湖北省沙市中学2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题
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这是一份湖北省沙市中学2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题,共11页。试卷主要包含了单项选择题,选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
命题人:张群武 审题人:叶世安
考试时间:2024年11月26日
考试时间120分钟 试卷满分150
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则的元素个数为
A.1B.2C.3D.4
2.已知复数在复平面内对应的点为(2,-1),则( )
A. B. C. D.
3.等比数列的各项均为正数,若,,则
A.588B.448C.896D.224
4.设等差数列的前项和为,已知,则( )
A.-2B.-1C.1D.2
5.已知,函数在上没有零点,则实数的取值范围
A. B. C.D.
6.已知为第一象限角,且,则
A.9B.3C.D.
7. 已知等腰梯形的上底长为1,腰长为1,若以等腰梯形的上底所在直线为轴,旋转一周形成一个几何体,则该几何体表面积的最大值为( )
A. B. C. D.
8. 若函数在区间恰有2个零点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知函数,则
A.是偶函数B.的最小正周期为
C.的最大值为D.在上单调递增
10.记等比数列的前项积为,且,若,则的可能取值为( )
A.- 7B.5C.6D.7
11.如图,圆锥的底面直径和母线长均为,其轴截面为,为底面半圆弧上一点,且,,,则
A.存在,使得
B.当时,存在,使得平面
C.当,时,四面体的体积为
D.当时,
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知点在抛物线上,为抛物线的焦点,直线与准线相交于点,则线段的长度为______.
13.已知数列是单调递增数列,其前项和为(,为常数),写出一个有序数对________,使得数列是等差数列.
14.定义在上的函数满足是奇函数,则的对称中心为________;若,则数列的通项公式为________.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知函数.
(1)当时,讨论的单调性;
(2)当时,,求的取值范围;
16.(15分) 如图,在中,角A,,所对的边分别为,,,已知.
(1)求A;
(2)若,,将沿折成直二面角,求直线与平面所成角的正弦值.
17.(15分)已知,数列前项和为,且满足;数列满足,.
(1)求数列的通项公式;
(2)是否存在实数,使得数列是等差数列?如果存在,求出实数的值;如果不存在,请说明理由;
(3)求使得不等式成立的的最大值.
18.(17分) 已知椭圆:的离心率为,点在上,直线与交于不同于A的两点,.
(1)求的方程;
(2)若,求面积的最大值;
(3)记直线,的斜率分别为,,若,证明:以为直径的圆过定点,并求出定点坐标.
19.(本题满分17分)一般地,任何一个复数(a,)可以写成,其中r是复数的模,是以x轴非负半轴为始边,射线OZ为终边的角,称为复数的辅角.我们规定在范围内的辅角称为辅角主值,通常记作argz,如,,.发现,就是说两个复数相乘,积的模等于各复数模的积,积的辅角等于各复数辅角的和.
考虑如下操作:从写有实数0,1,的三张卡片中随机抽取两张,将卡片上的两个数依次作为一个复数的实部和虚部.设n为正整数,重复n次上述操作,可得到n个复数,将它们的乘积记为.
(1)写出一次操作后所有可能的复数;
(2)当,记的取值为X,求X的分布列;
(3)求为实数的概率.
11月月考数学参考答案
1.【答案】C 2.【答案】B 3.【答案】B 4。【答案】B 5.【答案】D 6.【答案】C 7.【答案】A 8.【答案】B
9.【答案】AC 为偶函数,A对.,∴为奇函数,B错.,C对.,,在单调递增,单调递减,D错.
10..【答案】 BD
11.【答案】BCD 【解析】,则与不可能垂直,若,则面,则,则面矛盾,A错.对于B,取中点,则,过作交于点,此时为中点,则面平面,∴平面,对.对于D,如图建系,,,, ,,,,
∴,∴,D对.
时,,时,到平面的距离是到平面距离的
,其中表示到平面的距离,是到平面距离,
,C对,选BCD.
12.【答案】
13.【答案】(1,0) 【解析】,,为等差数列,即可以是.
14.【答案】 , 【解析】关于对称,则
∴,则关于对称,(第一空)
,
∴,则.
15.【解析】(1)时,,,令
当时,,单调递减;当时,,单调递增.
(2)对恒成立对恒成立而,,当时,,∴.
16【小问1详解】
,结合正弦定理,,化简得.
由余弦定理得,,故;
【小问2详解】设,,
在中,由得,解得.①
在中,.②
由①、②得.,,从而.
二面角为直二面角,,
平面平面,平面,平面
建立如图所示的空间直角坐标系,
易知A0,0,0,,,,
,,.
设平面的法向量n=x,y,z,则有,即
令,解得.
,故直线与平面所成角的正弦值为.
17.【解析】(1)①,②,②-①,∴,而,∴∴成首项为1,公比为2的等比数列,∴.
(2)假设存在,∴
为常数,∴ 解得,
∴存在使成等差数列,且公差为1.
(3)由(2)知,∴ ∴
令, ∴在上单调递减,注意到,,
∴时,,∴.
18【小问1详解】
由题意可知:,解得,所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
若,可知直线的斜率存在,
设直线:,,
联立方程,消去y可得,
则,整理可得,
可得,
因为,则,
由,可得,
则,
整理可得,
则,
且,则,可得,
解得,且满足,可知直线:过定点,
则面积,
令,则,可得,
因为在内单调递增,则,
所以当时,面积取到最大值.
【小问3详解】
若直线的斜率不存在,设,
可得,可得,
这与相矛盾,不合题意;
可知直线的斜率存在,设直线:,,
可得,
整理可得,
则,
且,则,可得,解得,
设以为直径的圆过定点Px0,y0,
则,
可得,
则,
整理可得,
则,
可得,
注意到上式对任意的均成立,则,解得,
所以以为直径的圆过定点.
19.解:(1)一次操作后可能的复数为:1,i,,,,,
(2)一次操作后复数的模所有可能的取值为是:1,1,,,2,2
由,故X的取值为1,,2,3,,4
,,.
,,,
所以X的分布列为
(3)若为实数,则或.
而1,i,,,,的辅角主值分别是0,,0,,,,
设在n次操作中,得到i,的次数为,得到的次数为,得到的次数为
于是,
从而,即
因此,所有的概率即为是3的倍数的概率,下面研究与之间的关系.
(ⅰ)是3的倍数,且第次操作得到的复数是1,i,,(概率为);
(ⅱ)被3除余1,且第次操作得到的复数是(概率为);
(ⅲ)被3除余2,且第次操作得到的复数是(概率为);
因此由全概率公式可以得到:
变形得,其中,故
X
1
2
3
4
P
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