2024年河南省信阳市中考一模数学模拟试题（含解析）

这是一份2024年河南省信阳市中考一模数学模拟试题（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项．）
1．的相反数是（ ）
A．B．C．D．
2．如图①．用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．图②“堑堵”的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
3．春满中原“吉祥年”，老家河南“龙抬头”．2024年春节假期，河南省文旅系统充分挖掘整合优质文旅盛宴，我省春节假期累计接待游客万人次．数据“万”用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．下列判断正确的是（ ）
A．“四边形对角互补”是必然事件
B．一组数据6，5，8，7，9的中位数是8
C．神舟十三号卫星发射前的零件检查，应选择抽样调查
D．甲、乙两组学生身高的方差分别为，，则乙组学生的身高较整齐
5．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（ ）

A．B．C．D．
6．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．的内接四边形中，与的数量关系为（ ）
A．B．
C．D．
8．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数
C．只有一个实数根D．没有实数根
9．如图，是的直径，切于点A，切于点B，且，，则点O到弦的距离为（ ）
A．2B．C．D．
10．如图1，已知的边长为，，于点E．现将沿方向以每秒1个单位的速度匀速运动，运动的与重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象如图2，则当t为9时，S的值是（ ）

A．B．C．D．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．写一个当x＞0时，y随x的增大而增大的函数解析式 ．
12．不等式组的整数解为 ．
13．现有4张化学仪器的示意图卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片，背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片正面图案都是轴对称图形的概率是 ．
14．小方的老家有一个古色古香的圆形门，如图所示，她测得下面矩形的边长高为，的长为1米，延长线与圆门交于点E，她测得的长约为米，则图中整个门的面积为 米2（结果保留根号和）
15．在长为2，宽为的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以矩形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为 ．
三、解答题（本题共8小题，共75分）
16．（1）计算：；
（2）解方程组：
17．新郑红枣又名鸡心枣，是河南省郑州市新郑市的特产，素有“灵宝苹果潼关梨，新郑大枣甜似蜜”的盛赞．某外贸公司从甲、乙两个红枣厂家各随机抽取10盒进行检测，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息：
10盒甲厂质量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98
10盒乙厂质量中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94
抽取的甲、乙厂质量统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______，______；
(2)这个月乙厂可包装3000盒红枣，估计该月“优秀”等级的盒数；
(3)根据以上数据，你认为外贸公司会选择______红枣厂家（填“甲”或“乙”）．请说明理由（写出一条理由即可）．
18．球罐，可大幅度减少钢材的消耗，特别是对于易燃，易爆、有毒，有害等特殊物质，球罐的防护性能更好．小刚爸爸的工厂有三个球罐，阅读了古代数学家刘徽编撰的《重差》后，小刚有了主意，他与同伴小强测得其中一个球罐最低处B离地面高度为1.5米．接着他站在球罐最高C处，看到地面F处恰好被点E遮挡，而他眼睛D与点C的距离为1.6米，用测倾器测得为55°．小强测得地面上为25.28米．两人画出了如图所示的截面图，求的高度．（结果精确到．参考数据：，，）
19．如图，已知村庄A，B分别在道路、上．
(1)尺规作图：作的角平分线和线段的垂直平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）作图的基础上，连接、，过D作，，垂足分别为点E和点F，求证：．
20．如图，菱形的边在x轴上，且，，点C在反比例函数的图象上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)当菱形绕点O逆时针旋转时，判断点C的对应点是否在的图象上；并直接写出所在的直线解析式．
21．烟花爆竹的发明与火药技术的使用息息相关．最初的爆竹是由唐朝的李畋发明的，他利用火药、纸筒等材料制作爆竹，目的是产生巨大声响以驱鬼辟邪，烟花爆竹不仅在重要节日以示庆贺，还承载着中国人迎祥纳福的美好愿望．小红的爸爸是一家烟花爆竹店的老板，在春节前购进甲，乙两种烟花，用3120元购进甲种烟花与用4200元购进乙种烟花的数量相同，乙种烟花进货单价比甲种烟花进货单价多9元．
(1)求甲、乙两种烟花的进货单价；
(2)小红的爸爸打算再购进甲、乙两种烟花共1000个，其中乙种烟花的购货数量不少于甲种烟花数量的3倍，如何进货才能花费最少？并求出最少的花费．
22．信阳位于中国南北地理分界线，地处淮河中上游，素有“北国江南，江南北国”美誉，自古雨水充沛，河流众多，降雨量和人均水资源量久居河南第一，素以“水广桥多”著称，被誉为“千湖之市”．其中一座桥的桥洞形状符合抛物线形状，如图1所示，桥墩高3米，拱顶A与起拱线相距4米，桥孔宽6米．
(1)若以起拱点B为坐标原点建立平面坐标系，求抛物线的函数表达式，并求其顶点坐标．
(2)河面的平均水位2米，信阳游客服务部门打算建造河上观赏船，故应考虑船下水后的吃水线问题．额定载客后，观赏船吃水线上面部分的截面图为矩形（如图2），当船宽为3米时．①求吃水线上船高约多少米时，可以恰好通过此桥；②若考虑涝季水面会再往上升1米，则求此时吃水线上船高的设计范围．
23．(1)如图1，在正方形中，E、M、F、N分别为，，、边上的点，于点P，则与的数量关系为 ；
(2)如图2，在矩形中，M，N分别为、边上的动点，于点P．若，．
①猜想与的比值是多少，并说明理由；
②连接，当为有两边相等时，请直接写出的长．
参考答案与解析
1．A
【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
【解答】解：的相反数是：．
故选：A．
【点拨】此题主要考查了相反数的定义，正确把握相反数的定义是解题关键．
2．C
【分析】根据几何体的俯视图是从上面看进行判断解答即可．
【解答】解：由图可知，该“堑堵”的俯视图是 ，
故选：C．
【点拨】本题考查几何体的俯视图，理解俯视图的概念是解答的关键．
3．D
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【解答】解：5021.6万．
故选：D．
4．D
【分析】本题考查了必然事件，方差的意义，抽样调查与普查，中位数，根据必然事件，中位数，方差的意义，抽样调查与普查逐项分析判断即可．
【解答】A、“四边形对角不一定互补”，故四边形对角一定互补是随机事件，故该选项不正确，不符合题意；
B、一组数据6，5，8，7，9，重新排列为5，6，7，8，9，则中位数是7，故该选项不正确，不符合题意；
C、神舟十三号卫星发射前的零件检查，这个调查很重要不可漏掉任何零件，应选择全面调查，故该选项不正确，不符合题意；
D、甲、乙两组学生身高的方差分别为s甲2＝1.6，s乙2＝0.8，则乙组学生的身高较整齐，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
5．C
【分析】本题考查平行线的性质．过作，得到，由，推出，由垂直的定义得到，由平行线的性质得出，即可求出结果．
【解答】解：过作，

∵，
∴，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
6．D
【分析】本题考查了合并同类项、完全平方公式，积的乘方，单项式除以单项式等知识点，根据完全平方公式，积的乘方，同类项，多项式除以单项式等知识点分别计算即可得出结果．
【解答】解：A、与不是同类项不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
7．B
【分析】本题考查了圆周角定理及圆内接四边形对角互补的性质，根据圆周角定理及圆内接四边形对角互补的性质即可得出结论．
【解答】解：的内接四边形中，，
故选B．
8．A
【分析】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键．先求出△的值，再判断出其符号即可．
【解答】解：，
方程有两个不等实根．
故选：A．
9．B
【分析】根据切线长定理结合已知条件得出为等边三角形，得出，，求出，过点作，垂足为H，根据垂径定理和即可求出结果．
【解答】解：∵，分别与相切于点A，点C，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵为的切线，
∴，
∴，
∴，
过点作，垂足为H，
∴，
∴，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，等边三角形的判定和性质，直径所对的圆周角为直角，直角三角形的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相关的性质和定理．
10．C
【分析】本题考查的是动点函数图象问题、平行四边形的性质、勾股定理及含30度角的性质，熟练掌握以上知识点，弄清楚不同时段，图象和图形的对应关系，是解题的关键．
根据题意得出，，结合函数图象确定，当运动时间时，为二次函数，且在时达到最大值，对称轴为，二次函数与坐标轴的另一个交点为，然后确定二次函数解析式，代入求解即可．
【解答】解：∵为，，于点E．
∴，
∴，
由运动的与重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象得：
当运动到6时，重叠部分的面积一直不变，
∴，
∴，
由函数图象得：当运动时间时，为二次函数，且在时达到最大值，对称轴为直线，
∴二次函数与坐标轴的另一个交点为，
设二次函数的解析式为，
将点代入得：，
∴，
当t为9时，．
故选：C．
11．y＝x或y＝或y＝x2等（此题答案不唯一）．
【分析】可根据二次函数、一次函数、反比例函数的性质作答．
【解答】解：若为一次函数，∵当x＞0时，y随x的增大而增大，∴k＞0，如y＝x；
若为反比例函数，∵当x＞0时，y随x的增大而增大，∴k＜0，如y＝；
若为二次函数，∵当x＞0时，y随x的增大而增大，∴a＞0，对称轴y＝≤0，如y＝x2；
∴当x＞0时，y随x的增大而增大的函数解析式为y＝x或y＝或y＝x2等（此题答案不唯一）．
【点拨】本题考查了二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，熟练掌握函数的图象和性质是解题关键.．
12．2、3
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：，
由①得： ，
由②得：，
∴不等式组的解集为，
则不等式组的整数解为2、3，
故答案为2、3
13．##
【分析】本题主要考查了画树状图法求概率、轴对称图形，能根据题意画出树状图是解题的关键．把4张卡片分别记为：A、B、C、D，画树状图，共有12种等可能的结果，找出满足条件的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把4张卡片分别记为：A、B、C、D，其中A、C、D为轴对称图形，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，两张卡片正面图案都是轴对称图形的结果有6种，
∴正面图案都是轴对称图形的概率为．
故答案为：
14．
【分析】本题考查了圆周角定理，矩形的性质，圆的面积，勾股定理解题的关键是熟练掌握圆周角定理和勾股定理；
根据矩形的性质可知则，即可知为圆形门中圆的直径，再根据勾股定理求出，进而可求解
【解答】解：依题意得：
四边形为矩形，
为圆形门中圆的直径，
在中，
有勾股定理得：，
取的中点为O，连接，如图所示：
半圆的面积为：，
在中，，
即，
扇形的面积为：，
为等边三角形，
的面积为：，
矩形的面积为：
整个门的面积为：米2
故答案为：
15． 或
【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的性质以及分类讨论的数学思想方法，熟练掌握矩形，正方形性质以及分类讨论的方法是解题的关键．
分析题意，根据x的取值范围不同，对剩下矩形的长宽进行讨论，求出满足题意的x值即可．
【解答】解：第一次操作后剩下的矩形两边长为 和 ，
，
又，
，
，
则第一次操作后，剩下矩形的宽为x，长为；
第二次操作后，剩下矩形一边为 ，
另一边为：x ，
∵第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，
∴第二次操作后剩下矩形的长是宽的2倍，
分以下两种情况进行讨论：
①当 ，即时 ，
第三次操作后剩下的矩形的宽为 ，长是x ，
则由题意可知： ，
解得： ；
②当 ，即时，
第三次操作后剩下的矩形的宽为x ，长是 ，
由题意得： ，
解得： ，
或者 ．
故答案为： 或 ．
16．（1）；（2）
【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂和负整数指数幂，解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．
（1）根据零指数幂，负整数指数幂，立方根即可得出答案；
（2）根据加减消元法解方程组即可．
【解答】（1）解：
；
（2）
解：得：，则
将代入①得：，
∴原方程组的解为．
17．(1)95，90，20．
(2)900盒
(3)甲红枣厂家，平均数一样，但“优秀”等级占比大，甲厂方差比乙厂小，质量比乙厂稳定，众数比乙厂大．
【分析】题目主要考查数据的处理及利用样本估计总体，理解题意，熟练掌握中位数、众数等的计算方法是解题关键．
（1）根据中位数，众数，百分比的概念或公式计算即可；
（2）由乙的“优秀”等级所占百分比乘以包装总盒数即可；
（3）根据平均数一样，比较优秀率、方差、众数即可判断．
【解答】（1）解：甲厂10盒中数据出现最多的是95，
故，
乙厂“优秀”等级所占百分比为，
故“优秀”等级有3盒，而“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94，
“合格”等级有2盒，
故10个数据由小到大排列，第5、6个数据是90，90，故中位数，
乙厂“合格”等级占比，故，
故答案为：95，90，20．
（2）这个月乙厂可包装3000盒红枣，估计该月“优秀”等级的盒数（盒）
（3）选择甲红枣厂家，平均数一样，但“优秀”等级占比大，甲厂方差比乙厂小，质量比乙厂稳定，众数比乙厂大．
18．米
【分析】本题主要考查了解直角三角形得应用，根据即可直接求出米，再减去即可得出的高度．
【解答】解：∵，即
∴（米）
∴（米）
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查基本作图（线段的垂直平分线、角平分线）以及它们的性质．
（1）根据要求分别作出的角平分线和线段的垂直平分线即可，
（2）根据线段垂直平分线性质可得，角平分线的性质可得，进而证明，即可得出结论．
【解答】（1）解：如图所示：是的角平分线，是线段的垂直平分线，与交于点D；
（2）证明：如图，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
又∵是的角平分线，，，
∴，
∴
∴
20．(1)
(2)在图象上，所在直线解析式为：
【分析】题目主要考查反比例函数与特殊四边形的性质，解三角形的应用，旋转的性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键
（1）根据题意设，再由菱形的性质得出，然后求解代入即可；
（2）过点C作轴于点M，再由勾股定理及解三角形确定，根据旋转的性质得出，连接，得出点B旋转后再x轴负半轴上，过点作轴，得出 点在反比例函数图象上，再利用待定系数法求解确定一次函数解析式即可．
【解答】（1）解：∵点C在反比例函数的图象上，
∴设，
∵菱形，
∴，
∴，解得：，
∴；
（2）由（1）得，
过点C作轴于点M，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵菱形绕点O逆时针旋转，
∴，，
∵
∴，
连接，
∵，
∴，
∴，
∴点B旋转后再x轴负半轴上，
∵菱形为轴对称图形，
∴，
过点作轴，
在中，，，
∴，，
∴，
把代入中，成立，
∴点在反比例函数图象上，
∵，
设所在的直线解析式为，
∴，解得：，
∴．
21．(1)甲种烟花的进货单价为26元，则乙种烟花的进货单价为元；
(2)购进甲种烟花个，则乙种烟花个，花费最少为元．
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程及一元一次不等式和相应的函数关系式．
（1）设甲种烟花的进货单价为x元，则乙种烟花的进货单价为元，由题意列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进甲种烟花m个，则乙种烟花个，花费为y元，根据题意确定相应的函数关系式和不等式，然后求解，利用一次函数的性质即可得出结果．
【解答】（1）解：设甲种烟花的进货单价为x元，则乙种烟花的进货单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
则，
答：甲种烟花的进货单价为26元，则乙种烟花的进货单价为元；
（2）设购进甲种烟花m个，则乙种烟花个，花费为y元，
由题意得：，
∵乙种烟花的购货数量不少于甲种烟花数量的3倍，
∴，
解得：，
∵，则y随m的增大而减小，
∴当时，y最小，最小为元，
则，
答：购进甲种烟花个，则乙种烟花个，花费最少为元．
22．(1)抛物线的函数表达式，顶点坐标为，
(2)①米，②当船宽为3米时，要求吃水线上船高小于3米
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据建立的平面直角坐标系求出函数的表达式是解题关键．
（1）以起拱点B为坐标原点建立平面坐标系，所在线为轴，过点作的垂线为轴，建立的平面直角坐标系如下：
因此，抛物线的顶点坐标为，可设抛物线的函数表达式为，再将点的坐标代入即可求解；
（2）①根据题（1）的结果，令求出值，从而可得吃水线上船高；②涝季水面会再往上升1米，即要求吃水线上船高在①的基础上减少1米.
【解答】（1）以起拱点B为坐标原点建立平面坐标系，所在线为轴，过点作的垂线为轴，建立的平面直角坐标系如下：

根据所建立的平面直角坐标系可知，点的坐标为，抛物线的顶点坐标为、点的坐标为，
因此设抛物线的函数表达式为，
将代入得：，
解得：，
则所求的抛物线的函数表达式为；
（2）①由题意，当船的中轴线与桥拱的对称轴重合时，而且恰好通过此桥，如图：
∵，则、的横坐标，
当得，即坐标为，
∵河面的平均水位2米，
故（米）
船高约4米时，可以恰好通过此桥，
②若考虑涝季水面会再往上升1米，则要求吃水线上船高的减少1米，
吃水线上船高，即若考虑涝季水面会再往上升1米，则要求吃水线上船高小于3米.
23．(1)
(2)①
②或或
【分析】对于（1），作，作，可得四边形，是平行四边形，，，，进而得出，即可得出答案；
对于（2）①，作，可得四边形是平行四边形，再说明，即可得出答案；
②分三种情况，当，，，再根据相似三角形的性质得出答案．
【解答】（1）过点A作，交于点H，过点B作，交于点G．
可知四边形是平行四边形，且，四边形是平行四边形，，
∴，，．
∵四边形是正方形，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：MN=EF；
（2）①，理由如下：
如图所示，过点A作，交于点E．
∵四边形是矩形，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
②或或．
如图所示，过点C作的垂直平分线，交于点E，则．
∵四边形是矩形，
∴．
根据勾股定理，得．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
解得，
∴；
作的垂直平分线交于点P，连接，则．
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
解得，
∴；
当时，可知，
∴，
即，
解得，
∴．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理等，灵活选择判定定理是解题的关键，注意多种情况讨论，不能丢解．
厂家
平均数
中位数
众数
方差
“优秀”等级所占百分比
甲
90
89
a
26.6
40%
乙
90
b
90
39
30%