浙江省金华市金东区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷（含答案解析）

这是一份浙江省金华市金东区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷（含答案解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）“明天是晴天”这个事件是（ ）
A．确定事件B．不可能事件
C．必然事件D．不确定事件
2．（3分）若2a＝3b，则下列比例式正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）已知⊙O的半径为6，与圆同一平面内一点P到圆心O的距离为5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在圆上B．点P在圆外C．点P在圆内D．无法确定
4．（3分）将抛物线y＝﹣x2向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣（x+2）2B．y＝﹣（x+2）2+2
C．y＝﹣（x﹣2）2+2D．y＝﹣（x﹣2）2
5．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，则∠CBD的度数为（ ）
A．65°B．55°C．45°D．35°
6．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F．若＝，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）如图，△ABC中，P为AB上的一点；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（ ）
A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③
8．（3分）如图，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA＝4，∠A＝∠B＝60°，则AB的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
9．（3分）已知二次函数y＝（x+m﹣3）（x﹣m）+3，点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是其图象上两点（ ）
A．若x1+x2＞3，则y1＞y2B．若x1+x2＜3，则y1＞y2
C．若x1+x2＞﹣3，则y1＞y2D．若x1+x2＜﹣3，则y1＜y2
10．（3分）如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD四条边上的点，连结EF，且GH∥AD，EF∥AB，连接AC交GH，EF于点P（ ）
A．矩形BFIG和矩形EIHD的面积之差
B．矩形ABCD与矩形BFIG的面积之差
C．矩形BFIG和矩形FCHI的面积之差
D．矩形BFIG和矩形EIGA的面积之差
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知线段a＝4 cm，b＝9 cm，则线段a cm．
12．（3分）已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝2：3：7．求∠D的大小．
13．（3分）小北同学掷两面质地均匀硬币，抛5次，4次正面朝上 ．
14．（3分）已知扇形的圆心角为60°，半径为18cm，则此扇形的弧长为 cm．
15．（3分）函数y＝的图象如图所示，若直线y＝x+t与该图象只有一个交点 ．
16．（3分）如图，点C是上一点，AC＝BC，∠ACB＝120°，连接AD交BC于点E，则的最大值＝ ．
三、解答题（本题有8小题，共72分，各小题都必须写出解答过程）
17．（8分）如果，且3a﹣2b+c＝12，求a﹣b+c的值．
18．（8分）在一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的球，其中1个白球，3个红球．
（1）从袋中随机摸出一个球，求摸出的球是白球的概率；
（2）从袋中随机摸出一个球，放回，摇匀，请用树状图或列表法求两次摸出的球颜色相同的概率．
19．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D．
（1）求证：△DBA∽△DAC；
（2）当AB＝3，AC＝6时，求AD长．
20．（8分）如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，请按要求作图．
（1）在图1中画一个格点△ADE，使△ADE∽△ABC．
（2）在图2中画一条格点线段BP，交AC于点Q，使CQ＝2AQ．
21．（8分）某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现（个）与销售单价x（元）有如下关系：y＝﹣2x+80（20≤x≤40）
（1）如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个；
（2）求w与x之间的函数关系式；
（3）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）．
（1）当a＝1，c＝2时，请求出该函数的完美点；
（2）已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个完美点，请求出该函数；
（3）在（2）的条件下，当0≤x≤m时的最小值为﹣3，最大值为1
23．（10分）某研学小组在研究拱桥的过程中发现拱桥的轮廓线（图中的桥下沿虚线部分）一般为抛物线或圆形，于是他们根据所学知识分组测量数据来确定某一拱桥的轮廓线
【实验操作】
如图1，第一小组在线段AB的垂直平分线与轮廓线的最高点的交点C处通过测量获得以下数据（单位：米）：
任务1：请根据第一小组的数据求∠ACB的度数．
【建立模型】
如图2，第二小组在轮廓线BC段上选取E点（不与B、C重合），在河边A和B处分别测量E点的仰角
任务2：根据所获得的数据，判断该拱桥轮廓线是抛物线还是圆形，请说明理由．
如果轮廓线是圆形，请求出圆的半径；如果轮廓线是抛物线
【解决问题】
任务3：由于安全通行需要，现需要在拱桥上安装倒T型的限高杆（如图3中虚线部分），为了保证安装稳定米（横杆悬空的部分大于6米），且横杆长度和竖杆长度之比为，那么此时横向限高杆离水面距离为多少米？（限高杆的宽度忽略不计）
24．（12分）如图，在⊙O中，直径AB＝10，点D在BC的延长线上，线段AD
交⊙O于点E，过点E作EF∥BC分别交⊙O，AB于点F，G
（1）求证：△ABD∽△FGB．
（2）当△FGB为等腰三角形时，求CD的长．
（3）当∠D＝45°时，求EG：FG的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．【答案】D
【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
【解答】解：“明天是晴天”这个事件是随机事件，属于不确定事件，
故选：D．
2．【答案】C
【分析】根据比例的性质即可得到结论．
【解答】解：∵2a＝3b，
∴＝，
故选：C．
3．【答案】C
【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径是6，点P到圆心O的距离为5，
∴点P到圆心O的距离小于圆的半径，
∴点P在⊙O内．
故选：C．
4．【答案】C
【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可获得答案．
【解答】解：将抛物线y＝﹣x2向右平移2个单位，再向上平移8个单位2+2．
故选：C．
5．【答案】D
【分析】先根据圆周角定理得到∠BCD＝90°，∠BDC＝∠BAC＝55°，然后利用互余计算出∠CBD的度数．
【解答】解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∵∠BDC＝∠BAC＝55°，
∴∠CBD＝90°﹣55°＝35°．
故选：D．
6．【答案】D
【分析】本题通过三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例即可得到结果．
【解答】解：∵直线l1∥l2∥l4，
∴，
∵，DF＝DE+EF．
∴，
故选：D．
7．【答案】D
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．
【解答】解：当∠ACP＝∠B，
∠A公共，
所以△APC∽△ACB；
当∠APC＝∠ACB，
∠A公共，
所以△APC∽△ACB；
当AC2＝AP•AB，
即AC：AB＝AP：AC，
∠A公共，
所以△APC∽△ACB；
当AB•CP＝AP•CB，即＝，
而∠PAC＝∠CAB，
所以不能判断△APC和△ACB相似．
故选：D．
8．【答案】C
【分析】延长AO交BC于D，过点O作BC的垂线，设垂足为E，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD是等边三角形，设AB的长为x，由此可表示出OD、BD和DE的长；在Rt△ODE中，根据∠ODE的度数，可得出OD＝2DE，进而可求出x的值．
【解答】解：延长AO交BC于D，过点O作OE⊥BC于E
设AB的长为x，
∵∠A＝∠B＝60°，
∴∠ADB＝60°；
∴△ADB为等边三角形；
∴BD＝AD＝AB＝x；
∵OA＝4，BC＝10，
∴BE＝BC＝5，OD＝x﹣4，
又∵∠ADB＝60°，
∴DE＝OD，
∴x﹣5＝（x﹣4），
解得：x＝7．
故选：C．
9．【答案】B
【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x＝，根据抛物线开口向上可得x1+x2＞3与x1+x2＜3时点A，B到对称轴的距离大小关系，进而求解．
【解答】解：∵y＝（x+m﹣3）（x﹣m）+3，
∴抛物线对称轴为直线x＝＝，抛物线开口向上，
∴当x1+x2＝7时，点A，y1＝y2，
当x4+x2＞3时，点B到对称轴的距离大于点A到对称轴的距离，y5＜y2，
当x1+x4＜3时，点B到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离，y1＞y8，
故选：B．
10．【答案】A
【分析】设BF＝a，BG＝b，根据矩形BFIG∽矩形EIHD，得DE＝ka，DH＝kb，根据S△DPQ＝S△ADC﹣S△ADP﹣S△DQC代入计算可解答．
【解答】解：设BF＝a，BG＝b，
∵矩形BFIG∽矩形EIHD，
则DE＝ka，DH＝kb，
∴AD＝AE+DE＝BF+DE＝a+ka，DC＝DH+HC＝DH+BG＝b+kb，
∴S△DPQ＝S△ADC﹣S△ADP﹣S△DQC
＝AD•DC﹣DC•DE
＝（a+ka）（b+kb）﹣（b+kb）•ak
＝（ab﹣k8ab），
∵矩形BFIG和矩形EIHD的面积之差＝ab﹣ka•kb＝ab﹣k2ab，
∴一定能求出△DPQ面积的条件是矩形BFIG和矩形EIHD的面积之差．
故选：A．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．【答案】见试题解答内容
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．
【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
设它们的比例中项是x，则x2＝4×6，x＝±6，负值舍去）．
12．【答案】见试题解答内容
【分析】利用圆内接四边形的对角互补得到∠A：∠B：∠C：∠D＝2：3：7：6，然后计算∠D的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠A：∠B：∠C：∠D＝2：3：5：6，
而∠B+∠D＝180°，
∴∠D＝×180°＝120°．
13．【答案】见试题解答内容
【分析】根据抛掷一枚硬币，要么正面朝上，要么反面朝上，可以求得相应的概率．
【解答】解：无论哪一次掷硬币，都有两种可能，
则掷硬币出现正面向上的概率为：；
故答案为：．
14．【答案】6π．
【分析】根据弧长公式代入即可．
【解答】解：根据扇形的弧长公式可得：l＝＝6πcm，
故答案为：6π．
15．【答案】t＞0或 t＝﹣4．
【分析】由y＝x+t与y＝x平行可得当t＞0时，直线y＝x+t与原图象只有一个交点，将y＝x2﹣3x与直线y＝x+t联立方程组，使b2﹣4ac＝0，此时只有一个交点．
【解答】解：∵y＝x+t与y＝x平行，
∴当t＞0时，直线y＝x+t与原图象只有一个交点，
联立，
∴x2﹣3x＝x+t，即，x4﹣4x﹣t＝0，
∵只有一个交点，
∴16+2t＝0，
∴t＝﹣4，
∴t的取值范围为：t＞2或 t＝﹣4．
16．【答案】．
【分析】作出圆心O，连接OB，OC，OC与AB交于点F，根据垂径定理和等腰三角形的性质与判定证明出△BOC是等边三角形，即可得出半径长；过点D作DM∥AC，DN⊥BC，得出△AEC∽△DEM，从而得到＝，再根据平行的性质和锐角三角函数得到DM＝，从而得到当DN最大时，最大，即可得解．
【解答】解：作出圆心O，连接OB，OC与AB交于点F，DN⊥BC于点N，
∵AC＝BC，
∴＝，
∴OC⊥AB，AF＝BF，
∴∠ACF＝∠BCF＝ACB＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC＝OC＝OB＝2＝AC，
∴BF＝OB＝，
∴AB＝2，
∵DM∥AC，
∴△AEC∽△DEM，
∴＝，
∵DM∥AC，
∴∠DME＝∠ACB＝120°，
∴∠DMN＝60°，
∴DM＝，
∴当DN最大时，DE：AE最大，
由题意知D为中点时，
此时DN的长等于半径减去△BOC的高，
∴DN＝7﹣，CN：BN＝1，
∴DM＝＝，
∴MN＝﹣1，
∴CM＝CN﹣MN＝6﹣，
∴＝＝＝，
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，共72分，各小题都必须写出解答过程）
17．【答案】见试题解答内容
【分析】令＝＝＝k，从而表示出a，b，c．再代入3a﹣2b+c＝12，即可求出k的值，于是可以解决问题．
【解答】解：令＝＝＝k，
∴a＝3k，b＝4k，
∵6a﹣2b+c＝12，
∴9k﹣4k+5k＝12，
∴k＝2，
∴a＝5k＝6，b＝4k＝2，
∴a﹣b+c＝6﹣8+10＝2．
18．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出的球颜色相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，从袋中随机摸出一个球．
（2）列表如下：
共有16种等可能的结果，其中两次摸出的球颜色相同的结果有10种，
∴两次摸出的球颜色相同的概率为＝．
19．【答案】（1）证明见解答过程；
（2）2．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质求出AM＝CM，推出∠C＝∠CAM，求出∠DAB＝∠CAM，求出∠DAB＝∠C，根据相似三角形的判定得出即可；
（2）依据相似三角形的性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，点M是BC的中点，
∴AM＝CM，
∴∠C＝∠CAM，
∵DA⊥AM，
∴∠DAM＝90°，
∴∠DAB＝∠CAM，
∴∠DAB＝∠C，
∵∠D＝∠D，
∴△DBA∽△DAC．
（2）∵AB＝3，AC＝6，
∴BC＝＝3，
∴AM＝BM＝MC＝，
∴BD＝＝﹣；
由（1）知△DBA∽△DAC，
∴＝，即＝，
∴BD＝AD，
∴＝﹣；
∴AD＝2或0（不合题意，
故AD长为2．
20．【答案】见解答．
【分析】（1）根据相似三角形的判定，并结合网格求解即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理，并结合网格特点求解即可．
【解答】解：（1）如图1所示，△ADE即为所求；
（2）如图2所示，线段BP即为所求．
21．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）在y＝﹣2x+80中，令x＝25可得y的值，即可得到答案；
（2）根据总利润＝每个健身球利润×销售量即可列出w与x之间的函数关系式；
（3）结合（2）的函数关系式，根据二次函数性质可得答案；
【解答】解：（1）在y＝﹣2x+80中，令x＝25得：
y＝﹣2×25+80＝30，
故答案为：30；
（2）根据题意得：w＝（x﹣20）（﹣5x+80）＝﹣2x2+120x﹣1600，
∴w与x之间的函数关系式为w＝﹣7x2+120x﹣1600；
（3）w＝﹣2x6+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200，
∵﹣4＜0，
∴当x＝30时，w取最大值，
答：该种健身球销售单价定为30元时，每天的销售利润最大．
22．【答案】（1）该函数的完美点为P1（﹣1，﹣1），P2（﹣2，﹣2）；（2）该二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x﹣；（3）2≤m≤4．
【分析】（1）根据完美点的概念，由y＝x与抛物线解析式联立即可求得答案；
（2）由题意得关于x的方程ax2+3x+c＝0有两个相等的实数根，可得Δ＝9﹣4ac＝0，则4ac＝9，再将完美点的坐标代入即可求得答案；
（3）由题意得y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，可求得此抛物线的顶点坐标以及与坐标轴的交点坐标，根据二次函数的图象和性质，可求得x的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝1，c＝2时6+4x+2，
令y＝x，则 x2+3x+2＝4，
解得：x1＝﹣1，x5＝﹣2，
∴该函数的完美点为P1（﹣2，﹣1），P2（﹣3，﹣2）；
（2）令ax2+8x+c＝x，即ax2+3x+c＝4，由题意可得，∴Δ＝9﹣4ac＝2．
又方程根为x＝﹣＝﹣＝，
∴a＝﹣2，c＝﹣，
该二次函数的解析式为y＝﹣x7+4x﹣；
（3）∵y＝﹣x2+4x﹣﹣＝﹣x2+4x﹣8＝﹣（x﹣2）2+3，
∴该二次函数图象如图所示，顶点坐标为（2，
与y轴交点为（0，﹣7），点（4．在x＝2左侧；在x＝6右侧；
∵当0≤x≤m 时，函数y＝﹣x2+3x﹣3的最小值为﹣3，最大值为4，
∴2≤m≤4．
23．【答案】任务1：120°；
任务2：该弧不是圆形是抛物线，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4；
任务3：米．
【分析】任务1：如图1，AC＝8＝2CD，则∠CAB＝30°＝∠ABC，即可求解；
任务2：在图1中，在Rt△BDC中，BD2＝OB2﹣OD2，即BD2＝r2﹣（r﹣4）2，而BD2＝BC2﹣CD2＝64﹣16＝48，得到r＝8；在图2中，由r＝AB＝4≠8，则该弧不是圆形是抛物线，建立如下的坐标系，用待定系数法求出抛物线表达式即可；
任务3：确定点T（13m﹣，4﹣（5m﹣）），即可求解．
【解答】解：任务1：如图1，AC＝5＝2CD，
则∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠CAB＝120°；
任务2：假设弧线为圆，如图8，2，
在图1中，设圆心为O，连接OB，
在Rt△BDC中，BD2＝OB2﹣OD2，即BD6＝r2﹣（r﹣4）4，而BD2＝BC2﹣CD8＝64﹣16＝48，
解得：r＝8；
则AB＝2DB＝8，
在图2中，设圆心为O，连接OB、OA，
则∠AEF＝180°﹣α﹣β＝135°，
则所对的优弧为180°﹣135°＝45°，
则∠AOB＝90°，
则r＝AB＝4，
则该弧不是圆形是抛物线，建立如下的坐标系，
则点C（0，4），0），
设抛物线的表达式为：y＝ax2+3，
将点B的坐标代入上式得：0＝（4）2×a+4，
解得：a＝﹣，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3；
任务3：如上图，设横杆和抛物线的一个交点为T，
设横杆长度和竖杆长度长度分别为26m、5m，
则点T（13m﹣，4﹣（3m﹣，
将点T的坐标代入y＝﹣x2+4得：4﹣（5m﹣）＝﹣）2，
整理得：169m2﹣m+，
解得：m＝或，
∵横杆悬空的部分大于6米，即26m﹣，
即m＞，
故m＝舍去，
则m＝，
则横向限高杆离水面距离即为点T的纵坐标＝3﹣（5m﹣）＝4﹣（5×﹣（米）．
24．【答案】（1）证明过程详见解答；
（2）CD＝6或或4；
（3）．
【分析】（1）可证明△AGE∽△ABD，△AGE∽△FGB，进而得出结论；
（2）可讨论△ABD是等腰三角形，分为BD＝AB，AD＝AB和AD＝BD；当BD＝AB＝10时，易得CD＝4，当AD＝AB时，连接AC，可得CD＝BC＝6，当AD＝BD时，连接OD，可证明△ABC∽△DBO，进而得出结果；
（3）连接BE和AC，可求得CD和AD，DE，AE，进而根据△AGE∽△ABD，求得EG和AG，BG的长，根据△ABD∽△FGB可求得FG，进而得出结果．
【解答】（1）证明：∵EF∥BD，
∴∠AGE＝∠ABD，∠AEC＝∠D，
∴△AGE∽△ABD，
∵∠AEF＝∠ABF，∠F＝∠BAE，
∴△AGE∽△FGB，
∴△ABD∽△FGB；
（2）解：由①得，
△ABD∽△FGB，
∵△FGB是等腰三角形，
∴△ABD是等腰三角形，
如图1，
当AB＝AD时，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴CD＝BC＝6，
如图4，
当AD＝BD时，连接OD，
∵OA＝OB，
∴DO⊥AB，
∴∠BOD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠BOD，AC＝＝，
∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△DBO，
∴，
∴，
∴BD＝，
∴CD＝BD﹣BC＝＝，
当BD＝AB＝10时，CD＝BD﹣BC＝10﹣8＝4，
综上所述：CD＝6或或4；
（3）解：如图，
连接BE，AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BED＝∠AEB＝90°，∠ACD＝∠ACB＝90°，
∴CD＝AC•tanD＝AC＝6，AD＝，
∴BD＝BC+CD＝14，
∴DE＝BD•csD＝14•cs45°＝4，
∴AE＝AD﹣DE＝8，
由（1）知，
△AGE∽△ABD，△ABD∽△FGB；
∴，，
∴，
∴EG＝，AG＝，
∴BG＝AB﹣AG＝10﹣＝，，
∴FG＝，
∴．小组
线段1
线段2
线段3
第一小组
CD＝4
AC＝8
BC＝8
小组
A测E仰角
B测E仰角
第二小组
∠α＝13°
∠β＝32°
白
红
红
红
白
（白，白）
（白，红）
（白，红）
（白，红）
红
（红，白）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
红
（红，白）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
红
（红，白）
（红，红）
（红，红）
（红，红）