重庆市字水中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

这是一份重庆市字水中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 含解析，共16页。试卷主要包含了保持卡面清洁，不折叠，不破损， 已知，，，则，，的大小关系为等内容，欢迎下载使用。
（试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.
注意事项：
1.答题前，考生务必先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名､准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.
2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整､笔迹清楚.
3.考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内（黑色线框）作答，写在草稿纸上､超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效.
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.
5.做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知函数，则（ ）
A. B. 4C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由分段函数解析式代入计算即可.
【详解】由解析式可得：，
故选：B
2. 已知集合，下列对应关系能够构成从到的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的定义逐项检验后可得正确的选项.
【详解】对于A，，它没有对应的元素，故A错误；
对于BC，，而，故BC错误；
对于D，当时，，且与唯一一个对应，
根据函数定义可得构成从到的函数，
故选：D.
3. 下列元素与集合、集合与集合之间的关系表达正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用元素与集合、集合与集合的关系逐项分析判断即可.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，中不含任何元素，0不是中元素，B错误；
对于C，中不含任何元素，而含有元素0，C错误；
对于D，方程无实数根，因此，D正确.
故选：D
4. 已知集合，若，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 0或1
【答案】A
【解析】
分析】由补集运算直接求解即可.
【详解】由，且，
可知，且，解得：，符合集合元素特性.
故选：A
5. 若，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
【答案】D
【解析】
【分析】举反例判断A，B，C，利用给定条件求出的范围，再利用不等式的性质判断D即可.
【详解】令，满足，不满足，故A错误，
当时，，，不满足，故B错误，
当时，满足，不满足，故C错误，
若，，则一定成立，又，所以，故D正确.
故选：D
6. 已知命题“”是假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出原命题为假时的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义判断各个选项.
【详解】命题“”是假命题，则其否定“”是真命题.
当时，若，则，满足条件.
若，则在上单调递增，的最小值为，
要使成立，则，即，则m>0，
若，则在上单调递减，的最小值为，
要使成立，则，即，则，
综上，当原命题为假时的取值范围是，
下面判断各个选项：
选项A：，不能推出，且也不能推出，
所以既不是充分条件也不是必要条件，
选项B：，能推出，但不能推出，
所以是充分不必要条件，
选项C：，不能推出，且不能推出，
所以是既不是充分条件也不是必要条件，
选项D：范围就是，为充要条件.
故选：B.
7. 若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由的定义域列出不等式求解即可.
【详解】因为的定义域为，
所以，所以，
所以的定义域为，又要满足，
所以的定义域是，
故选：B
8. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过作差法，，确定符号，排除D选项；
通过作差法，，确定符号，排除C选项；
通过作差法，，确定符号，排除A选项；
【详解】由，且，故；
由且，故；
且，故.
所以，
故选：B.
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据集合的交并补运算，即可结合选项逐一求解.
【详解】由可得，
故,故，故A正确，
，故B错误，
=，C正确，
，D错误，
故选：AC
10. 已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ）
A. 方程有一个正根和一个负根的充要条件是
B. 方程无实数根的一个必要条件是或
C. 方程有两个正根的充要条件是
D. 当时，方程的两个实数根之和为0
【答案】BC
【解析】
【分析】由一元二次方程根的分布逐项判断即可.
【详解】对于A:当时，方程为：解得：，只有一根，故A错误；
对于B：若方程无实数根，则解得：或，故B正确；
对于C：方程有两个正根等价于解得：，故C正确；
对于D：当时，方程为：，方程无解，故D错误.
故选：BC
11. 设正实数m，n满足，则（ ）
A. 的最小值为3B. 的最大值为2
C. 的最大值为1D. 的最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】由基本不等式逐项求解判断即可.
【详解】因为正实数m，n满足，
所以，
当且仅当，即，，等号成立，故A错误；
，当且仅当时，等号成立，所以，故B正确；
，所以，当且仅当时，等号成立，故C正确；
，当且仅当时，等号成立，故D错误；
故选：BC
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 命题“”的否定是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由全称量词命题的否定是存在量词命题求解.
【详解】命题“”的否定是“”.
故答案为：
13. 不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】移项通分后利用一元二次不等式的解法可求不等式的解集.
【详解】即为即，故，
即不等式的解集为，
故答案为：.
14. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得出，可求出的取值范围，则，代入即可得出答案.
【详解】由题意知方程至多一个根，
方程有两根分别为，6.
所以，所以，
解得：，所以.
故答案为：.
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知命题，当命题为假命题时，实数的取值集合为.
（1）求集合；
（2）设非空集合，若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）写出，再由，即可求出集合；
（2）由子集的包含关系列不等式组，即可求出实数的取值范围.
【小问1详解】
解：为真，
所以，所以，即集合
【小问2详解】
因为集合非空，所以
因为，所以
所以.
所以实数的取值范围为.
16. 已知
（1）求的取值范围；
（2）若将条件变为“”，求的范围
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用不等式的性质和齐次化可求的取值范围；
（2）利用待定系数法结合不等式的性质可求的范围.
【小问1详解】
因为，所以，所以；
因为，所以，则，所以
【小问2详解】
令，所以，
所以，则，所以.
因为，所以，
所以.
17. 设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点P，设.
（1）若，求底边上的高；
（2）求的最大面积及相应的值.
【答案】（1）
（2）最大值为，此时
【解析】
【分析】（1）通过三角形中，，借助正切值即可求解；
（2）设，得到，再由基本不等式即可求解.
【小问1详解】
根据题意，由，可得.
所以，所以.则在翻折后的三角形中，
,
设边上的高为，则.
解得：，
【小问2详解】
由题意知，根据图形的几何性质知.设.，则.
所以，即，
所以.
当且仅当时取等号.所以的面积最大值为，此时.
18. 若定义在D的函数满足：当时，都有成立，则称具有性质.
（1）已知函数，请判断函数是否具有性质，如果具有性质直接写出实数，不用说明理由；
（2）已知函数，请判断函数是否具有性质，如果具有性质直接写出实数，如果不具有性质请说明理由；
（3）已知函数；证明：当，且，有成立.
【答案】（1）具有性质
（2）不具有性质，理由见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由新定义直接判断；
（2）由新定义，通过求解即可判断；
（3）由（2）结合基本不等式即可求证.
小问1详解】
函数具有性质.
【小问2详解】
函数不具有性质，理由如下：
当时，，所以，
所以0或者，所以不具有性质.
【小问3详解】
由第（2）问知，.
19. 设为实数，集合.
（1）若，求S；
（2）若，求满足的条件；
（3）设，且集合均恰有两个元素，求三元数对.
【答案】（1）
（2），，或，
（3）
【解析】
【分析】（1）代入，解方程求解可得；
（2）由2是方程的根得，再按是否为方程的根分类讨论即可；
（3）先分析方程的一次项系数及方程的二次项系数均不为0，再分，，且三类情况讨论即可.
【小问1详解】
当时，.
【小问2详解】
因为，则，即，
当2为方程的根时，则，解得；
当2不为方程根时，则.
综上所述，，，或，.
【小问3详解】
，
若，，
则，又，
所以有，解得
验证：当时，，
不满足集合S恰有两个元素，故；
若，由，
，
则，又，则，又，
所以，即.
由，则，即，解得.
验证：当时，
也不满足集合S恰有两个元素，故；
由上可知，且.则，
且方程与有相同的判别式，
即两方程根的个数相同.由集合均恰有两个元素，则.
，
因为，则是方程或的根.
由，且，则是方程或的根.
①当时，是方程根，，则，
又，则，由，
则是方程的根，则.
（i）若，联立解得.
验证：当时，
，
，满足题意；
（ii）若，方程有两个不相等的实数根，
又，则方程的两根必为和2.
故由韦达定理得，解得；
验证：当时，
，
，满足题意；
②当时，，即是方程的根，
则，又，则，
则是方程的根，则，即
（i）若，联立解得
验证：当时，
，
，满足题意；
（ii）若，方程有两不等的实数根，
又，则方程的两根必为和.
故由韦达定理得，解得；
验证：当时，
，
，满足题意；
③当且时，则不是方程的根，也不是方程的根.
由，则是方程的两实数根，
且是方程的根，
则有，解得.
验证：当且时，有.
有三个元素，故不满足题意；
综上所述，满足题意的所有三元数对有.
【点睛】关键点点睛：本题第3问的关键在于两个突破口，一是以方程与的两根情况为入手点，当时可知，且；二是以，为入手点，以“是否为方程的根”与“是否为方程的根”为分类界点产生讨论即可.