重庆市广益中学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题 含解析

这是一份重庆市广益中学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题 含解析，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系即可得倾斜角．
【详解】设直线的倾斜角为，
因为该直线的斜率为，所以，所以，
故选：A
2. 已知直线与直线，若，则（ ）
A. 6B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，求解方程得答案.
【详解】解：因为直线与直线，且，
所以，解得，
故选：A.
3. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据点与圆的位置关系及方程表示圆列出方程组，从而可得出答案.
【详解】解：因为点在圆的外部，
所以，解得.
故选：C．
4. 已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算计算即可.
【详解】
.
故选：C.
5. 某直线l过点，且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，则该直线的斜率是（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】讨论在x轴和y轴上的截距均为0或均不为0，设直线方程并由点在直线上求参数，即可得直线方程，进而写出其斜率.
【详解】当直线在x轴和y轴上的截距均为0时，
设直线的方程为，代入点，则，解得，
当直线在x轴和y轴上的截距均不为0时，
设直线的方程为，代入点，则，解得，
所以所求直线的方程为，即，
综上，该直线的斜率是或．
故选：D
6. 已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A 相离B. 相交C. 内切D. 外切
【答案】D
【解析】
【分析】求出两圆的圆心和半径，得到，得到两圆外切.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆，故圆心，半径为，
则，
所以圆与圆的位置关系是外切.
故选：D
7. 如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行六面体的结构特征及向量对应线段位置关系，结合向量加法、数乘的几何意义,将、，用基底表示出来，在应用向量数量积的运算律即可.
【详解】平行六面体中,
四边形是平行四边形,侧面是正方形,
又是的交点,
所以是的中点,
因为,,,
所以，
所以
，
所以
又，
所以
，
可得,，
所以异面直线与的夹角的余弦值为.
故选：A
8. 正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别取BC，AD的中点E，F，由题意可得点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，又，再求出的最值即可求解
【详解】分别取BC，AD的中点E，F，则，
所以，
故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，，
又，
所以，，
所以的取值范围为．
故选：D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 与垂直B. 与共线
C. 与所成角为锐角D. ，，，可作为空间向量的一组基底
【答案】BC
【解析】
【分析】对A：计算出即可得；对B：由向量共线定理计算即可得；对C：计算并判断与是否共线即可得；对D：借助空间向量基本定理即可得.
【详解】对A：，故与不垂直，故A错误；
对B：由、，有，故与共线，故B正确；
对C：，且与不共线，
故与所成角为锐角，故C正确；
对D：由与共线，故，，不可作为空间向量的一组基底，故D错误.
故选：BC.
10. 已知圆，直线.则以下命题正确的有（ ）
A. 直线l恒过定点B. y轴被圆C截得的弦长为
C. 直线l与圆C恒相交D. 直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为
【答案】CD
【解析】
【分析】根据直线方程求出定点坐标即可判断选项A；求出圆和y轴的交点坐标，即可判断选项B；利用定点和圆的位置关系即可判断选项C；当弦长最长时，直线过圆心从而判断选项D.
【详解】对于A，直线，即，
由，解得，故直线过定点，故A错误；
对于B, 圆，当时，，故y轴被圆C截得的弦长为，故B错误；
对于C，直线过定点，,故点在圆内，则直线l与圆C恒相交，故C正确；
对于D，当直线l被圆C截得弦长最长时，直线过圆心，则，解得，
故直线方程为：，即，故D正确.
故选：CD
11. 如图，在边长为2的正方体中，E，F，G分别为，，的中点，则（ ）
A. ∥平面
B. 平面
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 点B到平面的距离为
【答案】CD
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，通过空间向量运算依次判断4个选项.
【详解】以D为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图，则，，，，，，，，
，，，，．
对于选项A，B：
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，得，
所以与平面不平行，与平面不垂直，即A，B错误．
对于选项C：
，则异面直线与所成角的余弦值为，即C正确．
对于选项D：
又，所以点B到平面的距离为，即D正确．
故选：CD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．
12. 过点与直线平行的直线方程______.
【答案】
【解析】
【分析】根据平行关系可设直线方程为，然后将代入求解即可
【详解】设与直线平行的直线方程为，
因为在直线上，
所以，
所以方程即为所求；
故答案为：
13. 在四棱锥中，底面，底面是边长为1的正方形，，则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为______.
【答案】##0.4
【解析】
【分析】由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用线面角的正弦向量夹角公式进行求解.
【详解】因为底面，平面，
所以，，
又底面是边长为1的正方形，
所以，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
，故，
设平面的法向量为m=x,y,z，
则，
解得，令，则，故，
，
PB与平面PCD的夹角正弦值为.
故答案为：
14. 已知曲线与直线有且仅有一个公共点，那么实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据方程可知直线恒过定点，曲线为半圆，画出图象，数形结合可得到的取值范围．
【详解】直线恒过点.
由得，表示以为圆心，为半径的半圆，该半圆在直线的上方.

当直线与半圆相切于点时，直线方程可化为： ，
根据圆心到直线的距离等于半径得：，解得，
当直线过点时，，此时直线与曲线有两个公共点，
当直线过点时，直线斜率不存在，此时直线与曲线有一个公共点，
综上得，实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的平分线所在的直线的方程为．
（1）求AB的中垂线方程；
（2）求AC的直线方程．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）求出的中点坐标及，故求出AB的中垂线斜率，点斜式求出方程；
（2）关于的对称点在直线上，求出，利用两点式求出直线方程，得到答案.
【小问1详解】
的中点坐标为，
又，故AB的中垂线斜率为4，
故AB的中垂线方程为，即；
【小问2详解】
由对称性可知，关于的对称点在直线上，
故，解得，
故，
故直线的方程为，即.
16. 已知圆C经过两点，且与x轴的正半轴相切.
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线l：与圆C交于M，N，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）圆C经过两点，且与x轴的正半轴相切，可设圆心，即，可得半径．利用勾股定理、弦长公式计算进而得出答案．
（2）求出圆心到直线l的距离d，即可得出弦长．
【小问1详解】
圆C经过两点，且与x轴的正半轴相切，

设圆心，即，故半径，
则，
∴圆C的标准方程为：．
【小问2详解】
圆心到直线l：的距离，
∴弦长．
17. 如图，在边长为2的正方体中，分别为的中点.
（1）证明：；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）建立坐标系求出点的坐标，利用向量的坐标运算求平面法向量即可求解，
（2）利用向量法求解点面距离即可．
【小问1详解】
建立以为坐标原点，，，分别为，，轴的空间直角坐标系如图：
则，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，
，分别为，的中点，
，1，，，1，，
，0，，，2，，
设平面的法向量为，
则,即，令，则
因为，，所以
平面．
【小问2详解】
,,
设点到平面的距离为，所以
18. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，是等边三角形，平面平面，，E为棱SA上一点，P为棱AD的中点，四棱锥的体积为.
（1）若E为棱SA的中点，F是SB的中点，求证：平面平面SCD；
（2）是否存在点E，使得平面PEB与平面SAD的夹角的余弦值为？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在点E，E为AS上靠近A点的三等分点
【解析】
【分析】（1）以点P为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用两个平面法向量相同得证平行；
（2）设，向量法表示已知条件中两平面夹角余弦值，求解即可.
【小问1详解】
在等边三角形SAD中，P为AD的中点，于是，
又平面平面ABCD，平面平面，平面SAD，
平面ABCD，是四棱锥的高，
设，则，矩形的面积，
，，
如图，以点P为坐标原点，PA所在直线为x轴，过点P且与AB平行的直线为y轴，PS所在直线为z轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，
设n1=x1,y1,z1是平面的一个法向量，
则即，
令，则，，.
同理可得平面SCD的一个法向量为.
，平面平面SCD.
【小问2详解】
存在.
设，
则，，
设平面PEB的一个法向量为，
则，
令，则，，
，
易知平面SAD的一个法向量为，
.
，，
存在点E，且E为AS上靠近A点三等分点.
19. 已知在平面直角坐标系xOy中，，，平面内动点P满足．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）点P轨迹记为曲线，若C，D是曲线与x轴的交点，E为直线l：x＝4上的动点，直线CE，DE与曲线的另一个交点分别为M，N，直线MN与x轴交点为Q，求点Q的坐标．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】(1) 设点为曲线上任意一点，利用两点间距离公式表示条件关系，化简等式可得轨迹方程；
(2) 设，联立直线的方程和曲线的方程求点的坐标，联立直线的方程和曲线的方程求点的坐标，求直线的方程，确定其与轴的交点坐标即可.
【小问1详解】
设点为曲线上任意一点，
因为，，，
则，
化简得．
【小问2详解】
由题意得，，
设，则直线的方程为，
直线的方程为，
联立得，
则，
即，，
所以
联立得，
则，即，，
所以
当时，直线的斜率，
则直线的方程为，
即，所以，
当时，直线垂直于轴，方程为，也过定点．
综上，直线恒过定点．
【点睛】本题为直线与圆的综合问题，解决的关键在于联立方程组求出交点坐标，对学生的运算能力要求较高.