广东省深圳市宝安区富源学校2023—2024学年下学期七年级3月教学反馈数学试卷

这是一份广东省深圳市宝安区富源学校2023—2024学年下学期七年级3月教学反馈数学试卷，共17页。
1．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x3+x3＝x6 B．2x•3x2＝6x3 C．（2x）3＝6x3 D．（2x2+x）÷x＝2x
2．（3分）据悉，中国工程师制造出了一种集光学传感器icn和信号处理器于一芯的光纤陀螺仪，它具有246纳米独立自主成熟制程．若1纳米＝10﹣9米，则246纳米用科学记数法表示为（ ）米．
A．24.6×10﹣8 B．2.46×10﹣7 C．2.46×10﹣11 D．246×10﹣9
3．（3分）下列图中∠1，∠2不是同位角的是（ ）
A． B．C．D．
4．（3分）将含45°角的直角三角板按如左下图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上．若m∥n，∠1＝30°，则∠2的度数为（ ）
A．45°B．60°C．75°D．90°
5．（3分）如下图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处，他们的做法是：过点C作CD⊥l点D，将水泵房建在了D处，这样做最节省水管长度，其数学道理是（ ）
A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线D．垂线段最短
6．（3分）下列能用平方差公式计算的是（ ）
A．（﹣x+y）（x+y） B．（﹣x+y）（x﹣y） C．（x+2）（2+x）D．（2x+3）（3x﹣2）
7．（3分）如右下图所示，在下列四组条件中，能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠ABD＝∠BDC
C．∠3＝∠4D．∠BAD+∠ABC＝180°
8．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．相等的角是对顶角
C．如果两个角的和是180°，那么这两个角互为余角 D．同角或等角的余角相等
9．（3分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝x°，∠2＝y°，则∠3 的度数为（ ）
A．（x﹣y）°B．（180﹣x﹣y）°
C．（180﹣x+y）°D．（x+y﹣90）°
10．（3分）如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，则图乙的边长为（ ）
A．8B．7C．5.6D．10
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）化简：（2a2b）3＝ ．
12．（3分）已知∠α＝75°，则∠α的补角的度数为 ．
13．（3分）若多项式x2+mx+64是完全平方式，则m＝ ．
14．（3分）形如的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为，
则中x的值是 ．
15．将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，如图2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，则所有满足条件的t的值为 ．
三．解答题（共8小题，满分55分）
16．（16分）计算．
（1）（2022﹣π）0+（﹣）﹣3﹣（﹣1）2020； （2）20222﹣2021×2023；
（3）（﹣2x2y）2•3xy+（﹣4x3y）； （4）（x+5）（﹣2x+1）．
17．（6分）先化简，再求值：[（x﹣3y）2﹣（x﹣y）（x+y）+4xy]÷2y，其中x＝﹣2，y＝1．
18．（6分）如图，某区有一块长为a+4b，宽为a+3b的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间的边长为a+b的空白的正方形地块将修建一个凉亭．
（1）用含有a、b的式子表示绿化总面积；
（2）若a＝2，b＝5，求出此时的绿化总面积．
（6分）（1）如图，已知∠α、∠β，求作∠ABC．使∠ABC＝∠α+∠β．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）过点P作PQ∥BC（两小题都要求用尺规作图）（第二小题在图2上画）
20（7分）．填空，并在括号里注明理由：
如图，已知点O，E在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，过点E作OD的平行线交OC于点F，试说明：∠1＝∠2．
说明：∵EF∥OD，
∴∠3＝∠ （ ），
∵EF∥OD，
∴∠4＝∠ （ ），
∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠3＝∠4（ ），
∴∠5＝∠6，（ ）
∵∠5+∠1＝180°，∠6+∠2＝180°，
∴∠1＝∠2（ ）．
21．（6分）何老师安排喜欢探究问题的小明解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．
例：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．
解：因为m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0
所以m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0
所以（m+n）2+（n﹣3）2＝0
所以m+n＝0，n﹣3＝0所以m＝﹣3，n＝3 为什么要对2n2进行了拆项呢？
聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．
解决问题：
（1）若x2﹣4xy+5y2+2y+1＝0，求xy的值；
（2）已知a，b满足a2+b2＝10a+12b﹣61，求2a+b的值．
22（8=3+2+3）．已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠EGH＝∠EFH．
（1）如图1，求证：EF∥GH；
（2）如图2，EN为∠BEF的角平分线，交GH于点P，连接FN，求证：∠N＝∠HPN﹣∠NFH
（3）如图3，在（2）的条件下，过点F作FM⊥GH于点M，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若FN平分∠DFM，且∠GQH比∠N的多3°，求∠AEF的度数．
富源学校七年级（下）3月教学反馈数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x3+x3＝x6B．2x•3x2＝6x3
C．（2x）3＝6x3D．（2x2+x）÷x＝2x
【分析】根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方的性质；多项式除以单项式的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、应为x3+x3＝2x3，故本选项错误；
B、2x•3x2＝6x3，正确；
C、应为（2x）3＝23x3＝8x3，故本选项错误；
D、应为（2x2+x）÷x＝2x+1，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法的性质，积的乘方的性质，多项式除以单项式的法则，熟练掌握性质和法则是解题的关键．
2．（3分）据悉，中国工程师制造出了一种集光学传感器icn和信号处理器于一芯的光纤陀螺仪，它具有246纳米独立自主成熟制程．若1纳米＝10﹣9米，则246纳米用科学记数法表示为（ ）米．
A．24.6×10﹣8B．2.46×10﹣7
C．2.46×10﹣11D．246×10﹣9
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：246纳米＝246×10﹣9米＝2.46×10﹣7米，故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）下列图中∠1，∠2不是同位角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据同位角的定义（在被截线同一侧，截线的同一方位的两个角互为同位角）解决此题．
【解答】解：A．由图可知，∠1，∠2是同位角，故A不符合题意．
B．由图可知，∠1，∠2是同位角，故B不符合题意．
C．由图可知，∠1，∠2是同位角，故C不符合题意．
D．由图可知，∠1，∠2不是同位角，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查同位角，熟练掌握同位角的定义是解决本题的关键．
4．（3分）将含45°角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上．若m∥n，∠1＝30°，则∠2的度数为（ ）
A．45°B．60°C．75°D．90°
【分析】先得出∠DAB＝∠1＝90°﹣30°＝60°，再根据平行线的性质得出∠ABE＝∠DAB＝60°，进而根据∠ABD＝45°，得出答案．
【解答】解：如图：
∵∠1＝30°，
∴∠DAB＝90°﹣∠1＝90°﹣30°＝60°，
∵m∥n，
∴∠ABE＝∠DAB＝60°，
∵∠ABD＝45°，
∴∠2＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，能够根据题意找出角与角之间的关系是解题的关键．
5．（3分）如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处，他们的做法是：过点C作CD⊥l点D，将水泵房建在了D处，这样做最节省水管长度，其数学道理是（ ）
A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线D．垂线段最短
【分析】根据垂线段最短解答即可．
【解答】解：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是：垂线段最短．
故选：D．
【点评】本题考查了垂线段的性质，熟练掌握垂线段性质是解答本题的关键．
6．（3分）下列能用平方差公式计算的是（ ）
A．（﹣x+y）（x+y）B．（﹣x+y）（x﹣y）
C．（x+2）（2+x）D．（2x+3）（3x﹣2）
【分析】根据平方差公式是对（a+b）（a﹣b）结构特点算式进行计算的方法进行逐一辨别即可．
【解答】解：∵（﹣x+y）（x+y）＝﹣（x+y）（x﹣y）；∴选项A符合题意；
∵（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2，∴选项B不符合题意；
∵（x+2）（2+x）＝（x+2）2，∴选项C不符合题意；
∵（2x+3）（3x﹣2）不是（a+b）（a﹣b）的形式，∴选项D不符合题意，故选：A．
【点评】此题考查了平方差公式的应用能力，关键是能正确理解并运用平方差公式．
7．（3分）如图所示，在下列四组条件中，能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠ABD＝∠BDC
C．∠3＝∠4D．∠BAD+∠ABC＝180°
【分析】根据内错角相等两直线平行分别得出即可．
【解答】解：A、∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），故此选项不符合题意；
B、∵∠ABD＝∠BDC，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故此选项符合题意；
C、∵∠3＝∠4，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），故此选项不符合题意；
D、∵∠BAD+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，根据内错角相等两直线平行得出是解题关键．
8．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．相等的角是对顶角
C．如果两个角的和是180°，那么这两个角互为余角
D．同角或等角的余角相等
【分析】根据平行线的性质、余角和补角的定义进行解答即可．
【解答】解：A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，不符合题意；
B、相等的角是对顶角不一定是对顶角，原说法错误，不符合题意；
C、如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，原说法错误，不符合题意；
D、同角或等角的余角相等，正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线的性质、余角和补角的定义，熟知以上知识是解题的关键．
9．（3分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝x°，∠2＝y°，则∠3 的度数为（ ）
A．（x﹣y）°B．（180﹣x﹣y）°
C．（180﹣x+y）°D．（x+y﹣90）°
【分析】由平行线的性质可表示出∠OFB＝180°﹣x°，结合对顶角相等可表示出∠2＝∠POF，再利用外角的性质可求得∠3的度数．
【解答】解：由题意可知AB∥OF．
∴∠1+∠OFB＝180°．
∵∠1＝x°．∴∠OFB＝180°﹣x°．
∵∠2＝∠POF．
∴∠3＝∠POF+∠OFB＝（180﹣x+y）°．
故选：C．
【点评】本题是跨学科融合题，考查了平行线的性质，和对顶角的性质以及外角的性质，解题的关键是利用平行线的性质求相关角的度数．
10．（3分）如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，则图乙的边长为（ ）
A．8B．7C．5.6D．10
【分析】设正方形A的边长是a，正方形B的边长是b（a＞b），根据图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，列出等式，进而可以求得图乙的面积，最后求得图乙的边长．
【解答】解：设正方形A的边长是a，正方形B的边长是b（a＞b），
由题可得图甲中阴影部分的面积是S甲＝（a﹣b）2，
图乙中阴影部分的面积是S乙＝（a+b）2﹣a2﹣b2＝2ab，
∵图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，
∴S甲＝（a﹣b）2＝4，S乙＝2ab＝30，
∴图乙面积为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝4+60＝64，
∴a+b＝8，故选：A．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，列出等式，这是解题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）化简：（2a2b）3＝ 8a6b3 ．
【分析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变指数相乘计算．
【解答】解：（2a2b）3＝8a6b3，
故答案为：8a6b3．
【点评】此题主要考查了积的乘方的性质，幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．
12．（3分）已知∠α＝75°，则∠α的补角的度数为 105° ．
【分析】根据互为补角的两个角的和等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠α＝75°，
∴∠α的补角＝180°﹣75°＝105°．
故答案为：105°．
13．（3分）若多项式x2+mx+64是完全平方式，则m＝ ±16 ．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【解答】解：∵多项式x2+mx+64是完全平方式，x2+mx+64＝x2+mx+82，
∴mx＝±2x•8，∴m＝±16．
故答案为：±16．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
14．（3分）形如的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为，则中x的值是 2 ．
【分析】根据题中已知条件可知2（x+1）（x﹣1）﹣x（2x﹣6）＝10，用适当的方法进行解答．
【解答】解：由上述运算可知2（x+1）（x﹣1）﹣x（2x﹣6）＝10，
化简得6x﹣12＝0，解得：x＝2．故答案为：2．
【点评】本题考查解一元一次方程，多项式乘多项式，掌握运算法则是解题的关键．
15．将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，如图2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，则所有满足条件的t的值为 30或120 ．
【分析】根据题意得∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，（1）如图1，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，分两种情况讨论：①DE在MN上方时，②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，列式求解即可；（2）当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，②DF在MN下方时，∠FDN＝180°﹣2t°，列式求解即可．
【解答】解：由题意得，∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，
（1）如图1，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，
①DE在MN上方时，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，∴AP∥DF，
∴∠FDM＝∠MPA，
∵MN∥GH，∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDM＝∠HAC，即2t°＝t°+30°，
∴t＝30，
②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，∴AP∥DF，
∴∠FDP＝∠MPA，
∵MN∥GH，∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDP＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°，
∴t＝210（不符合题意，舍去），
（2）当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，
①DF在MN上方时，BC∥DF，如图，
根据题意得：∠FDN＝180°﹣2t°，
∵DF∥BC，AC⊥BC，
∴CI⊥DF，
∴∠FDN+∠MIC＝90°，
即180°﹣2t°+t°+30°＝90°，
∴t＝120，
∴2t＝240°＞180°，此时DF应该在MN下方，不符合题意，舍去；
②DF在MN下方时，如图，
根据题意可知：∠FDN＝2t°﹣180°，
∵DF∥BC，
∴∠MIC＝∠NDF，
∴∠NDF＝∠AQI＝t+30°﹣90°＝t﹣60°，
即2t°﹣180°＝t°﹣60°，
∴t＝120，
综上所述：所有满足条件的t的值为30或120．
故答案为：30或120．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（12分）计算．
（1）（2022﹣π）0+（﹣）﹣3﹣（﹣1）2020；
（2）20222﹣2021×2023；
（3）（﹣2x2y）2•3xy+（﹣4x3y）；
（4）（x+5）（﹣2x+1）．
【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方计算；
（2）根据平方差公式计算；
（3）根据积的乘方计算乘方，根据单项式乘单项式化简即可；
（4）根据多项式乘多项式化简．
【解答】解：（1）原式＝1+（﹣8）﹣1
＝﹣8；
（2）原式＝20222﹣（2022﹣1）×（2022+1）
＝20222﹣（20222﹣1）
＝20222﹣20222+1
＝1；
（3）原式＝4x4y2•3xy﹣4x3y
＝12x5y3﹣4x3y；
（4）原式＝﹣2x2+x﹣10x+5
＝﹣2x2﹣9x+5．
【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，实数的运算，平方差公式，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式，多项式乘多项式，掌握（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解题的关键．
17．（6分）先化简，再求值：[（x﹣3y）2﹣（x﹣y）（x+y）+4xy]÷2y，其中x＝﹣2，y＝1．
【分析】根据完全平方公式和平方差公式先计算括号内的乘方和乘法，然后合并同类项进行化简，最后算括号外面的除法，然后代入求值．
【解答】解：原式＝[x2﹣6xy+9y2﹣（x2﹣y2）+4xy]÷2y
＝（x2﹣6xy+9y2﹣x2+y2+4xy）÷2y
＝（﹣2xy+10y2）÷2y
＝﹣x+5y，
当x＝﹣2，y＝1时，
原式＝﹣（﹣2）+5×1
＝2+5
＝7．
18．（8分）如图，某区有一块长为a+4b，宽为a+3b的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间的边长为a+b的空白的正方形地块将修建一个凉亭．
（1）用含有a、b的式子表示绿化总面积；
（2）若a＝2，b＝5，求出此时的绿化总面积．
【分析】（1）阴影部分面积等于大长方形面积减去小正方形面积，化简得到最简结果；
（2）把a与b的值代入（1）式计算即可．
【解答】解：（1）绿化总面积是：
（a+4b）（a+3b）﹣（a+b）2
＝a2+3ab+4ab+12b2﹣a2﹣2ab﹣b2
＝5ab+11b2；
（2）当a＝2，b＝5时，
5ab+11b2
＝5×2×5+11×52
＝50+275
＝325．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解本题的关键．
19．（6分）如图，已知∠α、∠β，求作∠ABC．使∠ABC＝2∠α+∠β．（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】作∠ABD＝∠DBE＝α，再作∠CBE＝β即可．
【解答】解：如图，∠ABC即为所求．
【点评】本题考查了尺规作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法．
20．填空，并在括号里注明理由：
如图，已知点O，E在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，过点E作OD的平行线交OC于点F，试说明：∠1＝∠2．
说明：∵EF∥OD，
∴∠3＝∠ 5 （ 两直线平行，内错角相等 ），
∵EF∥OD，
∴∠4＝∠ 6 （ 两直线平行，同位角相等 ），
∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠3＝∠4（ 角平分线的定义 ），
∴∠5＝∠6，（ 等量代换 ）
∵∠5+∠1＝180°，∠6+∠2＝180°，
∴∠1＝∠2（ 等角的补角相等 ）．
21．（6分）何老师安排喜欢探究问题的小明解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．
例：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．
解：因为m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0
所以m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0
所以（m+n）2+（n﹣3）2＝0
所以m+n＝0，n﹣3＝0所以m＝﹣3，n＝3
为什么要对2n2进行了拆项呢？
聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两
个问题，请写出你的解题过程．
解决问题：
（1）若x2﹣4xy+5y2+2y+1＝0，求xy的值；
（2）已知a，b满足a2+b2＝10a+12b﹣61，求2a+b的值．
【分析】（1）已知等式变形后，利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出x与y的值，即可求出x、y的值；
（2）由a2+b2＝10a+12b﹣61，应用因式分解的方法，判断出（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，求得a、b的值．
【解答】解：（1）∵x2﹣4xy+5y2+2y+1＝0，
∴x2﹣4xy+4y2+y2+2y+1＝0，
即 （x﹣2y）2+（y+1）2＝0，（x﹣2y）2＝0；（y+1）2＝0
解得 x＝﹣2，y＝﹣1，
∴xy＝（﹣2）﹣1＝﹣
（2）∵a2+b2＝10a+12b﹣61
∴a2﹣10a+25+b2﹣12b+36＝0
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0
∴a＝5，b＝6，
∴2a+b＝2×5+6＝16．
【点评】此题主要考查了配方法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
22．已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠EGH＝∠EFH．
（1）如图1，求证：EF∥GH；
（2）如图2，EN为∠BEF的角平分线，交GH于点P，连接FN，求证：∠N＝∠HPN﹣∠NFH；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点F作FM⊥GH于点M，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若FN平分∠DFM，且∠GQH比∠N的多3°，求∠AEF的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠AEF＝∠EFH，由等量代换可得∠AEF＝∠EGH，最后根据平行线的判定可得EF∥GH；
（2）过点N作NR∥CD，根据平行线的性质可得∠NFH＝∠FNR，∠ENR＝∠NEB，由角平分线的定义可得∠NEF＝∠NEB，利用等量代换可得∠ENR＝∠NEF，最后根据平行线的性质可得∠HPN＝∠NEF，利用等量代换可得∠ENR＝∠HPN，由角的和差关系可得∠ENF+∠FNR＝∠HPN，等量代换即可得出结论∠ENF＝∠HPN﹣∠NFH；
（3）如图3，过点N作NR∥CD，设∠ENF＝3α，则∠GQH＝α+3，根据平行线的性质可得∠AGQ＝∠GQH＝α+3，由角平分线的定义可得∠AGH＝2∠AGQ＝2α+6，利用平行线的性质和等量代换可得∠EFD＝∠AGH＝2α+6，∠AEF＝∠EFD＝2α+6，由平角的定义可得∠BEF＝180°﹣∠AEF＝174°﹣2α，根据垂线的定义可得∠M＝90°，利用平行线的性质可得∠EFM+∠M＝180°，从而求出∠EFM＝90°，最后根据平行线的性质和角平分线的定义可得87°﹣α＝42°+2α，求出α，即可得到∠AEF的答案．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFH，
∵∠EGH＝∠EFH，
∴∠AEF＝∠EGH，
∴EF∥GH；
（2）证明：如图2，过点N作NR∥CD，
∴∠NFH＝∠FNR，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥RN，
∴∠ENR＝∠NEB，
∵EN平分∠BEF，∴∠NEF＝∠NEB，
∴∠ENR＝∠NEF，
∵EF∥GH，∴∠HPN＝∠NEF，
∴∠ENR＝∠HPN，
即∠ENF+∠FNR＝∠HPN，
∴∠ENF＝∠HPN﹣∠NFH；
（3）如图3，过点N作NR∥CD，
设∠ENF＝3α，则∠GQH＝α+3，
∵AB∥CD，∴∠AGQ＝∠GQH＝α+3，
∵GQ平分∠AGH，
∴∠AGH＝2∠AGQ＝2α+6，
∴∠EFD＝∠AGH＝2α+6，
∴∠AEF＝∠EFD＝2α+6，
∴∠BEF＝180°﹣∠AEF＝174°﹣2α，
∴∠BEN＝∠BEF＝87°﹣α，
∵FM⊥GM，∴∠M＝90°，
∵EF∥GH，∴∠EFM+∠M＝180°，
∴∠EFM＝90°，
∴∠DFM＝90°﹣∠EFD＝90°﹣（2α+6）＝84°﹣2α，
∵FN平分∠DFM，∴∠DFN＝∠DFM＝42°﹣α，
∴∠FNR＝∠DFN＝42°﹣α，
∴∠RNE＝∠FNR+∠ENF＝42°﹣α+3α＝42°+2α，
∵NR∥CD，AB∥CD，
∴AB∥NR，∴∠BEN＝∠RNE，
∴87°﹣α＝42°+2α，∴α＝15°，
∴∠AEF＝2α+6＝36°．
【点评】本题是平行线的综合题目，考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线的定义等知识；综合性强，熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解题的关键．