2023-2024学年黑龙江省哈尔滨三十九中九年级（下）开学数学试卷（五四学制）

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨三十九中九年级（下）开学数学试卷（五四学制），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）的相反数为（ ）
A．5B．﹣C．D．﹣5
2．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a+2b＝5abB．a2•a3＝a6
C．a•a4＝a4D．（a3b）2＝a6b2
4．（3分）在数轴上表示不等式＜0的解集，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组6名同学每周做家务的天数依次为3，7，5，6，5，4（单位：天），则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A．5和5B．5和4C．5和6D．6和5
6．（3分）函数y＝kx+3的图象经过点（2，5），则k的值（ ）
A．﹣1B．1C．2D．﹣2
7．（3分）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，设乙队单独完成总工程共需x个月，列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形．（1）～（3）是其作图过程．
（1）作BD的垂直平分线交BD于点O；
（2）连接AO，在AO的延长线上截取OC＝AO；
（3）连接DC，BC，则四边形ABCD即为所求．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分D．一组对边平行且相等
9．（3分）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G．若AF＝2，FB＝1，则MG＝（ ）
A．2B．C．+1D．
10．（3分）如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（ ）
A．6B．3C．D．
二、填空题
11．（3分）风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有253000兆瓦，用科学记数法表示为 兆瓦．
12．（3分）计算的结果是 ．
13．（3分）分解因式：m2n+6mn+9n＝ ．
14．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，∠CDB＝55°，则∠ABC＝ °．
15．（3分）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD＝（BC+）．当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，CD＝ ．
16．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2﹣x1x2的值为 ．
17．（3分）矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 ．
18．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为 ．
三、解答题
19．（7分）先化简，再求值：，其中a＝2sin45°﹣2cs60°．
20．（7分）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中有一个△ABC，△ABC的三个顶点均与小正方形的顶点重合．
（1）在图中画线段AD．使AD∥BC（点D在小正方形的顶点上）；
（2）在图中画以AC为底，面积为10的等腰△ACE（点E在小正方形的顶点上），连接DE，请直接写出DE的长 ．
21．（7分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝1时，用配方法解方程．
22．（7分）中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人，条形统计图中m的值为 ，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为 ；
（2）若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为 人；
（3）若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率．
23．（8分）已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径．
（1）如图1，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分∠BCD；
（2）如图2，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB．若BD＝3，AE＝3，求弦BC的长．
24．（10分）捷报电脑公司生产一批电脑，每台电脑的出厂价比成本价多1000元；若每台电脑的出厂价不变，成本价提高了12.5%，此时每台电脑仍可获利500元．
（1）求该品牌电脑的成本价和出厂价分别是多少元？
（2）频传公司在捷报电脑公司以出厂价购进一批电脑，第一个月以比出厂价提高20%的价格销售30台电脑；第二个月以第一个月销售价九折的价格，将剩余的电脑全部售完，若两个月售出电脑所获得的总利润不低于38000元，求频传公司至少购进了多少台电脑？
25．（10分）【问题呈现】
△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CB＝mCA，CE＝mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系．
【问题探究】
（1）如图1，当m＝1时，直接写出AD，BE的位置关系： ．
（2）如图2，当m≠1时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
（3）当m＝，AB＝4，DE＝4时，将△CDE绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求BE的长．
26．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴相交于点A（﹣1，0），B（﹣4，0），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求的值；
（3）如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB＝？若存在，直接写出Q点坐标．
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨三十九中九年级（下）开学数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．【分析】依据相反数的定义求解即可．
【解答】解：的相反数为﹣．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2．【分析】根据几何体的三视图分析解答即可．
【解答】解：由几何体的三视图可得该几何体是B选项，
故选：B．
【点评】此题考查由三视图判断几何体，关键是熟悉几何体的三视图．
3．【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、3a+2b，无法计算，故此选项不合题意；
B、a2•a3＝a5，故此选项不合题意；
C、a•a4＝a5，故此选项不合题意；
D、（a3b）2＝a6b2，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：＜0，
x﹣1＜0，
x＜1，
在数轴上表示为，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能求出不等式的解集是解此题的关键．
5．【分析】根据众数和中位数的概念求解．
【解答】解：将数据重新排列为3，4，5，5，6，7，
所以这组数据的众数为5，中位数为＝5．
故选：A．
【点评】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6．【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值．
【解答】解：∵函数y＝kx+3的图象经过点（2，5），
∴5＝2k+3，
解得：k＝1，
∴k的值为1．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b”是解题的关键．
7．【分析】设乙队单独施1个月能完成总工程的，根据甲队完成的任务量+乙队完成的任务量＝总工程量（单位1），即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设乙队单独施1个月能完成总工程的，根据题意得：+×+＝1，即．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8．【分析】根据：“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明．
【解答】解：由作图得：DO＝BO，AO＝CO，
∴四边形ABCD为平行四边形，
故选：C．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
9．【分析】根据相似三角形的判定结合正方形的性质证得△AEF∽△ACB，求得AC＝3，根据相似三角形的性质求得AE＝2，CE＝，证得△ADE∽△CME，根据相似三角形的性质得到CM＝＝BM，证得△CDM≌△BGM，求出BG，根据勾股定理即可求出MG．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AF＝2，FB＝1，
∴CD＝AD＝AB＝BC＝3，∠ADC＝∠DAB＝∠ABC＝90°，DC∥AB，AD∥BC，
∴AC＝＝3，
∵EF⊥AB，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝2，
∴AE＝＝2，
∴CE＝AC﹣AE＝，
∵AD∥CM，
∴△ADE∽△CME，
∴＝，
∴＝＝2，
∴CM＝＝BM，
在△CDM和△BGM中，
，
∴△CDM≌△BGM（SAS），
∴CD＝BG＝3，
∴MG＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
10．【分析】如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，结合图象可知，当点P在AO上运动时，PB＝PC，AO＝，易知∠BAO＝∠CAO＝30°，当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为，可知AO＝OB＝，过点O作OD⊥AB，解直角三角形可得AD＝AO•cs30°，进而得出等边三角形ABC的边长．
【解答】解：如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，
\
结合图象可知，当点P在AO上运动时，，
∴PB＝PC，，
又∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴△APB≌△APC（SSS），
∴∠BAO＝∠CAO＝30°，
当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为，
∴OB＝，即AO＝OB＝，
∴∠BAO＝∠ABO＝30°，
过点O作OD⊥AB，垂足为D，
∴AD＝BD，则AD＝AO•cs30°＝3，
∴AB＝AD+BD＝6，
即等边三角形ABC的边长为6．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用两个图形给出的条件．
二、填空题
11．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：数字253000用科学记数法可表示为2.53×105．
故答案为：2.53×105．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．【分析】先把各个二次根式化成最简二次根式，然后合并即可．
【解答】解：原式＝2+
＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查了二次根式相加减法：先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
13．【分析】先提公因式，再运用完全平方公式．
【解答】解：原式＝n（m2+6m+9）
＝n（m+3）2．
故答案为：n（m+3）2．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和因式分解的完全平方公式是解决本题的关键．
14．【分析】根据圆周角定理和三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠D＝55°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝35°，
故答案为：35．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：熟练掌握三角形的外心的定义与性质．也考查了圆周角定理．
15．【分析】根据BD＝（BC+）和AB＝7，BC＝6，AC＝5，可以计算出BD的长，再根据BC的长，即可计算出CD的长．
【解答】解：∵BD＝（BC+），AB＝7，BC＝6，AC＝5，
∴BD＝（6+）＝5，
∴CD＝BC﹣BD＝6﹣5＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查新定义、直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
16．【分析】直接利用根与系数的关系x1+x2＝＝3，x1x2＝＝1，再代入计算即可求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2，
∴x1+x2＝＝3，x1x2＝＝1，
∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，熟记根与系数的关系时解题关键．根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝．
17．【分析】以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：如图1，当∠MND＝90°时，如图2，当∠NMD＝90°时，根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：
①如图1，当∠MND＝90°时，
则MN⊥AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴MN∥AB，
∵M为对角线BD的中点，
∴AN＝DN，
∵AN＝AB＝1，
∴AD＝2AN＝2；
如图2，当∠NMD＝90°时，
则MN⊥BD，
∵M为对角线BD的中点，
∴BM＝DM，
∴MN垂直平分BD，
∴BN＝DN，
∵∠A＝90°，AB＝AN＝1，
∴BN＝AB＝，
∴AD＝AN+DN＝1+，
综上所述，AD的长为2或1+．
故答案为：2或1+．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
18．【分析】首先证明出MN是△AEF的中位线，得出 ，然后由正方形的性质和勾股定理得到 ，证明出当BE最大时，AE最大，此时MN最大，进而得到当点E和点C重合时，BE最大，即BC的长度，最后代入求解即可．
【解答】解：如图所示，连接AE，
∵M，N分别是EF，AF的中点，
∴MN是△AEF的中位线，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，∠B＝90°，
∴，
∴当BE最大时，AE最大，此时MN最大，
∵点E是BC上的动点，
∴当点E和点C重合时，BE最大，即BC的长度，
∴此时 ，
∴，
∴MN的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
三、解答题
19．【分析】先利用分式混合运算化简，再由特殊角的三角函数值求出a，代值求解即可得到答案．
【解答】解：
＝•
＝•
＝•
＝，
当a＝2sin45°﹣2cs60°＝2×﹣2×＝﹣1时，原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，涉及因式分解、通分、分式混合运算及约分等知识，熟练掌握分式化简求值是解决问题的关键．
20．【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可．
（2）构造高为2，底为2的等腰三角形即可．
【解答】解：（1）如图，线段AD即为所求．
（2）如图△ACE即为所求．DE＝＝．
故答案为．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计，平行线的判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．【分析】（1）结合已知条件，根据一元二次方程的定义及根的判别式即可求得k的取值范围；
（2）将k＝1代入方程，利用配方法解方程即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2k+4）2﹣4k（k﹣6）＞0，且k≠0，
解得：k＞﹣且k≠0；
（2）当k＝1时，
原方程为x2﹣（2×1+4）x+1﹣6＝0，
即x2﹣6x﹣5＝0，
移项得：x2﹣6x＝5，
配方得：x2﹣6x+9＝5+9，
即（x﹣3）2＝14，
直接开平方得：x﹣3＝±
解得：x1＝3+，x2＝3﹣．
【点评】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式及配方法解一元二次方程，（1）中需特别注意二次项的系数不为0．
22．【分析】（1）将基本了解的人数除以其所占百分比即可得到接受调查的学生总数；将接受调查的学生总数减去另外三项人数即可求出M的值；将“非常了解”占比乘以360°即可求出扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数；
（2）将该校学生总数乘以样本中该校学生中对心理健康知识“不了解”的占比即可；
（3）用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出恰好抽到2名女生的可能结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
【解答】解：（1）∵基本了解的有40人，占50%，
∴接受问卷调查的学生共有40÷50%＝80（人），
条形统计图中m的值为：80﹣20﹣40﹣4＝16，
扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为：＝90°，
故答案为：80，16，90°；
（2）可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为：800×＝40人），
故答案为：40；
（3）画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，其中恰好抽到2名女生的结果有2种，
∴P（恰好抽到2名女生）＝．
【点评】本题考查扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体，列表法和树状图法求等可能事件的概率，能从统计图中获取有用信息，掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
23．【分析】（1）由垂径定理证出∠ACB＝∠ACD，则可得出结论；
（2）延长AE交BC于M，延长CE交AB于N，证明四边形AECD是平行四边形，则AE＝CD＝3，根据勾股定理即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵OA⊥BD，
∴＝，
∴∠ACB＝∠ACD，
即CA平分∠BCD；
（2）延长AE交BC于M，延长CE交AB于N，
∵AE⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AMB＝∠CNB＝90°，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠BAD＝∠CNB，∠BCD＝∠AMB，
∴AD∥NC，CD∥AM，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE＝CD＝3，
∴BC＝＝＝3．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，平行四边形三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
24．【分析】（1）设该品牌电脑的成本价是x元，则出厂价是（x+1000）元，利用利润＝出厂价﹣成本价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出该品牌电脑的成本价，再将其代入（x+1000）中，即可求出该品牌电脑的出厂价；
（2）设频传公司购进了y台电脑，则第二个月销售了（y﹣30）台电脑，利用利润＝销售单价×销售数量﹣出厂价×购进数量，结合两个月售出电脑所获得的总利润不低于38000元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设该品牌电脑的成本价是x元，则出厂价是（x+1000）元，
依题意得：x+1000﹣（1+12.5%）x＝500，
解得：x＝4000，
∴x+1000＝4000+1000＝5000．
答：该品牌电脑的成本价是4000元，出厂价是5000元．
（2）设频传公司购进了y台电脑，则第二个月销售了（y﹣30）台电脑，
依题意得：5000×（1+20%）×30+5000×（1+20%）×0.9（y﹣30）﹣5000y≥38000，
解得：y≥50．
答：频传公司至少购进了50台电脑．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25．【分析】（1）由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得∠DAC＝∠CBE，由余角的性质可证AD⊥BE；
（2）通过证明△DCA∽△ECB，可得∠DAC＝∠CBE，由余角的性质可证AD⊥BE；
（3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可得BE＝AD，由勾股定理可求解．
【解答】解：（1）如图1，延长BE交AC于点H，交AD于N，
当m＝1时，DC＝CE，CB＝CA，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠DAC＝∠CBE，
∵∠CAB+∠ABE+∠CBE＝90°，
∴∠CAB+∠ABE+∠DAC＝90°，
∴∠ANB＝90°，
∴AD⊥BE，
故答案为：AD⊥BE；
（2）（1）中的结论成立，理由如下：
如图2，延长BE交AC于点H，交AD于N，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
又∵，
∴△DCA∽△ECB，
∴∠DAC＝∠CBE，
∵∠CAB+∠ABE+∠CBE＝90°，
∴∠CAB+∠ABE+∠DAC＝90°，
∴∠ANB＝90°，
∴AD⊥BE，
（3）如图3，当点E在线段AD上时，连接BE，
∵△DCA∽△ECB，
∴＝m＝，
∴BE＝AD＝（4+AE），
∵AD⊥BE，
∴AB2＝AE2+BE2，
∴112＝AE2+3（4+AE）2，
∴AE＝2或AE＝﹣8（舍去），
∴BE＝6，
当点D在线段AE上时，连接BE，
∵△DCA∽△ECB，
∴＝m＝，
∴BE＝AD＝（AE﹣4），
∵AD⊥BE，
∴AB2＝AE2+BE2，
∴112＝AE2+3（AE﹣4）2，
∴AE＝8或AE＝﹣2（舍去），
∴BE＝4，
综上所述：BE＝6或4．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
26．【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据△PAC的周长等于PA+PC+AC，以及AC为定长，得到当PA+PC的值最小时，△PAC的周长最小，根据抛物线的对称性，得到A，B关于对称轴对称，则：PA+PC＝PB+PC≥BC，得到当P，B，C三点共线时，PA+PC＝BC，进而求出P点坐标，即可得解；
（3）求出D点坐标为（0，2），进而得到，得到∠QDB＝∠OBD，分点Q在D点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴相交于点A（﹣1，0），B（﹣4，0），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣5x﹣4；
（2）在y＝﹣x2﹣5x﹣4，当x＝0时，y＝﹣4，
∴C（0，4），
∵抛物线解析式为y＝﹣x2﹣5x﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵△PAC的周长等于PA+PC+AC，AC为定长，
∴当PA+PC的值最小时，△PAC的周长最小，
∵A，B关于对称轴对称，
∴PA＝PB，
∴PA+PC＝PB+PC≥BC，
∴当P，B，C三点共线时，PA+PC的值最小，为BC的长，此时点P为直线BC与对称轴的交点，
设直线BC的解析式为：y＝mx+n，
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣4，
当时，，
∴，
∵A（﹣1，0），C（0，﹣4），
∴，，
∴；
（3）∵D为OC的中点，
∴D（0，﹣2），
∴OD＝2，
∵B（﹣4，0），
∴OB＝4，
在Rt△BOD中，，
∵，
∴∠QDB＝∠OBD，
①当Q点在D点下方时：
过点D作DQ∥OB，交抛物线于点Q，则：∠QDB＝∠OBD，此时Q点纵坐标为﹣2，
设Q点横坐标为t，
则：﹣t2﹣5t﹣4＝﹣2，
解得：，
∴或；
②当点Q在D点上方时：设DQ与x轴交于点E，
∴DE＝BE，
设E（p，0），
∴DE2＝OE2+OD2＝p2+4，BE2＝（﹣4﹣p）2，
∴p2+4＝（﹣4﹣p）2，
解得：，
∴，
同理可得DE的解析式为，
联立，
解得：或，
∴Q（﹣3，2）或；
综上：或或Q（﹣3，2）或．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性强，难度较大，属于中考压轴题．