河北省石家庄市行唐县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题（含答案解析）

这是一份河北省石家庄市行唐县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题（含答案解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k＜﹣1D．k≤﹣1
3．（3分）如图所示，AD是⊙O的直径，弦BC交AD于点E，AC，若∠BAD＝30°（ ）
A．50°B．40°C．70°D．60°
4．（3分）全班共有53名学生，其中有26名女生，27位男生，在女生中选到王芳的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点C的对应点C'落在AB边上，A'B＝5（ ）
A．2B．C．3D．4
6．（3分）从数学的观点看，对以下成语或诗句中的事件判断正确的是（ ）
A．诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件
B．诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件
C．成语“守株待兔”是随机事件
D．成语“水中捞月”是随机事件
7．（3分）如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G且AB∥CD，若OB＝8m，则BE+CG等于（ ）
A．7cmB．8cmC．9cmD．10cm
8．（3分）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2
9．（3分）一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）已知锐角△ABC中，O是AB的中点，小明、小英二人想在AC线段上找一点P，其做法如图．对于小明、小英二人的做法，正确的是（ ）
A．只有小明正确B．只有小英正确
C．两人都正确D．两人都不正确
11．（3分）如图，一张扇形纸片OAB，∠AOB＝120°，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O重合，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为（ ）
A．9B．12π﹣9C．D．6π﹣
12．（3分）函数y＝x2+2bx+6的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，且x1＞1，x2﹣x1＝4．当1≤x≤3时，该函数的最大值m与最小值n的关系式是（ ）
A．B．m＝3nC．3m﹣n＝36D．3m﹣n＝6
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分.其中第15小题第一空1分，第二空2分；第16小题每空1分）
13．（3分）某种麦粒在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示，则任取一粒麦粒 ．（结果精确到0.01）
14．（3分）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则+的值为 ．
15．（3分）如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4）（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧）．
（1）n＝ ；
（2）若点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为 ．
16．（3分）已知直线AB与⊙O相切于点B，连接OA交⊙O于点C．
（1）如图①，点D是优弧BC上一点，连接CD，若∠CDB＝25°，则∠BAC＝ °；
（2）如图②，延长AO交⊙O于点D，连接BD，则∠BAC＝ °；
（3）如图③，点E是AO上一点，且AE＝AB，连接OD，若∠BDO＝20° °．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）△ABC在网格图中的位置如图所示，顶点坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1．
（2）画出△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°得到的图形△A2B2C2．
18．（6分）如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒，求剪去的正方形的边长．
19．（8分）西安大唐不夜城以盛唐文化为背景，以唐风元素为主线，建有四大文化场馆，B．陕西大剧院，C．西安美术馆，因时间有限，甲、乙两名同学准备分别从这4个场馆中随机选择一个进行参观
（1）甲同学选择参观西安音乐厅的概率是 ；
（2）请你用列表法或画树状图法，求甲、乙两名同学选择不同场馆参观的概率．
20．（8分）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，∠AEC＝30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10
21．（10分）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式．
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
22．（10分）阅读下列材料：
解方程：x4﹣6x2+5＝0．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点．
它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣6y+5＝0，①
解这个方程得：y1＝1，y2＝5．
当y1＝1时，x2＝1，解得x1＝1，x2＝﹣1；
当y2＝5时，x2＝5，解得，．
综上，原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，，．
这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
（1）用换元法解方程：（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0；
（2）Rt△ABC三边是a，b，c．若两直角边a，b满足（a+b）（a+b﹣7），斜边c＝4，求Rt△ABC的周长．
23．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为（﹣1，0）（0，3）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在直线BC上方的抛物线上存在点Q，使得∠QCB＝2∠ABC，求点Q的坐标．
24．（12分）如图，圆O为Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，AC＝4，点D是圆O上的动点
（1）求圆O的半径；
（2）当CD＝4时，求∠ACD的度数；
（3）设AD的中点为M，在点D的运动过程中，线段CM的最大值为 ．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（3分）关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k＜﹣1D．k≤﹣1
【分析】由方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出k的范围即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣k＝5有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝6+4k≥0，
解得：k≥﹣4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
3．（3分）如图所示，AD是⊙O的直径，弦BC交AD于点E，AC，若∠BAD＝30°（ ）
A．50°B．40°C．70°D．60°
【分析】根据“直径所对的圆周角是直角”可得∠ABD＝90°，进而求出∠ADB，再根据圆周角定理即可得出答案．
【解答】解：如图，连接BD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠BAD＝30°，
∴∠ADB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACB＝∠ADB＝60°，
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理，掌握“直径所对的圆周角是直角”以及“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”是正确解答的前提．
4．（3分）全班共有53名学生，其中有26名女生，27位男生，在女生中选到王芳的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接根据概率公式解答即可．
【解答】解：由有26名女生，王芳是其中一人，
则班级需选出一名女生参加升旗仪式，在女生中选到王芳的概率为：，
故选：D．
【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
5．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点C的对应点C'落在AB边上，A'B＝5（ ）
A．2B．C．3D．4
【分析】根据旋转可得∠A′C′B＝∠C＝90°，A′C′＝AC＝3，AB＝A′B＝5，根据勾股定理考查BC的值，进而可得AC′的值，再根据勾股定理可得AA′的长．
【解答】解：根据旋转可知：
∠A′C′B＝∠C＝90°，A′C′＝AC＝3，
根据勾股定理，得BC＝，
∴BC′＝BC＝4，
∴AC′＝AB﹣BC′＝1，
在Rt△AA′C′中，根据勾股定理，得
AA′＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
6．（3分）从数学的观点看，对以下成语或诗句中的事件判断正确的是（ ）
A．诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件
B．诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件
C．成语“守株待兔”是随机事件
D．成语“水中捞月”是随机事件
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、诗句“清明时节雨纷纷”是随机事件；
B、诗句“离离原上草，故B不符合题意；
C、成语“守株待兔”是随机事件；
D、成语“水中捞月”是不可能事件；
故选：C．
【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
7．（3分）如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G且AB∥CD，若OB＝8m，则BE+CG等于（ ）
A．7cmB．8cmC．9cmD．10cm
【分析】根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF＝180°，则有∠OBC+∠OCB＝90°，即∠BOC＝90°，再由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长．
【解答】解：连接OF，
根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，
∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG；  
∵AB∥CD
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠OBF+∠OCF＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∵OB＝6cm，OC＝8cm，
∴BC＝10cm，
∵OF⊥BC，
∴BE＝BF，CG＝CF
∴BE+CG＝BF+CF＝BC＝10cm．
故选：D．
【点评】此题主要是综合运用了切线长定理和切线的性质定理．由勾股定理可求得BC的长是关键．
8．（3分）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2
【分析】求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣6，
∵a＝﹣3＜0，
∴x＝﹣4时，函数值最大，
又∵﹣3到﹣2的距离比5到﹣2的距离小，
∴y3＜y3＜y2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．
9．（3分）一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸到的球恰好有一个红球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
共有6种等可能的结果，其中两次摸到的球恰好有一个红球的结果有：（红，（红，（白，（绿，共4种，
∴两次摸到的球恰好有一个红球的概率为．
故选：B．
【点评】本题考查列表法与树状图法和概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
10．（3分）已知锐角△ABC中，O是AB的中点，小明、小英二人想在AC线段上找一点P，其做法如图．对于小明、小英二人的做法，正确的是（ ）
A．只有小明正确B．只有小英正确
C．两人都正确D．两人都不正确
【分析】因为过点B作与AC垂直的直线，交AC于点P，则∠APB＝90°，结合以O为圆心，OA长为半径画弧，交AC于点P，则∠APB＝90°（直径所对的圆周角是直角），即可作答．
【解答】解：∵过点B作与AC垂直的直线，交AC于点P，
∴∠APB＝90°，
则小明的作法是正确的；
∵以O为圆心，OA长为半径画弧，
∴AB是⊙O的直径，
则∠APB＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∴两人都正确．
故选：C．
【点评】本题考查了作垂线以及圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
11．（3分）如图，一张扇形纸片OAB，∠AOB＝120°，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O重合，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为（ ）
A．9B．12π﹣9C．D．6π﹣
【分析】根据阴影部分的面积等于扇形BD面积O减去S弓形OD面积计算即可．
【解答】解：由折叠可知，
S弓形AD＝S弓形OD，DA＝DO，
∵OA＝OD，
∴AD＝OD＝OA，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠AOD＝60°，∠DOB＝60°，
∵AD＝OD＝OA＝6，
∴CD＝3，
∴S弓形AD＝S扇形ADO﹣S△ADO＝﹣×6×7，
∴S弓形OD＝7π﹣9，
阴影部分的面积＝S扇形BDO﹣S弓形OD＝﹣（6π﹣5，
故选：A．
【点评】本题考查了扇形面积与等边三角形的性质，熟练运用扇形公式是解题的关键．
12．（3分）函数y＝x2+2bx+6的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，且x1＞1，x2﹣x1＝4．当1≤x≤3时，该函数的最大值m与最小值n的关系式是（ ）
A．B．m＝3nC．3m﹣n＝36D．3m﹣n＝6
【分析】依据题意，由函数y＝x2+2bx+6的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，从而x1•x2＝6，又x2﹣x1＝4，可得x1＝﹣2，x2＝2+，又x1+x2＝﹣2b，求得b，进而得对称轴为直线x＝（x1+x2）＝＞3，再由二次函数的图象与性质，可得当1≤x≤3时，函数的最大值与最小值，消去b即可得解．
【解答】解：函数y＝x2+2bx+8的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，
∴x8•x2＝6．
又x3﹣x1＝4，
解得：x6＝﹣2，x2＝2+，
∵x1+x2＝﹣6b，
∴b＝﹣．
∴对称轴为直线x＝（x3+x2）＝＞3．
又抛物线a＝6＞0，
∴当x≤3时，y随x的增大而减小．
∴当8≤x≤3时，函数在x＝3时，即n＝y＝x7+2bx+6＝15+4b，
在x＝1时，取得最大值2+3bx+6＝7+3b．
∴n＝15+3（m﹣7）．
∴4m﹣n＝6．
故选：D．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分.其中第15小题第一空1分，第二空2分；第16小题每空1分）
13．（3分）某种麦粒在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示，则任取一粒麦粒 0.95 ．（结果精确到0.01）
【分析】根据题意得出发芽的概率，进而可得出结论．
【解答】解：由表格可得：随着实验麦粒数的增加，其发芽的频率稳定在0.95左右，
∴任取一粒麦粒，它能发芽的概率约为0.95，
故答案为：8.95．
【点评】本题考查用频率估计概率，根据表格得出发芽的频率是解题的关键．
14．（3分）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则+的值为 ．
【分析】由实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，知a、b可看作方程x2﹣4x+3＝0的两个不相等的实数根，据此可得a+b＝4，ab＝3，将其代入到原式＝即可得出答案．
【解答】解：∵实数a、b分别满足a2﹣4a+6＝0，b2﹣8b+3＝0，且a≠b，
∴a、b可看作方程x4﹣4x+3＝7的两个不相等的实数根，
则a+b＝4，ab＝3，
则原式＝＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是根据方程的特点得出a、b可看作方程x2﹣4x+3＝0的两个不相等的实数根及韦达定理．
15．（3分）如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4）（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧）．
（1）n＝ 4 ；
（2）若点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为 8 ．
【分析】（1）根据抛物线的顶点在线段AB上可得出n＝4；
（2）根据抛物线的顶点再点A时，点C的横坐标最小值为﹣3，可以得出CD＝8，然后当顶点在点B时，得出点D的横坐标最大值8．
【解答】解：（1）∵点A，B的坐标分别为（1，4），
∴线段AB所在的直线方程为y＝3，
∵抛物线y＝a（x﹣m）2+n的顶点（m，n）在线段AB上运动，
∴n＝4，
故答案为：7；
（2）∵抛物线y＝a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，
∴当抛物线顶点为A（1，7）时，
此时，对称轴为直线x＝1，CD＝8，
当抛物线顶点为B（7，4）时，
∵CD＝8，
∴C（6，0），0）；
此时D点横坐标最大，最大值为8，
故答案为：8．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，关键是掌握二次函数的性质．
16．（3分）已知直线AB与⊙O相切于点B，连接OA交⊙O于点C．
（1）如图①，点D是优弧BC上一点，连接CD，若∠CDB＝25°，则∠BAC＝ 40 °；
（2）如图②，延长AO交⊙O于点D，连接BD，则∠BAC＝ 30 °；
（3）如图③，点E是AO上一点，且AE＝AB，连接OD，若∠BDO＝20° 40 °．
【分析】（1）连接OB，由切线的性质得∠ABO＝90°，再由圆周角定理得∠COB＝2∠CDB＝50°，再求解即可得出结论；
（2）连接OB，由AB是⊙O的切线，可得∠ABO＝90°，从而得出∠OAB+∠AOB＝90°，再由等腰三角形的性质可得∠OAB＝∠ODB，再求解即可得出结论；
（3）连接OB，由AB是⊙O的切线，可得∠ABO＝90°，再由OB＝OD，可得∠DBO＝∠BDO＝20°，从而得出∠ABE＝∠ABO﹣∠DBO＝90°﹣20°＝70°，再由AE＝AB，可得∠AEB＝∠ABE＝70°，再求解即可得出结论．
【解答】解：（1）如图①，连接OB，
∵AB是⊙O的切线，
∴∠ABO＝90°，
∵∠CDB＝25°，
∴∠COB＝2∠CDB＝50°，
∴∠BAC＝90°﹣∠COB＝40°．
故答案为：40；
（2）如图②，连接OB，
∵AB是⊙O的切线，
∴∠ABO＝90°，
∴∠OAB+∠AOB＝90°，
∵AB＝BD，
∴∠OAB＝∠ODB，
又∵∠OBD＝∠ODB，
∴∠CAB+∠AOB＝∠CAB+2∠ODB＝7∠CAB＝90°，
∴∠CAB＝30°．
故答案为：30；
（3）如图③，连接OB，
∵AB是⊙O的切线，
∴∠ABO＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠DBO＝∠BDO＝20°，
∴∠ABE＝∠ABO﹣∠DBO＝90°﹣20°＝70°，
∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠AEB﹣∠ABE＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故答案为：40
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）△ABC在网格图中的位置如图所示，顶点坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1．
（2）画出△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°得到的图形△A2B2C2．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点即可；
（2）分别作出A1、B1、C1的对应点A2、B2、C2即可．
【解答】解：（1）△A1B1C7如图1所示；
（2）△A2B5C2如图2所示．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．（6分）如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒，求剪去的正方形的边长．
【分析】设正方形的边长为x cm，根据题意知：底面的边长为：（10﹣2x）cm、（6﹣x）cm，根据该底面的面积是24cm2，列出方程并解答即可．
【解答】解：设正方形的边长为x cm，
根据题意得：（10﹣2x）（6﹣x）＝24，
整理得：x6﹣11x+18＝0，
解得x＝2或x＝2（舍去），
答：剪去的正方形的边长为2cm．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系，列出方程．
19．（8分）西安大唐不夜城以盛唐文化为背景，以唐风元素为主线，建有四大文化场馆，B．陕西大剧院，C．西安美术馆，因时间有限，甲、乙两名同学准备分别从这4个场馆中随机选择一个进行参观
（1）甲同学选择参观西安音乐厅的概率是 ；
（2）请你用列表法或画树状图法，求甲、乙两名同学选择不同场馆参观的概率．
【分析】（1）利用简单地概率公式计算即可；
（2）利用列表法解答即可．
【解答】解：（1）一共有4种等可能性，西安音乐厅只有一种等可能性，
甲同学选择参观西安音乐厅的概率是．
故答案为：；
（2）列表如下：
由表可知共有16种等可能结果，其中甲，
∴甲，乙两名同学选择不同场馆参观的概率为．
【点评】本题考查了简单地概率计算，列表法计算概率，熟练掌握列表法计算概率是解题的关键．
20．（8分）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，∠AEC＝30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10
【分析】（1）连接OA，由圆周角定理可求得∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝60°，则∠OAD＝90°，可证明直线AD是⊙O的切线；
（2）若AE⊥BC于点M，根据垂径定理可证明AM＝EM，在Rt△AOM中，∠AMO＝90°，∠AOM＝60°，则∠OAM＝30°，已知⊙O的半径OA＝6，则OM＝OA＝3，根据勾股定理可以求出AM的长，进而求出AE的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OA，
∵∠AEC＝30°，
∴∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝60°，
∵AB＝AD，
∴∠D＝∠B＝30°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOC﹣∠D＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AD⊥OA，
∴直线AD是⊙O的切线．
（2）解：如图，∵BC是⊙O的直径，
∴AM＝EM，
∵∠AMO＝90°，∠AOM＝60°，
∴∠OAM＝30°，
∴OM＝OA＝，
∴AM＝＝＝5，
∴AE＝4AM＝2×5＝10．
【点评】此题考查圆的切线的判定、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，此题综合性较强，难度较大．
21．（10分）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式．
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
【分析】（1）根据销售额＝销售量×销售单价，列出函数关系式；
（2）用配方法将（1）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值；
（3）把y＝150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据x的取值范围求x的值．
【解答】解：（1）由题意得出：
w＝（x﹣20）•y
＝（x﹣20）（﹣2x+80）
＝﹣2x6+120x﹣1600，
故w与x的函数关系式为：w＝﹣2x2+120x﹣1600；
（2）w＝﹣8x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）7+200，
∵﹣2＜0，
∴当x＝30时，w有最大值．
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大．
（3）当w＝150时，可得方程﹣7（x﹣30）2+200＝150．
解得 x1＝25，x5＝35．
∵35＞28，
∴x2＝35不符合题意，应舍去．
答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．
【点评】本题考查了二次函数的运用．关键是根据题意列出函数关系式，运用二次函数的性质解决问题．
22．（10分）阅读下列材料：
解方程：x4﹣6x2+5＝0．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点．
它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣6y+5＝0，①
解这个方程得：y1＝1，y2＝5．
当y1＝1时，x2＝1，解得x1＝1，x2＝﹣1；
当y2＝5时，x2＝5，解得，．
综上，原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，，．
这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
（1）用换元法解方程：（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0；
（2）Rt△ABC三边是a，b，c．若两直角边a，b满足（a+b）（a+b﹣7），斜边c＝4，求Rt△ABC的周长．
【分析】（1）设 y＝x2﹣x，则原方程可转化为y2﹣4y﹣12＝0，即（y+2）（y﹣6）＝0，解得，y1＝﹣2（舍去），y2＝6，则x2﹣x＝6，即（x﹣3）（x+2）＝0，计算求解即可；
（2）设 a+b＝x，则原方程可变形为x2﹣7x+10＝0，求出x的值，再由三角形的三边关系判断出a+b的值，进而得出ab的值，由三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：（1）设y＝x2﹣x，
由题意知，原方程可转化为y2﹣8y﹣12＝0，
即（y+2）（y﹣6）＝0，
解得，y1＝﹣8（舍去），y2＝6，
∴x5﹣x＝6，
即（x﹣3）（x+6）＝0，
解得，x1＝2，x2＝﹣2；
（2）设 a+b＝x，
∵（a+b）（a+b﹣3）+10＝0，
∴x（x﹣7）+10＝5，
即 x2﹣7x+10＝7，
解得：x1＝2，x7＝5，
∵斜边 c＝4，
∴a+b＞c，
∴a+b＝3，
∴（a+b）2＝25，
∴a2+b7+2ab＝25，
又∵a2+b4＝c2＝16，
∴2ab＝7，
∴ab＝，
∴Rt△ABC的面积为ab＝．
【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程等知识．熟练掌握换元法解一元二次方程是解题的关键．
23．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为（﹣1，0）（0，3）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在直线BC上方的抛物线上存在点Q，使得∠QCB＝2∠ABC，求点Q的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）过点C作CQ⊥BC交抛物线于点Q，过点Q作QG⊥y轴于点G，根据条件得到△GCQ是等腰直角三角形，则CG＝QG，设Q（q，﹣q2+2q+3），则G（0，﹣q2+2q+3），再列方程解题即可．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），4）代入y＝ax2+2x+c，得：
解得
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+8x+3；
（2）对于y＝﹣x2+4x+3，令y＝05+2x+3＝2，
解得x1＝﹣1，x8＝3，
∴B（3，3），
∴OB＝OC＝3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∵∠QCB＝2∠ABC，
∴∠QCB＝90°，
如图，过点C作CQ⊥BC交抛物线于点Q，
∴∠GCQ＝90°﹣∠OCB＝45°，
∴△GCQ是等腰直角三角形，
∴CG＝QG，
设Q（q，﹣q8+2q+3），则G（22+2q+7），
∴CG＝﹣q2+2q，GQ＝q，
∴﹣q8+2q＝q，
解得q＝0（舍去）或q＝4，
∴﹣q2+2q+8＝4，
∴Q（1，2）．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的判定与性质，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
24．（12分）如图，圆O为Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，AC＝4，点D是圆O上的动点
（1）求圆O的半径；
（2）当CD＝4时，求∠ACD的度数；
（3）设AD的中点为M，在点D的运动过程中，线段CM的最大值为 2+2 ．
【分析】（1）利用勾股定理求出AB即可．
（2）连接OC，OD，证明∠OCA＝60°，∠OCD＝45°，可得结论．
（3）如图2中，连接OM，OC．证明OM⊥AD，推出点M的运动轨迹以AO为直径的⊙J，连接CJ，JM．求出CJ．JM，根据CM≤CJ+JM＝2+2，可得结论．
【解答】解：（1）如图1中，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝4，BC＝8，
∴AB＝＝＝5，
∴⊙O的半径为4．
（2）如图1中，连接OC．
∵CD＝8，OC＝OD＝4，
∴CD4＝OC2+OD2，
∴∠COD＝90°，
∴∠OCD＝45°，
∵AC＝OC＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠ACO＝60°，
∴∠ACD＝∠ACO﹣∠DCO＝60°﹣45°＝15°．
（3）如图3中，连接OM．
∵AM＝MD，
∴OM⊥AD，
∴点M的运动轨迹以AO为直径的⊙J，
连接CJ，JM．
∵△AOC是等边三角形，AJ＝OJ，
∴CJ⊥OA，
∴CJ＝＝8，
∵CM≤CJ+JM＝2+2，
∴CM的最大值为2+2，
故答案为：2+2．
【点评】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是寻找特殊三角形解决问题，正确寻找点M的运动轨迹，属于中考压轴题．小明的作法
过点B作与AC垂直的直线，交AC于点P，则P即为所求
小英的作法
以O为圆心，OA长为半径画弧，交AC于点P
试验的麦粒数n
100
200
500
1000
2000
5000
发芽的麦粒数m
93
188
473
954
1906
4748
发芽的频率
0.93
0.94
0.946
0.954
0.953
0.9496
红
白
绿
红
（红，白）
（红，绿）
白
（白，红）
（白，绿）
绿
（绿，红）
（绿，白）
小明的作法
过点B作与AC垂直的直线，交AC于点P，则P即为所求
小英的作法
以O为圆心，OA长为半径画弧，交AC于点P
试验的麦粒数n
100
200
500
1000
2000
5000
发芽的麦粒数m
93
188
473
954
1906
4748
发芽的频率
0.93
0.94
0.946
0.954
0.953
0.9496
A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，D）