河南省安阳五中教育集团2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份河南省安阳五中教育集团2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列计算错误的是（ ）
A．（a2）5＝a10B．m7•m＝m8
C．（3cd）3＝9c3d3D．3a2﹣4a2＝﹣a2
3．（3分）石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则∠ABC的度数为（ ）
A．135°B．120°C．105°D．60°
4．（3分）如果点P（m，3）与P1（5，n）关于y轴对称，则m，n的值分别为（ ）
A．m＝﹣5，n＝﹣3B．m＝5，n＝3C．m＝﹣5，n＝3D．m＝﹣3，n＝5
5．（3分）若6x2﹣19x+15＝（ax+b）（cx+d），则ac+bd等于（ ）
A．36B．15C．19D．21
6．（3分）如图是用尺规作一个角等于已知角的示意图，根据△O′C′D′≌△OCD，可得∠A′O′B′＝∠AOB，则说明△O′C′D′≌△OCD的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
7．（3分）下列各式中能用平方差公式计算的是（ ）
A．（﹣x+y）（y﹣x）B．（x+y）（﹣x﹣y）
C．（﹣x﹣y）（﹣x+y）D．（x﹣y）（﹣x+y）
8．（3分）如图，△ABC的面积为18，AD为△ABC的中线，E、F为AD的两个三等分点，连接CE、BF，则图中阴影部分的面积和为（ ）
A．4B．6C．8D．9
9．（3分）将一根吸管按如图所示的位置摆放在单位长度为1的数轴（不完整）上，吸管左端对应数轴上的“﹣8”处，右端对应数轴上的“5”处．若将该吸管剪成三段围成三角形，第一刀剪在数轴上的“﹣5”处，则第二刀可以剪在（ ）
A．“﹣4”处B．“﹣3”处C．“﹣1”处D．“2”处
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2）处有一激光发射器，激光照射到点B（1，0）处倾斜的平面镜上发生反射，使得反射光线照射到点C处的接收器上，若入射角α＝45°，AB＝BC，则点C处的接收器到y轴的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）因式分解：a3﹣9a＝ ．
12．（3分）如图，C是AB的中点，CD＝BE，请添加一个条件 ，使△ACD≌△CBE．
13．（3分）如图，AD垂直平分BC于点D，EF垂直平分AB于点F，点E在AC上，BE+CE＝20cm，则AB＝ ．
14．（3分）如图，小明与小红玩跷跷板游戏，支点O是跷跷板的中点，两人分别坐在跷跷板的两端（即OF＝OG），如果点O距地面的距离是60cm，当小明从水平位置CD上升15cm，这时小红距地面的高度是 cm．
15．（3分）在等腰△ABC中，AB＝AC，AB边上的垂直平分线与AC所在直线相交于点D，若∠DBC＝36°，则等腰△ABC的底角度数是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）计算：
（1）a2•a3+（﹣a4）3÷a7；
（2）（2x+y）2﹣（2x+3y）（2x﹣3y）．
17．（8分）如图，已知BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E，点B、F、C、E在同一条直线上．求证：∠A＝∠D．
18．（9分）如图（单位：米），和谐广场有一块长为（3a+b）米、宽为（2a+b）米的长方形地，角上有两块边长为（a﹣b）米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．
（1）用含有a，b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）．
（2）若a＝40，b＝20，求出绿化的总面积．
19．（9分）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A′B′C′；
（2）求出△A′B′C′的面积；
（3）在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小．
20．（9分）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AB，交BC于点D，AD＝1，求线段BC的长．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝40°，AE、BF分别为△ABC的角平分线，它们相交于点O．
（1）求∠EOF的度数．
（2）AD是△ABC的高，∠AFB＝80°时，求∠DAE的度数．
22．（10分）下面是小明设计的尺规作图过程，
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
求作：点D，使点D在BC边上，且到AB和AC的距离相等．
作法：
①如图，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M、N；
②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；
③画射线AP，交BC于点D．
所以点D即为所求．
根据小明设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，求证：DB＝DE．
23．（10分）【综合与实践】
问题情境：安阳市第五中学实施“五育并举”，在数学第二课堂上，同学们以等腰三角形为背景展开探究．
如图1，在△ABC中，AB＝AC，D为射线BC上（不与B、C重合）一动点，在AD的右侧射线BC的上方作△ADE，使得AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
独立思考：
（2）延长EC交AB的延长线于点F，若∠F＝30°，利用（1）中的结论求出∠DCE的度数．
拓展延伸：
（3）当D在线段BC上时，若线段BC＝4，△ABC面积为6，则四边形ADCE周长的最小值为 ．
2024-2025学年河南省安阳五中教育集团八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的
1．【分析】根据轴对称图形的概念求解即可．
【解答】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形是轴对称图形，正确，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形是解题的关键．
2．【分析】分别根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则以及合并同类项法则逐一判断即可．
【解答】解：A、（a2）5＝a2×5＝a10，故本选项不合题意；
B、m7•m＝m1+7＝m8，故本选项不合题意；
C、（3cd）3＝27c3d3，故本选项符合题意；
D、3a2﹣4a2＝﹣a2，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
3．【分析】根据多边形的外角和为360°，求出每个外角的度数，再根据邻补角的定义即可求得．
【解答】解：∠ABC＝180°﹣（360°÷6）＝120°．
故选：B．
【点评】本题主要考查多边形的内角与外角，灵活运用以上知识点是解题的关键．
4．【分析】根据已知条件，P点和P1点关于y轴对称，可知n＝3，m＝﹣5，即可得到m和n．
【解答】解：点P和点P1关于y轴对称，
根据题意，有n＝3，m＝﹣5；
故选：C．
【点评】本题主要考查了点关于坐标轴的对称问题；关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变号；关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变号．
5．【分析】首先利用多项式的乘法法则计算（ax+b）（cx+d），然后根据等式的左边的式子对应系数相同即可求解．
【解答】解：（ax+b）（cx+d）
＝acx2+（ad+bc）x+bd，
则ac＝6，ad+bc＝﹣19，bd＝15．
则ac+bd＝6+15＝21．
故选：D．
【点评】本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．
6．【分析】根据全等三角形的判定方法，结合作图方法，进行判断即可．
【解答】解：由作图痕迹得CD＝C′D′，OD＝OD′，OC＝OC′，
∴△O′C′D′≌△OCD（SSS），
∴∠A′O′B′＝∠AOB．
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、作图﹣基本作图，掌握其性质定理是解决此题的关键．
7．【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2逐项判断即可．
【解答】解：A．不符合平方差公式特征，故此选项不符合题意；
B．没有完全相同的项，故此选项不符合题意；
C．原式＝（﹣x）2﹣y2，故此选项符合题意；
D．不符合平方差公式特征，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是关键．
8．【分析】等于底之比求解．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∴，
∵E、F为AD的两个三等分点，
又∵△BDF与△ABD共高，△AEC与△DCA共高，
∴，，
∴S阴＝S△BDF+S△AEC＝6，
故选：B．
【点评】本题考查三角形的中线的性质，知道中线等分三角形的面积是解题的关键．
9．【分析】分别求出第二刀位置在四个选项中的位置时三段的长，再根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可．
【解答】解：A、第二刀剪在“﹣4”处时，则剪成的三段的长分别为﹣5﹣（﹣8）＝3，﹣4﹣（﹣5）＝1，5﹣（﹣4）＝9，
∵3+1＜9，
∴此时不能构成三角形，不符合题意；
B、第二刀剪在“﹣3”处时，则剪成的三段的长分别为﹣5﹣（﹣8）＝3，﹣3﹣（﹣5）＝2，5﹣（﹣3）＝8，
∵3+2＜8，
∴此时不能构成三角形，不符合题意；
C、第二刀剪在“﹣1”处时，则剪成的三段的长分别为﹣5﹣（﹣8）＝3，﹣1﹣（﹣5）＝4，5﹣（﹣1）＝6，
∵3+4＞6，
∴此时能构成三角形，符合题意；
D、第二刀剪在“2”处时，则剪成的三段的长分别为﹣5﹣（﹣8）＝3，2﹣（﹣5）＝7，5﹣2＝3，
∵3+3＜7，
∴此时不能构成三角形，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了构成三角形的条件，有理数与数轴．
10．【分析】过点C作x轴的垂线，构造全等三角形即可解决问题．
【解答】解：过点C作x轴的垂线，垂足为M，
∵入射角α＝45°，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBM＝90°．
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OAB＝∠CBM．
在△AOB和△BMC中，
，
∴△AOB≌△BMC（AAS），
∴BM＝AO．
∵A（0，2），B（1，0），
∴BM＝AO＝2，OB＝1，
∴OM＝2+1＝3，
即点C到y轴的距离是3．
故选：C．
【点评】本题考查坐标与图形性质，过点C作x轴的垂线构造全等三角形是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣9）
＝a（a+3）（a﹣3），
故答案为：a（a+3）（a﹣3）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．【分析】要使△ACD≌△CBE，已知AC＝BC，CD＝BE，则可以添加一对边AD＝CE，从而利用SSS来判定其全等，或添加一对夹角∠ACD＝∠B，从而利用SAS来判定其全等（填一个即可，答案不唯一）．
【解答】解：∵C是AB的中点，
∴AC＝BC，
∵CD＝BE，
∴添加AD＝CE或∠ACD＝∠B，
可分别根据SSS、SAS判定△ACD≌△CBE（填一个即可，答案不唯一）．
故答案为：AD＝CE或∠ACD＝∠B．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．
13．【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，AB＝AC，求出AC＝20cm即可．
【解答】解：∵EF垂直平分AB于点F，
∴AE＝BE，
∵BE+CE＝20cm，
∴AE+CE＝20cm，
即AC＝20cm，
∵AD垂直平分BC于点D，
∴AB＝AC＝20cm，
故答案为：20cm．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，能熟记线段垂直平分线的性质是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
14．【分析】根据AAS证明△FCO≌△GDO，可得FC＝DG，即可求解．
【解答】解：由题意可知，OF＝OG，∠FOC＝∠DOG，∠FCO＝∠GDO＝90°，
在△FCO和△GDO中，
，
∴△FCO≌△GDO（AAS），
∴FC＝DG，
∵当小明从水平位置CD上升15cm，即FC＝15cm，
∴DG＝15cm，
又∵点O至地面的距离是60cm，
∴这时小红距地面的高度是60﹣15＝45（cm），
故答案为：45．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
15．【分析】本题分三种情况讨论，根据垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，设恰当的未知数，解出方程可得到答案．
【解答】解：当点D在AC上时，如图一：
∵AB边上的垂直平分线交AC于点D，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
不妨设∠A＝∠ABD＝x，
∵AB＝AC，∠DBC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝x+36°，
在三角形ABC中：x+x+36°+x+36°＝180°，
解得x＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝36°+36°＝72°；
当点D在AC的延长线上时，如图二：
∵MD垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵AB＝AC，
∴不妨设∠ABC＝∠ACB＝x，
∵∠CBD＝36°，
∴∠A＝∠ABD＝x+36°，
在三角形ABC中：x+x+x+36°＝180°，
解得x＝48°，
∴∠ABC＝∠ACB＝48°；
当点D在CA的延长线上时，如图三：
∵MD垂直平分AB，
∴DB＝DA，
∴∠DBA＝∠DAB，
∵AB＝AC，
∴不妨设∠ABC＝∠C＝x，
∴∠DAB＝x+x＝2x，
∴∠DBA＝2x，
∵∠DBC＝36°，
∴2x+x＝36°，
解得x＝12°，
∴∠ABC＝∠C＝12°；
综上所述，等腰△ABC的底角度数是：12°或48°或72°．
故答案为：12°或48°或72°．
【点评】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，要求学生考虑问题要全面，解题的关键是能够准确画出三种图并能够熟练掌握相关知识．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．【分析】（1）先算乘方，再算除法；
（2）先用平方差、完全平方公式展开，再去括号合并同类项．
【解答】解：（1）原式＝a5﹣a12﹣7
＝a5﹣a5
＝0；
（2）原式＝4x2+4xy+y2﹣（4x2﹣9y2）
＝4x2+4xy+y2﹣4x2+9y2
＝4xy+10y2．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握平方差、完全平方公式及相关运算法则．
17．【分析】利用SAS证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质即可得解．
【解答】证明：∵BF＝EC，
∴BF+CF＝EC+CF，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A＝∠D．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS证明△ABC≌△DEF是解题的关键．
18．【分析】（1）根据图形可知，绿化的总面积等于长方形的面积减去两个小正方形的面积，然后再把式子去括号化简即可得出答案；
（2）把a＝40，b＝20代入（1）中算出的式子即可得出答案．
【解答】解：（1）绿化的总面积＝（3a+b）（2a+b）﹣2（a﹣b）2
＝6a2+5ab+b2﹣2（a2﹣2ab+b2）
＝6a2+5ab+b2﹣2a2+4ab﹣2b2
＝（4a2+9ab﹣b2）平方米，
答：绿化的总面积为（4a2+9ab﹣b2）平方米；
（2）当a＝40，b＝20时，
原式＝4×402+9×40×20﹣502＝11100，
答：绿化的总面积为11100平方米．
【点评】本题主要考查的是多项式乘多项式和完全平方公式，解题关键是利用多项式乘多项式和完全平方公式化简出绿化的总面积．
19．【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
（3）作点A关于x轴的对称点A''，连接A''B，交x轴于点P，则点P即为所求．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．
（2）△A′B′C′的面积为＝．
（3）如图，作点A关于x轴的对称点A''，连接A''B，交x轴于点P，连接AP，
此时PA+PB的值最小，
则点P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
20．【分析】过点A作AE⊥BC，垂足为E，利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠C＝30°，从而利用三角形内角和定理可得∠BAC＝120°，再根据垂直定义可得∠DAB＝90°，从而可得∠DAC＝30°，进而利用等角对等边可得AD＝CD＝1，然后在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BD和AB的长，从而可得BC的长．
【解答】解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，
∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°，
∵DA⊥AB，
∴∠DAB＝90°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝30°，
∴∠C＝∠DAC＝30°，
∴AD＝CD＝1，
在Rt△ABD中，∠B＝30°，
∴BD＝2AD＝2，，
∴BC＝BD+CD＝2+1＝3．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，关键是等腰三角形性质定理的熟练应用．．
21．【分析】（1）先根据三角形内角和定理得∠C＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）的度数，由角平分线的定义和三角形内角和定理可得结论；
（2）先根据垂直的定义及三角形内角和可得到∠CAD的度数，再求出∠1的度数，最后根据三角形内角和即可求解．
【解答】解：（1）∵∠CAB+∠ABC＝180°﹣∠C，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠EAB＝∠BAC，∠FBA＝∠ABC，
∴∠EAB+∠FBA＝（∠BAC+∠ABC）＝（180°﹣∠C）＝90°﹣∠C，
∴∠AOB＝180°﹣（90°﹣∠C）＝90°+∠C，
∵∠C＝40°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠EOF＝∠AOB＝110°．
（2）
∵AD⊥BC，∠C＝40°，
∴∠CAD＝50°，
∵∠AFB＝80°，
∴∠1＝180°﹣50°﹣80°＝50°，
∴∠DAE＝180°﹣∠1﹣∠AOB＝180°﹣50°﹣110°＝20°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的高线与角平分线的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
22．【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；
（2）根据全等三角形的性质和角平分线的性质即可完成证明．
【解答】（1）解：如图，即为补全的图形；
（2）证明：过点D作DE⊥AC于点E，连接MP，NP．
在△AMP与△ANP中，
∵AM＝AN，MP＝NP，AP＝AP，
∴△AMP≌△ANP（SSS）．
∴∠PAM＝∠PAN．
∵∠ABC＝90°，
∴DB⊥AB．
又∵DE⊥AC，
∴DB＝DE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．
23．【分析】（1）利用SAS证明△ABD≌△ACE即可；
（2）延长EC交AB的延长线于点F，利用三角形外角性质可得∠ABC＝∠F+∠BCF，再证得∠BAC＝∠BCF，即可求得答案；
（3）过点A作AF⊥BC于点F，根据四边形ADCE周长＝AD+AE+CD+CE＝2AD+CD+BD＝2AD+BC＝2AD+4，可知当AD最小时，四边形ADCE周长最小，即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，
即∠CAE＝∠BAD，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：如图1，延长EC交AB的延长线于点F，∠F＝30°，
则∠ABC＝∠F+∠BCF，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ACE＝∠ABC，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∠BCF+∠ACB+∠ACE＝180°，
∴∠BAC＝∠BCF，
∴90°﹣∠BCF＝30°+∠BCF，
∴∠BCF＝40°，
∵∠DCE＝∠BCF，
∴∠DCE＝40°；
（3）解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB＝AC，
∴BF＝CF＝BC＝2，
∵S△ABC＝BC•AF＝2AF＝6，
∴AF＝3，
∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
∴四边形ADCE周长＝AD+AE+CD+CE＝2AD+CD+BD＝2AD+BC＝2AD+4，
当AD最小时，四边形ADCE周长最小，
∴AD⊥BC，即AD与AF重合时，AD＝AF＝3，
∴四边形ADCE周长的最小值＝2×3+4＝7；
故答案为：7．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．