江苏省镇江市丹阳市2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

这是一份江苏省镇江市丹阳市2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）现实生活中，轴对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．5，6，8
3．（3分）如图，AE∥DF，AE＝DF．要使△EAC≌△FDB，可添加的条件是（ ）
A．∠E＝∠FB．EC＝BFC．∠A＝∠DD．BC＝CD
4．（3分）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是▲ABC的（ ）
A．三条高线的交点
B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条中线的交点
5．（3分）如图，△ABD≌△CDB，下列四个结论中，不正确的是（ ）
A．∠A+∠ABD＝∠C+∠CBD
B．△ABD和△CDB的周长相等
C．△ABD和△CDB的面积相等
D．AD∥BC，且AD＝BC
6．（3分）点M在∠AOB的平分线上，点M到OA边的距离等于3，点N是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ）
A．MN＞3B．MN≥3C．MN＜3D．MN≤3
7．（3分）我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈＝10尺），意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是（ ）
A．5尺B．10尺C．12尺D．13尺
8．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．（3分）一个等腰三角形的两边长分别为5，10，那么这个等腰三角形的周长为（ ）
A．20B．25C．20或25D．不确定
10．（3分）已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，则BC边上的高为（ ）
A．6B．7C．8D．9
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分.）
11．（3分）等腰三角形的一个角是40度，则等腰三角形的底角度数是 ．
12．（3分）如图，点C、E在线段BF上，BE＝CF，AB∥DE，∠A＝∠D，若AC＝4，则DF＝ ．
13．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC=5，BC＝12，CD⊥AB于点D，则CD= ．
14．（3分）如图，在△ACD和△BDC中，∠A＝∠B＝90°，AD=BC,∠ADC＝65°，则∠ACB＝ °．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，CD＝5，△ABD的面积为30，则AB为 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，点P在∠ABC的平分线上，∠APB=90°，若△ABC的面积为8，则△PBC的面积为 ．
三、解答题（本大题共有10小题，共计72分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（6分）如图，C是AE的中点，AB=CD，CB=ED．求证：AB∥CD
18．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，若DE=DF，求证：BD=CD．
19．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，连接DE、EC，DE=EC．求证：DE⊥CE．
20．（6分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）尺规作图：按下列要求完成作图（保留作图痕迹，请标明字母）
①作线段AB的垂直平分线l，交AB于点O；
②连接CO并延长，在CO的延长线上截取OD，使得OD＝OC；
③连接DA、DB．
（2）若AB＝25，BC＝7，则BD＝ ．
21．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC=36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D．
（1）求∠ADB的度数；
（2）过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E，判断△ADE是否是等腰三角形并说明理由．
22．（6分）已知：如图∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点．
（1）求证：MN⊥BD．
（2）若∠BAD＝45°，线段MN与BD满足的数量关系是 ．
23．（8分）.某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级劳动实践基地的示意图形状，经过同学共同努力，测得AB=4m,AD=3m,BC=12m,CD=13m,∠A=90°．
（1）求B、D之间的距离；
（2）求四边形ABCD的面积．
24．（8分）在△ABC中，AB＞AC，点E在BC边上，将△AEC沿AE翻折使得点D落在AB边上得△AED，连接DC．
（1）如图1，若∠BAC＝52°，∠ACB＝90°，则∠BCD= °；
（2）如图2，若AB＝BC，BD＝DE，求∠BCD的度数
25．（9分）综合与实践．
课堂上老师展示了一张直角三角形纸片，请同学们进行折纸活动．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别是BC、AB上的一点，连接DF．
（1）如图1，将△BDF沿直线DF折叠，点B恰好与点C重合，则CF AF（填“＜”、“=”或“＞”）；
（2）如图2，将△BDF沿直线DF折叠，点B落在AC的中点E处，若AC=6，BC=9，求线段CD的长；
（3）如图3，将△BDF沿直线DF折叠，点B落在AC延长线上的点E处，EF平分∠AED，求∠EFA的度数．
26．（11分）如图1，等边△ABC的边长为12，M是AC边上一动点（与A，C不重合），N是CB延长线上一点，且AM＝BN，MN交AB于D．
（1）当BM⊥AC时，AM＝ ；
（2）当∠CNM＝30°时，AM＝ ；
（3）求证：DM＝DN；
（4）如图2，过点M作ME⊥AB于点E，ED＝ ；
（5）如图3，将线段MN绕点M顺时针旋转60°得线段MF，连接FA，连接FA2的最小值为 ．
2024-2025学年江苏省镇江市丹阳市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题目要求.）
1．（3分）现实生活中，轴对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性（ ）
A．B．C．D．
【考点】轴对称图形；轴对称的性质．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：选项A、B、D不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形，
故选：C．
2．（3分）下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．5，6，8
【考点】勾股定理的逆定理．
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理“如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形”判定则可．
【解答】解：A、1+2＝7，不符合题意；
B、22+32≠45，不能构成直角三角形，不符合题意；
C、32+32＝56，能构成直角三角形，符合题意；
D、52+42≠82，不能构成直角三角形，不符合题意．
故选：C．
3．（3分）如图，AE∥DF，AE＝DF．要使△EAC≌△FDB（ ）
A．∠E＝∠FB．EC＝BFC．∠A＝∠DD．BC＝CD
【考点】全等三角形的判定．
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判断方法对各选项进行判断．
【解答】解：∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵AE＝DF
∴当添加∠E＝∠F时，△EAC≌△FDB（ASA）；
当添加EC＝BF时，不能判断△EAC≌△FDB；
当添加∠A＝∠D时，不能判断△EAC≌△FDB；
当添加BC＝CD时不能得到AC＝BD，则不能判断△EAC≌△FDB．
故选：A．
4．（3分）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等（ ）
A．三条高线的交点
B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条中线的交点
【考点】线段垂直平分线的性质．
【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等解答即可．
【解答】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴这个公园应建的位置是△ABC的三边垂直平分线的交点上．
故选：B．
5．（3分）如图，△ABD≌△CDB，下列四个结论中（ ）
A．∠A+∠ABD＝∠C+∠CBD
B．△ABD和△CDB的周长相等
C．△ABD和△CDB的面积相等
D．AD∥BC，且AD＝BC
【考点】全等三角形的性质．
【答案】A
【分析】根据全等三角形的概念和性质判断即可．
【解答】解：A、∵△ABD≌△CDB，
∴∠A＝∠C，∠ABD＝∠CDB，
∴∠A+∠ABD＝∠C+∠CDB，本选项结论错误；
B、∵△ABD≌△CDB，
∴△ABD和△CDB的周长相等，本选项结论正确；
C、△ABD≌△CDB，
∴△ABD和△CDB的面积相等，本选项结论正确；
D、∵△ABD≌△CDB，
∴AD＝BC，∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC，本选项结论正确；
故选：A．
6．（3分）点M在∠AOB的平分线上，点M到OA边的距离等于3，点N是OB边上的任意一点（ ）
A．MN＞3B．MN≥3C．MN＜3D．MN≤3
【考点】角平分线的性质；垂线段最短．
【答案】B
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点M到OB的距离为3，再根据垂线段最短，即可得出结论．
【解答】解：∵点M在∠AOB的平分线上，点M到OA边的距离等于3，
∴点M到OA的距离为3，
∵点N是OB边上的任意一点，
∴MN≥7．
故选：B．
7．（3分）我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈＝10尺），有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是（ ）
A．5尺B．10尺C．12尺D．13尺
【考点】勾股定理的应用；数学常识．
【答案】D
【分析】根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：设水池里水的深度是x尺，
由题意得，x2+56＝（x+1）2，
解得：x＝12，
12+8＝13（尺），
答：这根芦苇的长度是13尺．
故选：D．
8．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，若AE＝4，EC＝2（ ）
A．3B．4C．5D．6
【考点】线段垂直平分线的性质．
【答案】D
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到BE＝AE＝4，结合图形根据线段的和差计算即可．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE＝AE＝4，
∵EC＝2，
∴BC＝BE+EC＝2+2＝6，
故选：D．
9．（3分）一个等腰三角形的两边长分别为5，10，那么这个等腰三角形的周长为（ ）
A．20B．25C．20或25D．不确定
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【答案】B
【分析】依题意分两种情况讨论如下：①当10为该等腰三角形的腰长时，②当5为该等腰三角形的腰长时，对于每一种情况，分别求出该等腰三角形的三边，然后再利用三角形三边的关系判定是否能构成三角形，进而再求出其周长即可．
【解答】解：依题意，分两种情况讨论如下：
①当10为该等腰三角形的腰长时，
则该等腰三角形的三边长为：10、10、5，
∵10+5＞10，符合构成三角形的条件，
∴该等腰三角形的周长为：10+10+7＝25；
②当5为该等腰三角形的腰长时，
则该等腰三角形的三边长为：5、3、10，
∵5+5＝10，不符合构成三角形的条件，舍去，
综上所述：该等腰三角形的周长为25．
故选：B．
10．（3分）已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12（ ）
A．6B．7C．8D．9
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．
【答案】C
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，由等腰三角形的性质得BD＝DC＝BC＝6，再由勾股定理求出AD的长即可．
【解答】解：如图，
，
过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC＝10，BC＝12，
∴BD＝DC＝BC＝2，
∴AD＝＝＝8，
即BC边上的高为5，
故选：C．
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分.）
11．（3分）等腰三角形的一个角是40度，则等腰三角形的底角度数是 70°或40° ．
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【答案】70°或40°．
【分析】由于不明确40°的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分40°的角是顶角和底角两种情况讨论．
【解答】解：当40°的角为等腰三角形的顶角时，
底角的度数＝＝70°；
当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，
故它的底角的度数是70°或40°．
故答案为：70°或40°．
12．（3分）如图，点C、E在线段BF上，BE＝CF，∠A＝∠D，若AC＝4则DF＝ 4 ．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【答案】4．
【分析】由“AAS”可证△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得AC＝DF＝4．
【解答】解：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF．
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AC＝DF＝4，
故答案为：4．
13．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，CD⊥AB于点D ．
【考点】勾股定理；三角形的面积．
【答案】．
【分析】由勾股定理求出AB＝13，再由三角形面积求出CD的长即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝5，
∴AB＝＝＝13，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC＝AB•CD＝，
∴AB•CD＝AC•BC，即13CD＝5×12，
∴CD＝，
故答案为：．
14．（3分）如图，在△ACD和△BDC中，∠A＝∠B＝90°，∠ADC＝65°，则∠ACB＝ 40 °．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【答案】40．
【分析】根据HL定理判定三角形全等，然后根据全等三角形的性质分析求解．
【解答】解：在△ACD和△BDC中，∠A＝∠B＝90°，
在Rt△ACD和Rt△BDC中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△BDC（HL），
∴∠ADC＝∠BCD＝65°，
∴∠ACB＝∠ADC﹣（180°﹣∠A﹣∠ADC）
＝65°﹣（180°﹣90°﹣65°）
＝40°，
故答案为：40．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，CD＝5，△ABD的面积为30 12 ．
【考点】角平分线的性质．
【答案】12．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥CDM
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝5，
∵△ABD的面积＝AB•DE＝30，
∴AB＝12，
故答案为：12．
16．（3分）如图，在△ABC中，点P在∠ABC的平分线上，若△ABC的面积为8，则△PBC的面积为 4 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的定义．
【答案】4．
【分析】延长AP交BC于点D，证明△ABP≌△DBP（ASA），所以AP＝DP，根据三角形的中线的性质即可得出答案．
【解答】解：如图，延长AP交BC于点D，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠DBP，
∵∠APB＝90°，
∴∠BPD＝90°，
在△ABP和△DBP中，
，
∴△ABP≌△DBP（ASA），
∴AP＝DP，S△ABP＝S△DBP，
∴S△ACP＝S△CDP，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝2S△DBP+2S△CDP＝5S△PBC，
∵△ABC的面积为8，
∴S△PBC＝4，
故答案为：6．
三、解答题（本大题共有10小题，共计72分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（6分）如图，C是AE的中点，AB＝CD
【考点】全等三角形的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据SSS证明△BAC≌△DCE得出∠DCE＝∠A，即可得出结论．
【解答】证明：∵C是AE的中点，
∴AC＝CE，
在△BAC与△DCE中，
，
∴△BAC≌△DCE（SSS），
∴∠DCE＝∠A，
∴AB∥CD．
18．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，若DE＝DF，求证：BD＝CD．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【答案】证明见解答．
【分析】由AB＝AC，得∠B＝∠C，而∠BED＝∠CFD＝90°，DE＝DF，即可根据“AAS”证明△BED≌△CFD，则BD＝CD．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴BD＝CD．
19．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，且AE＝BC，连接DE、EC
【考点】全等三角形的判定与性质．
【答案】见解析．
【分析】根据证明直角三角形全等的“HL”定理，证明△ADE和△BEC全等，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：∵∠A＝∠B＝90°，
∴△ADE和△BEC均为直角三角形，
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL），
∴∠AED＝∠BCE，
∵∠BCE+∠CEB＝90°，
∴∠AED+∠CEB＝90°，
∴∠CED＝90°，
∴DE⊥CE．
20．（6分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）尺规作图：按下列要求完成作图（保留作图痕迹，请标明字母）
①作线段AB的垂直平分线l，交AB于点O；
②连接CO并延长，在CO的延长线上截取OD，使得OD＝OC；
③连接DA、DB．
（2）若AB＝25，BC＝7，则BD＝ 24 ．
【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质；矩形的判定与性质．
【答案】（1）见解答．
（2）24．
【分析】（1）根据所给作图步骤作图即可．
（2）由题意可得四边形ACBD为矩形，可得CD＝AB＝25，∠CBD＝90°．再根据BD＝可得答案．
【解答】解：（1）如图所示．
（2）∵直线l为线段AB的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∵OD＝OC，
∴四边形ACBD为平行四边形．
∵∠ACB＝90°，
∴四边形ACBD为矩形．
∴CD＝AB＝25，∠CBD＝90°．
由勾股定理得，BD＝＝．
故答案为：24．
21．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D．
（1）求∠ADB的度数；
（2）过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E，判断△ADE是否是等腰三角形并说明理由．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质；三角形内角和定理．
【答案】（1）108°；
（2）△ADE是等腰三角形，理由见解析．
【分析】（1）由等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出∠ABC＝∠C＝72°，由角平分线定义求出∠ABD＝∠ABC＝36°，于是得到∠ADB＝180°﹣36°﹣36°＝108°；
（2）由平行线的性质推出∠DAE＝∠C＝72°，由邻补角的性质得到∠ADE＝180°﹣108°＝72°，于是∠ADE＝∠DAE，判定△ADE是等腰三角形．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣36°）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝36°
∴∠ADB＝180°﹣36°﹣36°＝108°；
（2）△ADE是等腰三角形，理由如下：
∵AE∥BC，
∵∠DAE＝∠C＝72°，
∵∠ADB＝108°，
∴∠ADE＝180°﹣108°＝72°，
∴∠ADE＝∠DAE，
∴△ADE是等腰三角形．
22．（6分）已知：如图∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点．
（1）求证：MN⊥BD．
（2）若∠BAD＝45°，线段MN与BD满足的数量关系是 MN＝BD ．
【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）MN＝BD．
【分析】（1）连接MN，由∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，得BM＝DM＝AC，因为N是BD的中点，所以MN⊥BD；
（2）根据等腰三角形的性质、三角形外角性质求出∠BMD＝90°，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．
【解答】（1）证明：如图，连接MN，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，
∴BM＝DM＝AC，
∵N是BD的中点，
∴MN⊥BD．
（2）解：∵M是AC的中点，
∴AM＝AC＝BM，
∴∠BAM＝∠ABM，
∵∠BMC＝∠BAM+∠ABM，
∴∠BMC＝2∠BAM，
同理，∠CMD＝4∠DAM，
∴∠BMD＝∠BMC+∠CMD＝2（∠BAM+∠DAM）＝2∠BAD，
∵∠BAD＝45°，
∴∠BMD＝90°，
∵MN⊥BD，BM＝DM，
∴MN＝BD，
故答案为：MN＝BD．
23．（8分）.某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级劳动实践基地的示意图形状，测得AB＝4m，AD＝3m，CD＝13m，∠A＝90°．
（1）求B、D之间的距离；
（2）求四边形ABCD的面积．
【考点】勾股定理的应用．
【答案】（1）5m；（2）36m2．
【分析】（1）由勾股定理得，即可求解；
（2）可得BD2+BC2＝CD2，由勾股定理的逆定理得△BCD是直角三角形，求四边形的面积，即可求解；
【解答】解：（1）连接BD，
∵∠A＝90°，
∴
＝
＝5（m），
故B、D之间的距离为5m；
（2）∵72+122＝138，
∴BD2+BC2＝CD6，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠CBD＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝AB•AD+
＝×4×3+
＝36（m2）．
24．（8分）在△ABC中，AB＞AC，点E在BC边上，将△AEC沿AE翻折使得点D落在AB边上得△AED，连接DC．
（1）如图1，若∠BAC＝52°，∠ACB＝90° 26 °；
（2）如图2，若AB＝BC，BD＝DE
【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质．
【答案】（1）26；
（2）∠BCD的度数是18°．
【分析】（1）由翻折得AD＝AC，由∠BAC＝52°，求得∠ACD＝∠ADC＝64°，而∠ACB＝90°，则∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝26°，于是得到问题的答案；
（2）设AE交CD于点F，则∠AFC＝90°，由DE＝CE，得∠BCD＝∠EDC，由BD＝DE，得∠B＝∠DEB＝2∠BCD，由AB＝BC得∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣∠B）＝90°﹣∠BCD，所以∠CAF＝（90°﹣∠BCD），∠ACF＝90°﹣2∠BCD，则（90°﹣∠BCD）+90°﹣2∠BCD＝90°，求得∠BCD＝18°，于是得到问题的答案．
【解答】解：（1）如图1，由翻折得AD＝AC，
∵∠BAC＝52°，∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠ADC＝×（180°﹣52°）＝64°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣64°＝26°，
故答案为：26．
（2）如图2，设AE交CD于点F，
∵点D与点C关于直线AE对称，
∴AE垂直平分CD，
∴∠AFC＝90°，
∵DE＝CE，
∴∠BCD＝∠EDC，
∵BD＝DE，
∴∠B＝∠DEB＝∠BCD+∠EDC＝2∠BCD，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣∠B）＝，
∴∠CAF＝∠DAF＝∠BAC＝，∠ACF＝∠BCA﹣∠BCD＝90°﹣∠BCD﹣∠BCD＝90°﹣2∠BCD，
∵∠CAF+∠ACF＝90°，
∴（90°﹣∠BCD）+90°﹣2∠BCD＝90°，
∴∠BCD＝18°，
∴∠BCD的度数是18°．
25．（9分）综合与实践．
课堂上老师展示了一张直角三角形纸片，请同学们进行折纸活动．已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，连接DF．
（1）如图1，将△BDF沿直线DF折叠，点B恰好与点C重合 ＝ AF（填“＜”、“＝”或“＞”）；
（2）如图2，将△BDF沿直线DF折叠，点B落在AC的中点E处，BC＝9，求线段CD的长；
（3）如图3，将△BDF沿直线DF折叠，点B落在AC延长线上的点E处，求∠EFA的度数．
【考点】几何变换综合题．
【答案】（1）＝；
（2）CD＝4；
（3）90°．
【分析】（1）根据折叠的性质得到BF＝CF，BD＝CD，DF⊥BC，求得∠B＝∠BCF，根据余角的性质得到∠A＝∠ACF，根据等腰三角形的判定定理得到CF＝AF；
（2）由点E是AC的中点，AC＝6，得到CE＝＝3，根据折叠的性质的性质得到BD＝DE，求得BD＝DE＝9﹣CD，根据勾股定理即可得到结论；
（3）根据角平分线的定义得到∠AEF＝∠DEF．由折叠的性质得到∠B＝∠DEF．等量代换得到∠AEF＝∠B，根据三角形的内角和定理得到结论．
【解答】解：（1）∵将△BDF沿直线DF折叠，点B恰好与点C重合，
∴BF＝CF，BD＝CD，
∴∠B＝∠BCF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝∠BCF+∠ACF＝90°，
∴∠A＝∠ACF，
∴CF＝AF；
故答案为：＝；
（2）∵点E是AC的中点，AC＝6，
∴CE＝＝3，
∵将△BDF沿直线DF折叠，点B落在AC的中点E处，
∴BD＝DE，
∵BC＝9，
∴BD＝DE＝8﹣CD，
∵∠C＝90°，
∴DE2＝CD2+CE3，
∴（9﹣CD）2＝CD5+32，
∴CD＝6；
（3）∵EF平分∠AED，
∴∠AEF＝∠DEF．
由折叠可知：∠B＝∠DEF．
∴∠AEF＝∠B，
又∵∠A＝∠A，
∴∠EFA＝180°﹣∠A﹣∠AEF，∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠A，
∴∠EFA＝∠ACB＝90°．
26．（11分）如图1，等边△ABC的边长为12，M是AC边上一动点（与A，C不重合），且AM＝BN，MN交AB于D．
（1）当BM⊥AC时，AM＝ 6 ；
（2）当∠CNM＝30°时，AM＝ 4 ；
（3）求证：DM＝DN；
（4）如图2，过点M作ME⊥AB于点E，ED＝ 6 ；
（5）如图3，将线段MN绕点M顺时针旋转60°得线段MF，连接FA2的最小值为 108 ．
【考点】几何变换综合题．
【答案】（1）6；
（2）4；
（3）证明见解答；
（4）6；
（5）108．
【分析】（1）因为△ABC是边长为12的等边三角形，所以AC＝12，由BM⊥AC于点M，得AM＝BM＝6，于是得到问题的答案；
（2）当∠CNM＝30°时，则∠AMD＝∠CNM+∠C＝90°，所以∠BDN＝∠ADM＝30°，则∠BDN＝∠BND＝30°，AD＝2AM，由BD＝BN，AM＝BN，得BD＝AM，由AB＝2AM+AM＝12，求得AM＝4，于是得到问题的答案；
（3）作MH∥BC交AB于点H，则∠AHM＝∠A，所以AM＝HM＝BN，可证明△HDM≌△BDN，DM＝DN；
（4）由HE＝AE＝AH，HD＝BD＝BH，求得ED＝AB＝6，于是得到问题的答案；
（5）由旋转得FM＝MN，∠FMN＝60°，推导出∠AMF＝∠BNM＝120°﹣∠CMN，进而证明△AMF≌△BNM，则FA＝MB，当MB⊥AC时，MB的值最小，此时FA的值最小，则FA2的值最小，由∠BMC＝90°，BC＝12，CM＝6，求得FA2＝MB2＝BC2﹣CM2＝108，于是得到问题的答案．
【解答】（1）解：∵△ABC是边长为12的等边三角形，
∴AC＝12，
∵BM⊥AC于点M，
∴AM＝BM＝AC＝7，
故答案为：6．
（2）解：如图1（2），∠CNM＝30°，
∵∠A＝∠C＝60°，
∴∠AMD＝∠CNM+∠C＝90°，
∴∠CMN＝90°，∠BDN＝∠ADM＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BDN＝∠BND＝30°，AD＝3AM，
∴BD＝BN，
∵AM＝BN，
∴BD＝AM，
∵AB＝AD+BD＝2AM+AM＝12，
∴AM＝4，
故答案为：5．
（3）证明：如图2，作MH∥BC交AB于点H，
∵∠AHM＝∠ABC＝60°，
∴∠AHM＝∠A，
∴AM＝HM＝BN，
在△HDM和△BDN中，
，
∴△HDM≌△BDN（AAS），
∴DM＝DN．
（4）解：如图2，∵AM＝HM，
∴HE＝AE＝AH，
由（3）得△HDM≌△BDN，
∴HD＝BD＝BH，
∴ED＝HE+HD＝（AH+BH）＝，
故答案为：6．
（5）解：如图7，∵将线段MN绕点M顺时针旋转60°得线段MF，
∴FM＝MN，∠FMN＝60°，
∴∠AMF＝180°﹣∠FMN﹣∠CMN＝120°﹣∠CMN，
∵∠BNM＝180°﹣∠C﹣∠CMN＝120°﹣∠CMN，
∴∠AMF＝∠BNM，
在△AMF和△BNM中，
，
∴△AMF≌△BNM（SAS），
∴FA＝MB，
当MB⊥AC时，MB的值最小，则FA2的值最小，
如图3（2），MB⊥AC，
∵BC＝12，CM＝AM＝，
∴FA2＝MB4＝BC2﹣CM2＝126﹣62＝108，
∴FA6的最小值为108，
故答案为：108．