单调递减，
所以，
所以的取值范围为.
18. 设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由．
解：（1）设Mx,y，到定直线的距离为则，
故，平方后化简可得，
故点的轨迹的方程为：
（2）由题意，,
设直线的方程为，,，,，
由，可得，
所以，．
则，，
所以
；
当直线的斜率不存在时，，此时，
综上，为定值．

19. 现有n枚质地不同的游戏币，向上抛出游戏币后，落下时正面朝上的概率为.甲、乙两人用这n枚游戏币玩游戏.
（1）甲将游戏币向上抛出10次，用表示落下时正面朝上的次数，求的期望，并写出当为何值时，最大（直接写出结果，不用写过程）；
（2）甲将游戏币向上抛出，用表示落下时正面朝上游戏币的个数，求的分布列；
（3）将这枚游戏币依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由.
解：（1）依题意得：每次抛游戏币落下时正面向上的概率均为，
故，于是，
当时，最大.
（2）记事件为“第枚游戏币向上抛出后，正面朝上”，
则，Y可取.由事件相互独立，
则.
；
；
；
故分布列为：
（3）不妨假设按照的顺序抛这n枚游戏币；
记抛第枚游戏币后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率为；
于是；
即，即.
记，则，
故数列bn为首项是，公差为的等差数列；
故，则，
故，则，因此公平.X
0
1
2
3
P