广东省深圳市龙岗区百合外国语学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份广东省深圳市龙岗区百合外国语学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷，共26页。
1．（3分）如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝2B．（x﹣2）2＝7C．（x+2）2＝7D．（x﹣2）2＝1
3．（3分）下列性质中菱形一定具有的是（ ）
A．对角线相等B．有一个角是直角
C．对角线互相垂直D．四个角相等
4．（3分）若函数y＝的图象过点（3，﹣7），那么它一定还经过点（ ）
A．（3，7）B．（﹣3，﹣7）C．（﹣3，7）D．（2，﹣7）
5．（3分）如图，△ABC中，∠A＝76°，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），那么BP的长度是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）某衣架生产商将衣架以捆为单位进行售卖，且一捆衣架的成本价为3元．当售价为每捆9元时，日销售量为100捆，日销售量就增加25捆．设每捆衣架售价降低a元，要使日盈利为800元（ ）
A．（9﹣a）（100+25a）＝800B．（9﹣a）（100+50a）＝800
C．（6﹣a）（100+25a）＝800D．（6﹣a）（100+50a）＝800
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数，BD⊥x轴于点D，交线段OA于点C．若点C为线段OA的中点，则k的值为（ ）
A．2B．C．D．4
二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）若，则＝ ．
10．（3分）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.65左右，据此可以估计黑色部分的总面积为 cm2．
11．（3分）若a为方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，则代数式﹣3a2+9a﹣5的值为 ．
12．（3分）小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布前形成倒立的实像CD（点A，B的对应点分别是C，D），小孔O到物体和实像的水平距离BE，CE分别为8cm、4cm cm．
13．（3分）如图，矩形ABCD中，AD＝2，EF⊥AC，交AB、CD于E、F ．
三.解答题（共7小题，满分61分）
14．（8分）解方程：
（1）（x+1）2﹣3＝0；
（2）（x﹣1）2＝3x﹣3．
15．（8分）学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校．某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，并将调查结果分为三类：A：好，B：中，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，a＝ ，b＝ ，C类的圆心角为 度；
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，若再从这4人中随机抽取2人，请用列表法或画树状图的方法求出全是B类学生的概率．
16．（8分）如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，CF＝AE．连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若∠DAB＝60°，AF平分∠DAB，AD＝4
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣4）．
（1）画出△ABC向下平移3个单位长度得到的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2：1；
（3）若P（a，b）是△ABC边AB上任意一点，通过（2），点P的对应点为P2，请写出点P2的坐标．
18．（9分）如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）（平行于AB）的长方形花圃．
（1）设花圃的一边AB为x m，则BC的长可用含x的代数式表示为 m；
（2）当AB的长是多少米时，围成的花圃面积为63平方米？
（3）围成的花圃面积能否80平方米？若能，请求出AB的长度；若不能
19．（10分）在函数的学习，我们经历了“函数表达式﹣画函数图象﹣利用函数图象研究函数性质﹣利用图象和性质解决问题”的学习，我们可以借鉴这种方法探究函数
（1）根据题意，列表如下：
在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象；
（2）观察图象，发现：
①当x 时，y随x的增大而 （填“增大”或“减少”）；
②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为 ；
（3）函数的图象可由函数的图象平移得到（不必画图）图象，直接写出当y1≥﹣2时，x的取值范围是 ．
20．（10分）【问题提出】
如图1，在矩形ABCD中，，E是边BC上一动点，过点E作EF⊥AE，且EF＝kAE，求
【问题探究】
（1）如图2，当k＝1时，则＝ ．
（2）如图1，当k为任意数时，求的值．
【问题拓展】
如图3，在菱形ABCDE中，E是边BC上一点，过点E作∠AEF＝∠ABC＝120°，且EF＝AE，若，直接写出的值．
2024-2025学年广东省深圳市龙岗区百合外国语学校九年级（上）期中
数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（ ）
A．B．
C．D．
【考点】简单几何体的三视图．
【答案】D
【分析】找到从几何体的左面看所得到的图形即可．
【解答】解：这个“堑堵”的左视图如下：
故选：D．
2．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝2B．（x﹣2）2＝7C．（x+2）2＝7D．（x﹣2）2＝1
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【答案】B
【分析】先配方，再根据完全平方公式进行变形，即可得出选项．
【解答】解：x2﹣4x﹣8＝0，
x2﹣7x＝3，
x2﹣4x+4＝3+8，即（x﹣2）2＝4，
故选：B．
3．（3分）下列性质中菱形一定具有的是（ ）
A．对角线相等B．有一个角是直角
C．对角线互相垂直D．四个角相等
【考点】菱形的性质．
【答案】C
【分析】根据菱形的对角线互相垂直，四个角不一定相等，不一定有一个角是直角即可得到答案．
【解答】解：∵菱形的对角线互相平分且垂直，矩形的对角线相等且互相平分，
∴菱形具有而矩形不一定具有的是两条对角线互相垂直．
故选：C．
4．（3分）若函数y＝的图象过点（3，﹣7），那么它一定还经过点（ ）
A．（3，7）B．（﹣3，﹣7）C．（﹣3，7）D．（2，﹣7）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【答案】C
【分析】将（3，﹣7）代入y＝即可求出k的值，再根据k＝xy解答即可．
【解答】解：因为y＝的图象过点（3，所以k＝3×（﹣2）＝﹣21，
符合条件的只有C：（﹣3）×7＝﹣21．
故选：C．
5．（3分）如图，△ABC中，∠A＝76°，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】相似三角形的判定．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【解答】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，
故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，
故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应边不成比例，
故本选项符合题意；
D、阴影三角形中，8﹣5＝6，故两三角形相似，
故本选项不符合题意．
故选：C．
6．（3分）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），那么BP的长度是（ ）
A．B．C．D．
【考点】黄金分割．
【答案】A
【分析】根据黄金分割的定义得到，然后把AB的长度代入可求出AP的长，即可求出BP的长度．
【解答】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴，
∵AB的长度为8cm，
∴，
∴．
故选：A．
7．（3分）某衣架生产商将衣架以捆为单位进行售卖，且一捆衣架的成本价为3元．当售价为每捆9元时，日销售量为100捆，日销售量就增加25捆．设每捆衣架售价降低a元，要使日盈利为800元（ ）
A．（9﹣a）（100+25a）＝800B．（9﹣a）（100+50a）＝800
C．（6﹣a）（100+25a）＝800D．（6﹣a）（100+50a）＝800
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【答案】D
【分析】设每捆衣架售价降低a元，根据一捆衣架的成本价为3元．当售价为每捆9元时，日销售量为100捆；若衣架售价每捆降低0.5元，日销售量就增加25捆列方程即可得到结论．
【解答】解：设每捆衣架售价降低a元，根据题意得（6﹣a）（100+50a）＝800，
故选：D．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数，BD⊥x轴于点D，交线段OA于点C．若点C为线段OA的中点，则k的值为（ ）
A．2B．C．D．4
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数综合题．
【答案】D
【分析】作AE⊥x轴，根据k的几何意义得出，进而得出S△BCO＝S四边形ACDE，再证明△COD∽△AOE，根据相似三角形的性质得出，即可得出S△OCD，S△OBC，然后根据中点定义得S△ABC＝S△OBC，进而求出答案．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥x轴，连接OB．
可知，
∴S△BCO＝S四边形ACDE．
∵BD∥AE，
∴△COD∽△AOE，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵点C是OA的中点，
∴S△ABC＝S△OBC，
即，
解得k＝4．
故选：D．
二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）若，则＝ ．
【考点】比例的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据比例的性质，由，得x＝y，代入所求的式子计算即可．
【解答】解：∵，
∴x＝y，
∴＝＝．
故答案为：．
10．（3分）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.65左右，据此可以估计黑色部分的总面积为 65 cm2．
【考点】利用频率估计概率．
【答案】见试题解答内容
【分析】用正方形的面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可．
【解答】解：可以估计黑色部分的总面积为10×10×0.65＝65（cm2），
故答案为：65．
11．（3分）若a为方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，则代数式﹣3a2+9a﹣5的值为 ﹣23 ．
【考点】一元二次方程的解．
【答案】﹣23．
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到a2﹣3a＝6，则﹣3a2+9a﹣5＝﹣3（a2﹣3a）﹣5，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a为方程x2﹣3x﹣2＝0的一个根，
∴a2﹣4a﹣6＝0，
∴a4﹣3a＝6，
∴﹣3a2+9a﹣6＝﹣3（a2﹣2a）﹣5＝﹣3×5﹣5＝﹣23．
故答案为：﹣23．
12．（3分）小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布前形成倒立的实像CD（点A，B的对应点分别是C，D），小孔O到物体和实像的水平距离BE，CE分别为8cm、4cm 3 cm．
【考点】相似三角形的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据相似计算即可．
【解答】解：∵AB⊥BC，OE⊥BC
∴AB∥OE∥DC，
∴△OEC∽△ABC，△OEB∽△DBC，
∴，
∵AB的高为6cm，BE、4cm，
∴，
∴，
∴CD＝3cm，
故答案为：2．
13．（3分）如图，矩形ABCD中，AD＝2，EF⊥AC，交AB、CD于E、F 5 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；轴对称﹣最短路线问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】因AF与EC两条线段不在同一条直线上，只需将两条线段转换在同一条直线上即可，作CG∥EF，且CG＝EF，连接AG，又因点F在DC上是一动点，由边与边关系AF+FM≥AG，只有当点F在直线AG上时AF+FG的和最小，由▱CEFG可知FG＝EC时可求AF+CE的最小值．
【解答】解：如图所示：
设DF＝x，则FC＝4﹣x，且CG＝EF，
当点A、F、G三点共线时；
∵CG∥EF，且CG＝EF，
∴四边形CEFG是平行四边形；
∴EC∥FG，EC＝FG，
又∵点A、F、G三点共线，
∴AF∥EC，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥DC，∠D＝90°，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴OA＝OC，OE＝OF，
又∵EF⊥AC，
AF＝CF＝4﹣x，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：
AD8+DF2＝AF2，
又∵AD＝2，DF＝x，
∴22+x4＝（4﹣x）2，
解得：x＝，
∴AF＝，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
AD2+DC2＝AC6，
∴AC＝，
∴AO＝，
又∵OF∥CG，
∴△AOF∽△ACG，
∴，
∴AG＝5，
又∵AG＝AF+FG，FG＝EC，
∴AF+EC＝5，
故答案为6．
三.解答题（共7小题，满分61分）
14．（8分）解方程：
（1）（x+1）2﹣3＝0；
（2）（x﹣1）2＝3x﹣3．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣直接开平方法．
【答案】（1）x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；（2）x1＝1，x2＝4．
【分析】（1）利用直接开平方解方程即可；
（2）利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）（x+1）2﹣5＝0；
（x+1）2＝3，
x+1＝，
x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；
（2）原方程变形为：（x﹣1）2﹣8（x﹣1）＝0，
（x﹣8）（x﹣1﹣3）＝3，
∴x1＝1，x8＝4．
15．（8分）学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校．某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，并将调查结果分为三类：A：好，B：中，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，a＝ 15 ，b＝ 60 ，C类的圆心角为 54 度；
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，若再从这4人中随机抽取2人，请用列表法或画树状图的方法求出全是B类学生的概率．
【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图；概率公式．
【答案】（1）补充统计图见解答过程；
（2）15，60，54；
（3）．
【分析】（1）由A类人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B的人数求得C类人数，据此补充统计图即可；
（2）由360°乘以C类所占比例得C类的圆心角度数，用B的人数除以总人数可得对应百分比；
（3）列表得出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）全班学生总人数为：10÷25%＝40（人）；
C类人数有：40﹣10﹣24＝6（人），
补充统计图如下：
（2）∵B类百分比为×100%＝60%，
∴b＝60，
∵C类百分比为×100%＝15%，
∴a＝15，
∴C类的圆心角为360°×15%＝54°，
故答案为：15，60；
（3）列表如下：
由表可知，共有12种等可能结果，
∴P（全是B类学生）＝．
16．（8分）如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，CF＝AE．连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若∠DAB＝60°，AF平分∠DAB，AD＝4
【考点】矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题意可证四边形DFBE是平行四边形，且DE⊥AB，可得结论；
（2）方法一根据含30度角的直角三角形的边角关系可求DE的长度，则可得BF的长度，即可求AB的长度．方法二可以利用含30度角的直角三角形的边角关系AE＝2，然后根据平行四边形及角平分线定义可得∠AFD＝∠DAF，所以DA＝DF＝4，进而可以解决问题．
【解答】（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∵CF＝AE，
∴DF＝BE且DC∥AB，
∴四边形DFBE是平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴四边形DFBE是矩形；
（2）解：方法一：
∵∠DAB＝60°，AD＝4，
∴AE＝2，DE＝，
∵四边形DFBE是矩形，
∴BF＝DE＝2，
∵AF平分∠DAB，
∴∠FAB＝∠DAB＝30°，
∴AB＝BF＝6．
方法二：
∵∠DAB＝60°，AD＝4，
∴AE＝5，
∵AB∥DC，
∴∠AFD＝∠BAF，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠AFD＝∠DAF，
∴DA＝DF＝4，
又DF＝BE＝4，
∴AB＝AE+BE＝8．
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣4）．
（1）画出△ABC向下平移3个单位长度得到的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2：1；
（3）若P（a，b）是△ABC边AB上任意一点，通过（2），点P的对应点为P2，请写出点P2的坐标．
【考点】作图﹣位似变换；作图﹣平移变换．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）（﹣2a，﹣2b）．
【分析】（1）根据平移的性质即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质画出位似图形即可；
（1）根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C2即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C8即为所求；
（3）∵P（a，b）是△ABC边AB上任意一点2B2C2与△ABC的相似比为2：1，
∴对应点P6的坐标为（﹣2a，﹣2b）．
18．（9分）如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）（平行于AB）的长方形花圃．
（1）设花圃的一边AB为x m，则BC的长可用含x的代数式表示为 （30﹣3x） m；
（2）当AB的长是多少米时，围成的花圃面积为63平方米？
（3）围成的花圃面积能否80平方米？若能，请求出AB的长度；若不能
【考点】一元二次方程的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设花圃的一边AB为x m，则BC的长为（30﹣3x）m；
（2）令该面积等于63平方米，求出符合题意的x的值，即是所求AB的长．
（3）不能，根据花圃的面积为80m2，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣60＜0，即可得出该方程没有实数根，即不能围成80m2的花圃．
【解答】解：（1）设花圃的一边AB为x m，
BC的长为（30﹣3x）m，
故答案为：（30﹣3x）；
（2）依题意有x（30﹣3x）＝63，
x1＝7，x4＝3；
当x＝7时，30﹣4x＝9＜10；
当x＝3时，30﹣2x＝21＞10，舍去，
故当AB等于7米时，花圃面积为63平方米；
（3）不能，理由如下：
∵x（30﹣3x）＝80，
∴8x2﹣30x+80＝0，
∵Δ＝b6﹣4ac＝（﹣30）2﹣7×3×80＝﹣60＜0，
∴该方程没有实数根，
∴不能围成80m3的花圃．
19．（10分）在函数的学习，我们经历了“函数表达式﹣画函数图象﹣利用函数图象研究函数性质﹣利用图象和性质解决问题”的学习，我们可以借鉴这种方法探究函数
（1）根据题意，列表如下：
在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象；
（2）观察图象，发现：
①当x x＞1或x＜1 时，y随x的增大而 增大 （填“增大”或“减少”）；
②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为 （1，0） ；
（3）函数的图象可由函数的图象平移得到（不必画图）图象，直接写出当y1≥﹣2时，x的取值范围是 x≥2或x＜1 ．
【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象．
【答案】（1）见详解；（2）①≠1，增大；②（1，0）；（3）x≥2或x＜1．
【分析】（1）画出函数图象即可；
（2）根据图象和性质填空即可；
（3）根据平移后的图象位置解答不等式的解集即可．①①①
【解答】解：（1）函数图象如图：
（2）①当x＞8或x＜1时，y随x的增大而增大（填“增大”或“减少”）；
②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为（1；
故答案为：①≠2，增大，0）．
（3）当y1≥﹣6时，x的取值范围是：x≥2或x＜1．
故答案为：x≥5或x＜1．
20．（10分）【问题提出】
如图1，在矩形ABCD中，，E是边BC上一动点，过点E作EF⊥AE，且EF＝kAE，求
【问题探究】
（1）如图2，当k＝1时，则＝ ．
（2）如图1，当k为任意数时，求的值．
【问题拓展】
如图3，在菱形ABCDE中，E是边BC上一点，过点E作∠AEF＝∠ABC＝120°，且EF＝AE，若，直接写出的值．
【考点】相似形综合题．
【答案】（1）；
（2）＝；
（3）＝．
【分析】（1）当k＝1时，AB＝BC，AE＝EF，则可构造三垂直全等，在AB上截取AG＝EC，连接EG，证△AEG≌△EFC（SAS），得到CF＝EG＝，进而得解；
（2）当k＝1时，我们通过全等解决问题，所以当k≠1时我们通过构造相似解决问题，在AB上截取EC＝kEH，连接EH，证△EFC∽△AEH得到CF＝kEH，通过已知条件推出BE＝kBH，再利用勾股定理得出EH•BE，进而得出CF＝•BE，从而得解；
（3）参考第一问思路构造一线三等角的全等，在AB上截取AN＝EC，连接EN，易证△AEN≌△EFC（SAS），得到∠ANE＝∠ECF，CF＝EN，再根据角度推出∠DCF＝90°，再过A作AK⊥CD于点K，利用特殊角设参可以得出各线段长度，证△AGK∽△FGC得到，从而讲CF用参数表示出来，进而得出EN的长度，最后过B作BM⊥EN于点M，利用特殊直角三角形求出BE，从而得出CE，即可得解．
【解答】解：（1）在AB上截取AG＝EC，连接EG，
∵k＝1，
∴AB＝BC，AE＝EF，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠AEB+∠BAE＝∠AEB+∠FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
在△AEG和△EFC中，
，
∴△AEG≌△EFC（SAS），
∴GE＝CF，
∵AB＝BC，AG＝EC，
∴BG＝BE，
∴∠BGE＝∠BEG＝45°，
∴BE＝GE•sin45°＝GE，
∴GE＝BE＝CF，
∴＝．
故答案为：；
（2）在AB上截取EC＝kEH，连接EH，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠AEB+∠BAE＝∠AEB+∠FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
∵EF＝kAE，EC＝kAH，
∴＝k，
∴△EFC∽△AEH，
∴＝k，
∴CF＝kEH，
∵，
∴BC＝kAB，
∴BE＝BC﹣EC＝kAB﹣kAH＝k（AB﹣AH）＝kBH，
∴BH＝BE，
在Rt△BEH中，EH＝＝＝，
∴CF＝k••BE＝，
∴＝；
（3）在AB上截取AN＝EC，连接EN，
∵∠AEF＝∠ABC＝120°，∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝∠ABC+∠BAE，
∴∠FEC＝∠BAE，
∵AE＝EF，
∴△AEN≌△EFC（SAS），
∴∠ANE＝∠ECF，CF＝EN，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，AB∥CD，
∴BN＝BE，∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BNE＝∠BEN＝30°，∠BCD＝60°，
∴∠ANE＝150°＝∠ECF，
∴∠DCF＝∠ECF﹣∠BCD＝90°，
过A作AK⊥CD于点K，则∠K＝90°＝∠GCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADK＝∠BCD＝60°，
∴∠DAK＝30°，
设DK＝3x，则AD＝2DK＝3x，
∴CD＝AD＝6x，
根据勾股定理可得AK＝3x，
∵＝，
∴DG＝x，CG＝7x，
∴GK＝DG+DK＝4x，
∵∠AGD＝∠CGF，
∴△AGK∽△FGC，
∴，即，
∴x，
∴EN＝CF＝x，
过B作BM⊥EN于点M，则EM＝x，
∵∠BEM＝30°，
∴BE＝x，
∴CE＝8x﹣x＝x，
∴＝＝x
…
﹣3
﹣1
0
…
2
3
5
…
y
…
1
2
4
…
﹣4
﹣2
﹣1
…
A
B
B
C
A
/
BA
BA
CA
B
AB
/
BB
CB
B
AB
BB
/
CB
C
AC
BC
BC
/
x
…
﹣3
﹣1
0
…
2
3
5
…
y
…
1
2
4
…
﹣4
﹣2
﹣1
…