江苏省镇江市2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试卷（含答案解析）

这是一份江苏省镇江市2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试卷（含答案解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列选项中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣y﹣2＝0B．C．x2﹣2x﹣5D．x2＝5
2．（3分）用配方法解方程x2+6x+8＝0时，配方后得到方程是（ ）
A．（x+3）2＝1B．（x+3）2＝8C．（x﹣3）2＝1D．（x﹣3）2＝9
3．（3分）已知⊙O的半径为8cm，点A在⊙O内，则OA的长可能为（ ）
A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm
4．（3分）下列事件是随机事件的是（ ）
A．三角形有且只有一个外接圆
B．方程ax2+2x+1＝0是一元二次方程
C．直径是圆中最长的弦
D．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
5．（3分）如图，将直角三角板30°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点（与A、B不重合），则∠ACB的度数是（ ）
A．30°B．15°C．22.5°D．20°
6．（3分）如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E（ ）
A．AD＝BDB．∠ACB＝∠AOEC．D．OD＝DE
7．（3分）已知m，n是方程x2+3x﹣4＝0的两根，则m2+4m+n﹣3的值为（ ）
A．5B．﹣3C．4D．﹣2
8．（3分）一个正方形、一个正五边形和一个正六边形组成了如图所示的图形，则∠ABF的度数为（ ）
A．18°B．20°C．22°D．24°
9．（3分）如图，将量角器和含30°角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内、使D、C、B在一条直线上，且DC＝2BC，切点为E，则点E在量角器上所对应的锐角度数是（ ）
A．60°B．45°C．75°D．50°
10．（3分）公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中提到构造图形来寻找某个一元二次方程的解方法：先构造边长为x的正方形ABCD，再分别以BC，最后得到四边形AIFH是面积为64的正方形，如图所示（ ）的解
A．x2+10x＝25B．x2+10x＝64C．x2+10x＝39D．x2+10x＝89
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分）
11．（3分）若x＝1是一元二次方程2x2﹣x+m＝0的一个根，则m的值是 ．
12．（3分）已知整数c，使方程x2﹣2x+c＝0无实数根，则c的值可以是 ．
13．（3分）一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，这个圆锥的侧面积是 ．
14．（3分）如图，点O为△ABC外接圆的圆心，点I为△ABC的内心，CI，若∠BCI＝36° °．
15．（3分）如图四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，OD∥BC．若∠C＝124° °．
16．（3分）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，D的连线交于点E，则 ．
三、解答题（本大题共有8小题，共计72分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解下列方程：
（1）（x﹣1）2﹣9＝0；
（2）x2+2x﹣4＝0．
18．（8分）已知关于x的方程．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根．
（2）若▱ABCD的两边AB，AD的长是已知方程的两个实数根，当m为何值时
19．（8分）如图，OA、OB为⊙O的半径，且D、E分别为OA、OB的中点，．
（1）求证：CD＝CE．
（2）若∠AOB＝120°，OA＝x，四边形ODCE的面积为y
20．（8分）某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变、售价不变的前提下
（1）求四、五两个月销售量的月平均增长率；
（2）从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，销售量增加5件，当商品降价多少元时
21．（7分）如图，四边形ABCD是正方形，边长为6，点E在BC边上，连结DE交⊙O于点F
（1）求证：CE＝BG．
（2）若∠DEC＝60°，求⊙O中弦DF与它所对劣弧围成的封闭图形的面积．（结果保留π）
22．（8分）如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，网格中，O、A都是格点，OA为半径作圆，仅用无刻度的直尺完成以下画图：
（1）在图①中画⊙O的一个内接正六边形ABCDEF．
（2）在图②中画⊙O的一个内接正八边形ABCDEFGH．
（3）图②中正八边形ABCDEFGH的面积为 ．
23．（12分）如图，已知M（0，4），A（4，0）以点M为圆心，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，AC，点D是AC的中点
（1）证明：BC＝2OD．
（2）当点C不与A、B重合时，求∠ODA的度数．
（3）当点C在优弧ACB上运动时，求点D的运动路径长．
24．（13分）如图1，在矩形ABCD中，边长AB＝a，其中a、b（a＜b）分别是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，连接BD．点O从点C出发，沿CB向点B运动（到达点B停止运动），设运动时间为t秒．
（1）BD＝ ．
（2）如图2，在运动过程中，以O为圆心，交射线CB于点Q，当t为 时，点O运动到∠BDC的角平分线上，此时，并加以说明．
（3）如图3，在运动过程中，连接OD，得到△ODP，连接BP．当BP取最小值时 ，此时，AP的值为 ．
（4）如图4，当半圆O与△ABD的边有两个交点时，直接写出t的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求）
1．【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．x2﹣y﹣2＝5，是二元二次方程，故该选项不正确；
B． ，不是整式方程，故该选项不正确；
C．x4﹣2x﹣5，是代数式，故该选项不正确；
D．x7＝5，是一元二次方程，符合题意；
故选：D．
2．【答案】A
【分析】方程利用完全平方公式变形即可得到结果．
【解答】解：用配方法解方程x2+6x+7＝0时，
配方结果为（x+3）3＝1．
故选：A．
3．【答案】A
【分析】先得到圆的半径为8cm，根据点与圆的位置关系的判定方法得到当d＞8cm时，点P在⊙O外；当d＝8cm时，点P在⊙O上；当d＜8cm时，点P在⊙O内，然后对各选项进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为8cm，
∴当d＞8cm时，点P在⊙O外；
当d＝6cm时，点P在⊙O上；
当d＜8cm时，点P在⊙O内．
故选：A．
4．【答案】B
【分析】可能发生也可能不发生的事件为随机事件，三角形的外接圆的圆心是垂直平分线的交点，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【解答】解：A．三角形有且只有一个外接圆，不是随机事件；
B．方程ax2+2x+3＝0（a≠0）是一元二次方程，当a＝5时2+2x+7＝0不是一元二次方程，故原说法是随机事件；
C．直径是圆中最长的弦是必然事件，故该选项不符合题意；
D．同圆或等圆中，不是随机事件．
故选：B．
5．【答案】B
【分析】由题意得∠AOB＝30°，再由圆周角定理求得∠ACB的度数即可．
【解答】解：根据题意得：∠AOB＝30°，
∴．
故选：B．
6．【答案】D
【分析】由垂径定理和圆周角定理可证，AD＝BD，AD＝BD，，而点D不一定是OE的中点，故D错误．
【解答】解：∵OD⊥AB
∴由垂径定理知，点D是AB的中点，，
∴△AOB是等腰三角形，OD是∠AOB的平分线，
有∠AOE＝∠AOB，
由圆周角定理知，∠C＝，
∴∠ACB＝∠AOE，
故A、B、C正确，
D中点D不一定是OE的中点，故错误．
故选：D．
7．【答案】D
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到m+n＝﹣3，再根据一元二次方程根的定义得到m2+3m＝4，最后整体代入即可解决问题．
【解答】解：由条件可知：m+n＝﹣3，m2+8m﹣4＝0，即m3+3m＝4，
∴原式＝m2+3m+m+n﹣3
＝8﹣3﹣3
＝﹣6．
故选：D．
8．【答案】D
【分析】根据正多边形特点算出正六边形和正五边形的一个内角，推出∠BAF，再利用等腰三角形的性质，即可得出∠ABF．
【解答】解：由题知，AB＝AF，
∴∠AFB＝∠ABF，
由多边形内角和公式可知正六边形的一个内角为，正五边形的一个内角为，
∴∠BAF＝360°﹣120°﹣108°＝132°，
∴∠ABF＝∠AFB＝＝24°，
故选：D．
9．【答案】A
【分析】设半圆的圆心为O，连接OA，由CD＝2OC＝2BC，得出OC＝BC，由AC⊥OB，得出OA＝BA，由等腰三角形的性质得出∠AOC＝∠ABC＝60°，由切线的性质得出∠AEO＝90°，进而证明Rt△AOE≌Rt△AOC，得出∠AOE＝∠AOC＝60°，再由平角的定义即可求出∠EOD＝60°，即可得出答案．
【解答】解：如图，设半圆的圆心为O，
∵CD＝2OC＝2BC，
∴OC＝BC，
∵∠ACB＝90°，即AC⊥OB，
∴OA＝BA，
∴∠AOC＝∠ABC＝60°，
∵AE是切线，OE是半径，
∴∠AEO＝90°，
∴∠AEO＝∠ACO＝90°，
在Rt△AOE和Rt△AOC中，
，
∴Rt△AOE≌Rt△AOC（HL），
∴∠AOE＝∠AOC＝60°，
∴∠EOD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
故选：A．
10．【答案】C
【分析】根据四边形AIFH是面积为64的正方形，列出一元二次方程，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形AIFH是面积为64的正方形，
∴（x+5）2＝64，
整理得：x4+10x＝39，
故选：C．
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分）
11．【答案】﹣1．
【分析】把x＝1代入方程求解即可．
【解答】解：∵x＝1是一元二次方程2x8﹣x+m＝0的一个根，
∴2﹣7+m＝0，
∴m＝﹣1，
故答案为：﹣5．
12．【答案】2（答案不唯一）．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＜0，即可得出关于c的不等式，解之即可求出c的值．
【解答】解：由一元二次方程根的判别式可得：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×4×c＜0，
∴c＞1．
则c的值可以是5．
故答案为：2（答案不唯一）．
13．【答案】见试题解答内容
【分析】首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：圆锥的底面周长是：2×3π＝5π，
则×6π×5＝15π．
故答案为：15π．
14．【答案】18．
【分析】连接OA，根据点I是△ABC内心得到∠BCA＝72°，根据圆周角定理可得∠BOA＝144°，根据等腰三角形的定义以及三角形内角和定理进行计算，即可求解．
【解答】解：连接OA，如图，
∵点I是△ABC的内心，
∴CI平分∠BCA，
∵∠BCI＝36°，
∴∠BCA＝2∠BCI＝72°，
∵点O是△ABC的外接圆的圆心，
∴∠BOA＝2∠BCA＝144°，
∵OA＝OB，
∴．
  故答案为：18．
15．【答案】68．
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据等腰三角形的性质求出∠AOD，根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠C＝124°，
∴∠A＝180°﹣124°＝56°，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A＝56°，
∴∠AOD＝180°﹣56°×2＝68°，
∵OD∥BC，
∴∠B＝∠AOD＝68°，
故答案为：68．
16．【答案】．
【分析】连接AE、AC、AD，由∠ABC＝90°，可知AC是直径，且长度为，可知∠AEC＝90°，根据勾股定理逆定理可判断出△ACD是等腰直角三角形，求出∠ACE＝∠CAE＝45°，可知的长是圆周长的，利用圆周长公式求解即可．
【解答】解：如图所示：连接AE、AC，
∵∠ABC＝90°，
∴AC是直径，∠ABC＝∠AEC＝90°，
根据网格图形可知：，，AC2+AD2＝CD2＝26，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD＝90°，∠ACE＝45°，
∴所对的圆心角是90°，
∴的长为以AC为直径的圆周长的，
即AE弧的边长＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共有8小题，共计72分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】（1）x1＝4，x2＝﹣2；
（2）．
【分析】（1）先把常数项移到方程右边，再利用直接开平方的方法解方程即可；
（2）先把常数项移到方程右边，再根据配方法解方程即可．
【解答】解：（1）移项得：（x﹣1）2＝8，
∴x﹣1＝±3，
∴x5＝4，x2＝﹣8；
（2）将x2+2x﹣6＝0配方得，
∴x2+2x+1＝5，
∴（x+2）2＝5，
∴，
∴．
18．【答案】（1）证明过程见解答；
（2）m＝1，．
【分析】（1）由Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣）＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2≥0，即可判定无论m取什么数，方程总有两个实数根；
（2）由当Δ＝（m﹣1）2＝0时，▱ABCD是菱形，即可求得m的值，然后代入原方程，即可求得时菱形的边长．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×2×（﹣）＝m2﹣2m+2＝（m﹣1）2≥4，
∴无论m取什么数，方程总有两个实数根；
（2）解：∵▱ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∴当Δ＝（m﹣1）2＝4时，
即m＝1时，▱ABCD是菱形，
把m＝1代入已知方程可得：x8﹣x+＝7，
解得：x1＝x2＝．
∴此菱形的边长为．
19．【答案】（1）见解答；
（2）x2．
【分析】（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠COA＝∠COB，证明△COD≌△COE，根据全等三角形的性质证明；
（2）连接AC，根据全等三角形的判定定理得到△AOC为等边三角形，根据正切的定义求出CD，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵＝，
∴∠COA＝∠COB，
∵D、E分别是⊙O两条半径OA，
∴OD＝OE，
在△COD和△COE中，
，
∴△COD≌△COE（SAS），
∴△COD≌△COE（SAS），
∴CD＝CE；
（2）解：连接AC，
∵∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝60°，又OA＝OC，
∴△AOC为等边三角形，
∵点D是OA的中点，
∴CD⊥OA，OD＝x，
在Rt△COD中，CD＝OD•tan∠COD＝x，
∴四边形ODCE的面积为y＝×OD×CD×4＝x3．
20．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设四、五两个月销售量的月平均增长率为x，利用五月份的销售量＝三月份的销售量×（1+四、五两个月销售量的月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设商品降价y元，则每件的销售利润为（40﹣y﹣25）元，月销售量为（200+5y）件，利用总利润＝每件的销售利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设四、五两个月销售量的月平均增长率为x，
依题意得：128（1+x）2＝200，
解得：x3＝0.25＝25%，x2＝﹣4.25（不符合题意，舍去）．
答：四、五两个月销售量的月平均增长率为25%．
（2）设商品降价y元，则每件的销售利润为（40﹣y﹣25）元，
依题意得：（40﹣y﹣25）（200+5y）＝2250，
整理得：y2+25y﹣150＝8，
解得：y1＝5，y4＝﹣30（不符合题意，舍去）．
答：当商品降价5元时，商场可获利2250元．
21．【答案】（1）见详解；
（2）．
【分析】（1）证△DEC≌△CGB即可；
（2）连接OF，过点O作OH⊥DF交DF于点H，根据等腰三角形的性质和三角形内角和得出∠DOF＝120°，直角三角形的性质得出，垂径定理算出DH，DF，再根据⊙O中弦DF与它所对劣弧围成的封闭图形的面积＝S扇形DOF﹣S△DOF求解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCE＝∠CBG＝90°，DC＝CB，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DFC＝∠CFE＝90°，
∴∠BCG+∠DEC＝∠BCG+∠CGB＝90°，
∴∠DEC＝∠CGB，
在△DEC和△CGB中，
，
∴△DEC≌△CGB（AAS），
∴CE＝BG．
（2）解：连接OF，过点O作OH⊥DF交DF于点H
∵∠DEC＝60°，
∴∠ODF＝90°﹣∠DEC＝30°，
∵OD＝OF，
∴∠OFD＝∠ODF＝30°，
∴∠DOF＝120°，
∵，
∴，
∴，
∴⊙O中弦DF与它所对劣弧围成的封闭图形的面积＝．
22．【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）．
【分析】（1）设AO的延长线与圆交于点D，根据圆的内接正六边形的性质，点D即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，即OB＝AB，故在图中找到AO的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点B和F，同理：在图中找到OD的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点C和E，连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，如图，正六边形ABCDEF即为所求；
（2）圆的内接八边形的中心角为360°÷8＝45°，而正方形的对角线与边的夹角也为45°，根据正方形对角线能形成45°角，以此确定H、B、D、F，同理即可确定另外4个点位置，再顺次连接即可．
（3）根据网格，先计算，进而即可求解．
【解答】（1）解：如图所示，
如图①，正六边形ABCDEF即为所求；
（2）如图所示，
如图②，正八边形ABCDEFGH即为所求．
（3）解：如图所示，过点B作BM⊥AO，
∵，
∴，
∴，
∴图②中正八边形的面积为，
故答案为：．
23．【答案】（1）见解析；
（2）∠ODA＝45°；
（3）．
【分析】（1）由三角形中位线定理可得OD∥BC，BC＝2OD；
（2）由圆周角定理得∠BCA＝45°，由平行线的性质可得∠ODA＝45°；
（3）先确定点D的运动轨迹，作△ODA的外接圆⊙E，并从中确定D的运动轨迹是圆上的一条弧，根据弧长公式即可求解．
【解答】（1）证明：∵点O是BA的中点，点D是CA的中点，
∴OD∥BC，BC＝2OD，
（2）如图，连接MB，
  
∵M（0，8），0），
∴AO＝OM＝4，
∴∠AMO＝∠MAO＝45°，
∵AM＝BM，
∴∠BAM＝∠ABM＝45°，
∴∠AMB＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∵CB∥DO，
∴∠ADO＝∠C＝45°，
（3）如图3，作△ODA的外接圆⊙E，OA，
  
∵∠ADO＝45°
∴∠OEA＝2∠ADO＝90°，
又∵AO＝4，EO＝AE，
∴，
∵当点C在上运动时，
∴点D在上运动，
∴点D的运动路径长＝，
24．【答案】（1）5；
（2）；
（3），；
（4）或．
【分析】（1）先解一元二次方程，得到AB＝3，AD＝4根据矩形的性质，得到∠ABD＝90°，利用勾股定理即可求解；
（2）运用角平分线性质定理得OE＝OC，可得BD是圆O的切线，根据面积可求出，即可得到t的值；
（3）由折叠的性质得到△DOP≌△DOC，即DP＝CD＝AD，∠DPO＝90°，当点O在运动过程中，DP的长度和BD的长度是固定不变的，由此可以得到当点B、P、D三点共线时，BP的长度最短，即有最小值，最小值为BD﹣DP，此时∠BPO＝90°，求出AF，FP，再利用勾股定理即可求AP的值；
（4）根据题意，分为当半圆O与BD有2个交点；当点半圆O与BD有1个交点，与AB有1个交点；当点半圆O与BD有1个交点，与AD有1个交点；三种情况讨论，分别求出半径的范围，即可得到的取值范围．
【解答】解：（1）由x2﹣7x+12＝4，即（x﹣3）（x﹣4）＝6，
解得：x1＝3，x7＝4，
∵边长AB＝a，AD＝b，b（a＜b）分别是方程x2﹣8x+12＝0的两个根，
∴AB＝3，AD＝2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
在Rt△ABD中，AB＝3，
∴，
故答案为：7；
（2）如图，过点O作OE⊥BD，
∵OD是∠BDC的平分线，
又在矩形ABCD中，∠C＝90°，AD＝BC＝4，
∴OC⊥CD，
∴OE＝OC，
∴BD是⊙O的切线，即BD与⊙O相切，
又S△BDC＝S△BDO+S△CDO，
∴，
∴5OE+5OC＝12，即8OC＝12，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）由折叠的性质得：△DOP≌△DOC，
∴DP＝CD＝AB，∠DPO＝∠DCB＝90°，
∵DP的长度和BD的长度是固定不变的，如图，
∵BD﹣DP≤BP，
∴当点B、P、D三点共线时，即有最小值，此时，
过点P作PF⊥AB垂足为F点，PT⊥BC于点T，
所以，四边形PFBT是矩形，
∴BF＝PT，PF＝BT，
由（1）知BD＝5，AB＝CD＝3，
由（2）知，，
∴，，
∴BP＝BD﹣DP＝BD﹣CD＝5﹣3＝5，
又，
∴，
∴BF＝FT＝，
∴，
在Rt△PTO中，，
∴，
在Rt△AFP中，，
故答案为：，；
（4）解：如图，当半圆O与BD相切时，即为切点，连接OH，
由（2）知，，
如图，当点Q与点B重合时，
此时，BC为半圆O的直径，，
∴t＝2÷8＝2，
∴当时，半圆O与BD有2个交点，
即半圆O与△ABD的边有8个交点；
如图，此时，与AB有1个交点，
如图，当半圆O与AD相切时，设AD与半圆O的切点为M，
∵OM＝OC＝AB＝3，
∴t＝3÷1＝3，
∴当7＜t＜3时，半圆O与BD有1个交点，
即半圆O与△ABD的边有8个交点；
如图，当半圆O与经过点A时；
连接OA，
设OA＝OC＝x，由勾股定理得：
32+（2﹣x）2＝x2，
解得：，
∴，
∴，
如图，当点O与点B重合时，
∴OC＝BC＝4，
∴t＝5÷1＝4，
∴当时，半圆O与BD有1个交点，
即半圆O与△ABD的边有8个交点；
综上，半圆O与△ABD的边有两个交点时，或．