浙教版八年级下册第四章平行四边形培优练习

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浙教版八年级下册第四章平行四边形培优练习一、选择题1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．如图为某对战局部棋谱，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（　　）A． B． C． D．2．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．93．在□ABCD中，若∠A：∠B：∠C=1：2：1，则∠D的度数为（　　）A．67.5° B．90° C．112.5° D．120°4．小明不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（　　）A．①② B．①④ C．②③ D．③④5．用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，可假设四边形的四个角都是（　　）A．钝角或直角 B．钝角 C．直角 D．锐角6．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知BD=10，AC=6，△BOC的周长为15，则AD的长为（　　）A．5 B．6 C．7 D．87．如图，两条宽度分别为1和2的长方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD.若AB+BC=6，则四边形ABCD的面积为 （　　）A．4 B．2 C．8 D．68．如图，M 是△ABC的边 BC 的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN，且 AB=10，MN=3，则AC的长（　　）A．12 B．14 C．16 D．189．如图，△ABC是锐角三角形，E是BC的中点，分别以AB，AC为边向外侧作等腰三角形ABM和等腰三角形ACN．点D，F分别是底边BM，CN的中点，连接DE，EF，若∠BAM=∠CAN=θ（是锐角），则∠DEF的度数是（　　）A．180−2θ B．180−θ C．90+2θ D．90+θ10．如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD=8，AB=4，点H、G分别是边CD，BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF．则EF的最大值与最小值的差为（　　）A．4−23 B．23−2 C．3 D．2二、填空题11．平行四边形的两条对角线长分别为6 和8，则该平行四边形的一条边x的取值范围是　 　.12．若从一个多边形的顶点出发可引出6条对角线，则这个多边形共有　 　条对角线.13．如图，在▱ABCD中，若AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，连结CE，则△CDE的周长为　 　.14．如图，在□ABCD中，过对角线 BD上一点 P 作EF∥AB，GH∥AD，与各边的交点分别为E，F，G，H.若▱ABCD的面积为 40，四边形BGPF的面积为 5，四边形 PEDH 的面积为21，则四边形 AGPE 的面积为　 　.15．如图，在▱ABCD中，对角线 AC，BD 相交于点O，E为BC 的中点，F，G为边CD 上的点，且 FG =12AB，连结OF，EG.若▱ABCD的面积为 60，则图中阴影部分的面积是　 　.16．如图，在▱ABCD中，AC是对角线，∠ACD=90°，E 是BC的中点，AF平分∠BAC，连结CF，EF.若CF ⊥AF，AB=5，BC=13，则EF的长为　 　三、解答题17．如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，且满足BE=DF.连结EF，分别与BC，AD相交于点G，H.求证：EG=FH.18．如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AD 是BC 边上的中线，E，F 分别是AB，AC的中点，连结 EF，ED，FD.求证：AD=EF.19．如图，在▱ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上， 且AE=CF．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）连结BD交AC于点O，若BD= 10，AE+CF=EF ，求EG的长．20．如图，在▱ABCD中，点P是对角线AC上一动点，过点P作PM∥DC，且PM=DC，连结BM，CM，BP，PD．（1）求证：△ADP≌△BCM；（2）若PA=12PC，设△ABP的面积为S，四边形BPCM的面积为T，求ST的值.21．在▱ABCD 中，∠C=45°，AD=BD，P为线段CD上的动点(点P不与点D 重合)，连结 AP，过点P作EP⊥AP交直线BD 于点E.（1）如图1，当P为线段CD的中点时，探究 PA，PE的数量关系，并说明理由.（2）如图2，当点P 在线段CD的任意位置时，求证： DA+2DP=DE.答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，故符合题意；B、不是中心对称图形，故不符合题意；C、不是中心对称图形，故不符合题意；D、不是中心对称图形，故不符合题意；故答案为：A.【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，据此判断即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：由题意得：(n-2)×180°=3×360°， 解得：n=8； 故答案为：C. 【分析】根据多边形的内角和和外角和公式列式，求出n即可。3．【答案】D【解析】【解答】解： 在□ABCD中，∠A+∠B=180°，∠D=∠B，∵∠A：∠B=1：2，∴∠B=180°×23=120°，∴∠D=∠B=120°.故答案为：D.【分析】由平行四边形的性质可得∠A+∠B=180°，∠D=∠B，利用∠A：∠B=1：2求出∠B的度数即可.4．【答案】C【解析】【解答】∵ 只有②③两块碎玻璃的两边互相平行，且这两块有公共边∴ 角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点.∴ 带②③两块玻璃就可以确定平行四边形的大小.故答案为：C.【分析】根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.四块玻璃中需要找到两边互相平行且可以连在一起的两块玻璃.5．【答案】D【解析】【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，可先假设四边形的四个角都是锐角.故答案为：D.【分析】利用反证法证明的第一步为：假设结论不成立，故只需找出至少有一个角是钝角或直角的反面即可.6．【答案】C【解析】【解答】∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知BD=10，AC=6，∴BO=DO=12BD=5，CO=AO=12AC=3，∵△BOC的周长为15，∴BC=15-（BO+CO）=15-（5+3）=7，∴AD=BC=7，故答案为：C.【分析】先利用平行四边形的性质可得BO=DO=12BD=5，CO=AO=12AC=3，再利用三角形的周长公式求出BC的长，最后利用平行四边形的性质可得AD=BC.7．【答案】A【解析】【解答】解：依题意得：AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形．如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，∴AE＝1，AF＝2，∴BC•AE＝AB•AF，∴BC＝2AB．又∵AB+BC＝6，∴AB＝2，BC＝4∴四边形ABCD的面积＝2×2＝4故答案为：A．【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质.先作辅助线：过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，平行四边形ABCD的面积可表示为：BC•AE＝AB•AF，可推出：BC＝2AB.进而得出AB与BC的数量关系：BC＝2AB，结合AB+BC＝6，可求AB和BC，即可求出平行四边形的面积．8．【答案】C【解析】【解答】解：延长线段BN交AC于E，∵AN平分∠BAC，∴∠BAN=∠EAN，在△ABN和△AEN中∠BAN=∠EANAN=AN∠ANB=∠ANE=90°∴△ABN≌△AEN（ASA）∴AE=AB=10，BN=EN，而M是BC边的中点，∴CE=2MN=2×3=6，∴AC=AE+CE=10+6=16.故答案为：C.【分析】延长线段BN交AC于E，由角平分线定义可得∠BAN=∠EAN，结合已知用角边角可证△ABN≌△AEN，则AE=AB=10，BN=EN，由三角形中位线定理得CE=2MN求出CE的值，然后根据线段的构成AC=AE+CE可求解.9．【答案】B【解析】【解答】解：如图，连接MC、BN，∵△ABM、△ACN是等腰三角形，∴AM=AB，AC=AN，∵∠BAM=∠CAN=θ，∴∠MAC=∠BAN，∴△MAC≅△BANSAS，∴∠AMQ=∠ABP，∵∠MQA=∠BQP，∴∠MPB=∠MAQ=θ，∵点E是BC的中点，点D，F分别是底边BM，CN的中点，∴DE∥MC，EF∥BN，∴∠DEB=∠MCB，∠FEC=∠NBC，∵∠MPB=∠MCB+∠NBC=θ，∴∠DEB+∠FEC=θ，∴∠DEF=180°−∠DEB−∠FEC=180°−θ， 故答案为：B. 【分析】先利用等腰三角形的性质通过SAS证得△MAC≅△BAN，再通过三角形的内角和定理得到∠MPB、∠MAQ相等，然后利用中位线定理和外角的定义得到∠DEB、∠FEC的和，进而求得∠DEF的度数.10．【答案】C【解析】【解答】解：如下图所示：取AD的中点M，连接CM，AG，AC，过点A作AN⊥BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=120°，AB=4，∴∠D= 180°-∠BCD=60°，AB= CD=4，∴AM=DM=DC=4，∴△CDM是等边三角形，∴∠DMC=∠MCD=60°，CM=AM，∴∠MAC= ∠MCA=30°，∴∠ACD =∠MCA+∠MCD= 90°，∴AC=AD2−CD2=43，∵∠ACN=∠DAC=30°，∴AN=12AC=23，∵AE = EH，GF = FH，∴EF=12AG∴EF的最大值与最小值的差为23−3=3，故答案为：C.【分析】根据平行四边形的性质求出∠D= 180°-∠BCD=60°，AB= CD=4，再求出△CDM是等边三角形，最后利用勾股定理和直角三角形30°角的性质等计算求解即可。11．【答案】1＜x＜7【解析】【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，且AC=6，BD=8，∴OB=12BD=4，OC=12AC=3，∴4-3＜BC＜4+3，即1＜BC＜7，∴ 该平行四边形的一条边x的取值范围1＜x＜7.故答案为：1＜x＜7.【分析】画出示意图，由平行四边形的对角线互相平分得OB=12BD=4，OC=12AC=3，进而根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得x的取值范围.12．【答案】27【解析】【解答】解：由题意得多边形边数为6+3=9，∴ 这个多边形的对角线共有12×9×（9-3）=27.故答案为：27.【分析】n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，对角线的条数共有12n（n-3）条，据此解答即可.13．【答案】10【解析】【解答】∵AC的垂直平分线交AD于点E，∴EA=EC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=4，AD=BC=6，∴△CDE的周长=CD+EC+DE=CD+EA+DE=CD+AD=4+6=10.故答案为：10.【分析】由线段的垂直平分线的性质可得EA=EC，根据平行四边形的性质得CD=AB，AD=BC，然后根据三角形的周长等于三角形的三边之和可求解.14．【答案】715．【答案】15【解析】【解答】解：连接OE，如下图：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，AB∥CD，O为BD的中点，∵点O、E分别是BD和BC的中点∴OE∥CD且OE=12CD=12AB∴∠EOF＝∠GFO，∠OEG＝∠EGF∵FG＝12AB∴OE＝FG∵∠EOF＝∠GFO，OE＝FG，∠OEG＝∠EGF∴△OEH≌△FGH（ASA）∴OH＝HF∵S▱ABCD＝BC×ℎBC＝AB×ℎAB=60∴S△BOE=12×BE×12ℎBC＝12×12×BC×12ℎBC＝18×60＝152，S△EOH＝S△GFH＝12×OE×14ℎAB＝12×12AB×14ℎAB＝116×60＝154；∴S阴影部分＝152＋2×154＝15故答案为：15.【分析】根据平行四边形的性质，可得AB=CD，AB∥CD；根据三角形的中点性质，可得OE∥CD且OE=12CD；根据三角形全等的判定（ASA）和性质，可得OH＝HF；根据平行四边形的面积公式和三角形的面积公式，即可求出阴影部分的面积.16．【答案】72【解析】【解答】解：延长CF和AB，交于点H，如下图：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC=90°∴AC＝BC2−AB2=132−52=12∵AF平分∠BAC，且CF⊥AF∴AH＝AC＝12，FH＝FC∵AB=5∴BH＝12-5=7∵点E是BC的中点，FH=FC∴EF=12BH=72故答案为：72.【分析】根据平行四边形的性质，可得∠ACD＝∠BAC；根据勾股定理，可得AC的长；根据等腰三角形三线合一的性质，可得AH=HC；根据三角形中线的性质，可得EF的长.17．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠ABC=∠CDA，∴∠E=∠F，∠EBG=∠FDH，∵ BE=DF ，∴△EBG≌△FDH（ASA），∴EG=FH.【解析】【分析】利用性行四边形的性质可得AB∥CD，∠ABC=∠CDA，从而推出∠E=∠F，∠EBG=∠FDH，再用ASA证△EBG≌△FDH，利用全等三角形的性质即可得解.18．【答案】证明：∵ ∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，∴ AD=12BC，∵ E，F分别是AB，AC的中点，∴ EF=12BC，∴ AD=EF.【解析】【分析】根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半可得AD=12BC，根据三角形的中位线等于第三边的一半得EF=12BC，即可求得.19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠GAE=∠HCF．∵点G，H分别是AB ，CD的中点，AB= CD，∴AG=CH．∵AE=CF，∴△AGE≌△CHF ( SAS)，∴GE= HF， ∠AEG= ∠CFH，∴∠GEF =∠HFE，∴GE∥HF．又∵GE=HF，∴四边形EGFH是平行四边形．（2）解：连结BD交AC于点O，如图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA = OC， OB=0D． BD= 10，∴ OB=OD=5．∵AE= CF ，OA=OC，∴ OE=OF．∵AE+CF= EF，∴2AE= EF=20E，∴AE=OE．又∵点G是AB的中点，∴EG是△ABO的中位线，∴EG=12OB=2.5，∴EG的长为2.5．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可证出△AGE≌△CHF ( SAS)，再根据全等三角形的性质可得出GF=HF且GF∥HF，从而证出四边形EGFH是平行四边形；（2）根据平行四边形的性质和已知 AE+CF=EF ，可知E是OA的中点，所以EG是△ABO的中位线，根据中位线的性质可求出EG的长度.20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD= BC，∠ADC+ ∠BCD =180°．∵PM∥ DC，且PM=DC，∴四边形PMCD是平行四边形，∴PD=CM，∠PDC+∠DCM= 180°，∴∠ADP= ∠ BCM．在△ADP和△BCM中，AD=BC∠ADP=∠BCMPD=MC，∴△ADP≌△BCM( SAS)． ．（2）解：如图，作BH⊥AC于点H，DG⊥AC于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，△ABC≌△CDA，∴BH= DG，∴S△ABPS△BCP=APCP=12，即S△BCP = 2S△ABP，S△ABPS△ADP=12AP⋅BH12AP⋅DG=1，即S△ADP=S△ABP．∵△ADP≌△BCM，∴S△ADP=S△BCM，∴ST=S△ABPS△BCP+S△BCM=13.【解析】【分析】（1）根据已知条件可知四边形PMCD是平行四边形，则根据平行四边形的性质可证△ADP≌△BCM；（2）根据四边形ABCD是平行四边形，可知△ABC≌△CDA，从而得到同底边上的高BH= DG，得到S△BCP= 2S△ABP，而△ABP和△ADP是同底等高，所以面积相等，四边形BPCM的面积=△BCP的面积+△ACM的面积，而根据（1）可知△ACM的面积=△ADP的面积，从而可得出答案.21．【答案】（1）解：PA=PE，理由如下：连接PB，如下图：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC，∠ADC＝180°－45°＝135°∵AD=BD∴BD=BC∵∠C=45°∴三角形DBC是等腰直角三角形∴∠BDC＝45°，∠DBP＝45°∴∠PBE＝∠ADC＝135°∵P是DC的中点∴BP⊥DC，DP＝BP∴∠DPA＋∠APB＝∠APB＋∠BPE＝90°∴∠DPA＝∠BPE∵∠DPA＝∠BPE，DP＝BP，∠PBE＝∠ADC∴△DPA≌△BPE(ASA)∴PA＝PE；（2）证明：过点P作PF垂直CD交DE于点F,如下图:∵PF⊥CD，EP⊥AP∴∠DPE=∠APE=90°∴∠DPA+∠APB=∠APB+∠FPE∴∠DPA=∠FPE∵四边形ABCD是平行四边形∴∠C=∠DAB=45°，AB∥CD∵AD=BD∴∠DAB=∠DBA=45°∴∠ADB＝∠DBC=90°∴∠PFD=45°∴∠PFD=∠PDF∴PD=PF∴∠PDA=∠PFE=135°∴△DPA≌△FPE((ASA)∴AD=EF∴DF=122DP=2DP∵DE=DF+EF∴DA+2DP=DE；【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和等量代换原则可得BD=BC；根据等腰直角三角形的判定和性质可得∠BDC＝45°，∠DBP＝45°；根据三角形全等的判定(ASA)和性质可得PA=PE；（2）根据等量代换原则可得∠DPA=∠FPE根据平行四边形的性质可得∠C=∠DAB=45°，AB∥CD；根据等腰直角三角形的性质和等量代换原则可得∠PFD=45°，∠PDA=∠PFE=135°；根据三角形全等的判定(ASA)和性质可得AD=EF；根据特殊角的三角函数的应用可得DF=2DP，根据等量代换原则即可解题.