山东省青岛市市南区青岛海尔学校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷

这是一份山东省青岛市市南区青岛海尔学校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷，共20页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{0，1，2，3}，那么A∩B＝（ ）
A．{0}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}
2．（5分）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＞”和“＜”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．已知a，b为非零实数，且a＞b，则下列结论正确的是（ ）
A．a2＞b2B．
C．D．
3．（5分）命题“∀x≥0，∃a＜0，使得x≥a”的否定形式是（ ）
A．∃x≥0，∃a＜0，使得x＜aB．∃x≥0，∀a＜0，使得x＜a
C．∃x＜0，∃a≥0，使得x＜aD．∃x＜0，∀a≥0，使得x＜a
4．（5分）“一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个正根和一个负根”是“ac＜0”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
5．（5分）海尔学校组织体测，小海同学沿直线跑道从起点出发，前进了akm，觉得有点累，休息了一会，不想坚持下去了就沿原路返回bkm（b＜a）．听到老师和同学的鼓舞，小海同学认为海尔学子应当不怕困难，便转头继续前进．则该同学离起点的位移s与时间t的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
6．（5分）函数f（x+1）的定义域为[﹣2，2]，函数，则g（x）的定义域为（ ）
A．[0，2）∪（2，4]B．[﹣1，2）∪（2，3]
C．D．
7．（5分）已知正实数x，y满足2x+y﹣xy＝0，且不等式2x+y+2a＞0恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣8B．a＞8C．a＞﹣4D．a＞4
8．（5分）若函数f（x）＝的值域为R，则实数m的取值范围为（ ）
A．[﹣3，4]B．[﹣2，0]C．[﹣5，0]D．[﹣5，4]
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
（多选）9．（5分）在下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（ ）
A．f（x）＝x﹣2，
B．f（x）＝|x+1|，g（x）＝
C．f（x）＝x0，
D．，
（多选）10．（5分）下列四个函数中，值域是[0，+∞）的函数是（ ）
A．B．y＝|x2﹣x﹣2|
C．y＝2|x|+1D．
（多选）11．（5分）下列关于函数的说法中正确的是（ ）
A．图象关于点（2，2）中心对称
B．函数y＝f（x﹣2）﹣2是奇函数
C．函数y＝|f（x）|在上单调递增
D．当x∈[1，2）∪（2，3]时，函数f（x）的值域为[﹣3，7]
（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．f（x）在[0，+∞）上单调递增
C．方程f[f（x）]＝6有4个实数根
D．方程f（x）＝m有3个实数根，则m的范围是[1，2]
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）
13．（5分）已知f（x）是R上的奇函数，且x＞0时，f（x）＝x3+2x2，则x＜0时，f（x）＝ ．
14．（5分）已知函数f（x）是定义在[﹣2，2]上的偶函数，且在[﹣2，0]上是增函数，则满足不等式f（x+1）＜f（2x﹣1）的x的取值范围是 ．
15．（5分）关于x的不等式2mx2﹣3mx+1﹣m＜0有且只有一个整数解，则m的取值范围是 ．
16．（5分）已知f（x）＝x3+x，不等式f（﹣x2+mx﹣2）≥0对x∈[1，3]恒成立，则m的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知集合A＝{x|2m﹣1≤x≤m+2}，集合B＝{x|x2≤2x+3}．
（1）m＝﹣1时，求A∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
18．（12分）已知函数f（x）＝x2+bx+c在区间（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．
（1）若对∀x∈R，f（x）≥0恒成立，求c的取值范围；
（2）若，求实数m的取值范围．
19．（12分）已知f（x）＝a（x+1），g（x）＝x2﹣x+1．
（1）当a＝1时，用h（x）表示f（x）、g（x）中的最大者，记为h（x）＝max{f（x），g（x）}，将f（x）、g（x）的图象画在同一坐标系中，由此直接写出h（x）的解析式、值域及单调递减区间；
（2）当x＞﹣1时，f（x）≤g（x）+1恒成立，求实数a的取值范围．
20．（12分）如图，海尔学校要建一个八边形的读书角，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为100m2的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/m2；再在四个空角（四个三角形）上铺草坪，造价为80元/m2．设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m）．当x为何值时，S最小？并求出这个最小值．注．
21．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝x2+2x．
（1）求函数f（x）解析式，若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）求不等式的解集；
（3）写出关于x的方程|f（x）|＝m2﹣1可能的解的个数，并求方程有最多解时m的取值范围．
22．（12分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）（x1，x2∈R），当x≠x2时，[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，且f（﹣2）＝﹣4．
（1）求f（0），判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（2）若对于，都有f（kx2）﹣f（﹣4x+1）≥2成立，求实数k的取值范围．
2023-2024学年山东省青岛市市南区青岛海尔学校高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{0，1，2，3}，那么A∩B＝（ ）
A．{0}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{0，1，2，3}，
则A∩B＝{0，1}．
故选：B．
2．（5分）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＞”和“＜”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．已知a，b为非零实数，且a＞b，则下列结论正确的是（ ）
A．a2＞b2B．
C．D．
【答案】D
【分析】举出反例检验选项A，B，C，结合比较法检验选项D即可判断．
【解答】解：因为a，b为非零实数，且a＞b，
当a＝1，b＝﹣1时，A，B，C显然错误；
＝＞0，即，D正确．
故选：D．
3．（5分）命题“∀x≥0，∃a＜0，使得x≥a”的否定形式是（ ）
A．∃x≥0，∃a＜0，使得x＜aB．∃x≥0，∀a＜0，使得x＜a
C．∃x＜0，∃a≥0，使得x＜aD．∃x＜0，∀a≥0，使得x＜a
【答案】B
【分析】根据全称量词与存在量词命题的定义可解．
【解答】解：命题“∀x≥0，∃a＜0，使得x≥a”的否定形式是“∃x≥0，∀a＜0，使得x＜a”．
故选：B．
4．（5分）“一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个正根和一个负根”是“ac＜0”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】根据韦达定理，先判断出“一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个正根和一个负根”能推出“ac＜0”成立，反之再由韦达定理，判断出“ac＜0”成立能推出“一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个正根和一个负根”，利用充要条件的有关定义得到结论．
【解答】解：若“一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个正根和一个负根”成立，
由韦达定理可得，＜0，
所以ac＜0成立，
反之，若“ac＜0”成立，
此时一元二次方程ax2+bx+c＝0的Δ＞0，此时方程有两个不等的根
由韦达定理可得此时＜0，
即方程两个根的符号相反
即一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个正根和一个负根
所以“一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个正根和一个负根”是“ac＜0”的充要条件，
故选：C．
5．（5分）海尔学校组织体测，小海同学沿直线跑道从起点出发，前进了akm，觉得有点累，休息了一会，不想坚持下去了就沿原路返回bkm（b＜a）．听到老师和同学的鼓舞，小海同学认为海尔学子应当不怕困难，便转头继续前进．则该同学离起点的位移s与时间t的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据位移s随时间t的变化规律判断．
【解答】解：小海同学沿直线跑道从起点出发，前进了akm，觉得有点累，休息了一会，
所以小海同学离起点的位移s先增大，后不变，可判断B，
之后小海同学不想坚持下去了就沿原路返回bkm（b＜a），听到老师和同学的鼓舞，小海同学认为海尔学子应当不怕困难，便转头继续前进，
所以之后s随t的增大先减小，再增大，故排除AC．
故选：D．
6．（5分）函数f（x+1）的定义域为[﹣2，2]，函数，则g（x）的定义域为（ ）
A．[0，2）∪（2，4]B．[﹣1，2）∪（2，3]
C．D．
【答案】C
【分析】根据已知列出使函数有意义的不等式组，进而求解结论．
【解答】解：函数f（x+1）的定义域为[﹣2，2]，
所以x+1∈[﹣1，3]，
所以g（x）需满足，解得x≤4且x≠2；
故选：C．
7．（5分）已知正实数x，y满足2x+y﹣xy＝0，且不等式2x+y+2a＞0恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣8B．a＞8C．a＞﹣4D．a＞4
【答案】C
【分析】由已知结合基本不等式及乘1法可求出2x+y的最小值，然后结合不等式恒成立与最值关系的转化即可求解．
【解答】解：因为正实数x，y满足2x+y﹣xy＝0，
所以＝1，
则2x+y＝（2x+y）（）＝4+＝8，当且仅当y＝2x，即x＝2，y＝4时取等号，
因为不等式2x+y+2a＞0恒成立，
所以8+2a＞0，即a＞﹣4．
故选：C．
8．（5分）若函数f（x）＝的值域为R，则实数m的取值范围为（ ）
A．[﹣3，4]B．[﹣2，0]C．[﹣5，0]D．[﹣5，4]
【答案】C
【分析】先求得y＝x2﹣x﹣4和y＝﹣2x﹣4的交点的横坐标，再在同一坐标系内作出两个函数的图象，根据函数图象求解即可．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，
令x2﹣x﹣4＝﹣2x﹣4，整理得x2+5x＝0，
解得x＝﹣5或x＝0，
即函数y＝x2﹣x﹣4和y＝﹣2x﹣4交点的横坐标为﹣5和0，
在同一坐标系内作出函数y＝x2﹣x﹣4和y＝﹣2x﹣4的图象，如图所示，
要使函数f（x）的值域为R，则﹣5≤m≤0，
所以实数m的取值范围为[﹣5，0]．
故选：C．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
（多选）9．（5分）在下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（ ）
A．f（x）＝x﹣2，
B．f（x）＝|x+1|，g（x）＝
C．f（x）＝x0，
D．，
【答案】BC
【分析】判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可判断两个函数是否相同函数．
【解答】解：对于A，函数f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x|x≠2}，
所以两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故A错误；
对于B，函数f（x）＝|x+1|＝，与函数g（x）的定义域相同，对应关系也相同，
所以两个函数是同一个函数，故B正确；
对于C，函数f（x）＝x0＝1（x≠0），g（x）＝＝1（x≠0），
所以两个函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故C正确；
对于D，函数f（x）＝＝（x＞0），g（x）＝＝（x＞0），
所以两个函数的对应关系不同，不是同一个函数，故D错误．
故选：BC．
（多选）10．（5分）下列四个函数中，值域是[0，+∞）的函数是（ ）
A．B．y＝|x2﹣x﹣2|
C．y＝2|x|+1D．
【答案】BD
【分析】举出反例检验选项A，结合基本初等函数的值域检验各选项即可判断．
【解答】解：当x＝﹣2时，A显然不符合题意；
因为y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，
所以y＝|x2﹣x﹣2|≥0，B符合题意；
因为|x|≥0，
所以y＝2|x|+1≥1，C不符合题意；
因为y＝2x2+x﹣1与x轴有两交点，
y＝≥0，D符合题意．
故选：BD．
（多选）11．（5分）下列关于函数的说法中正确的是（ ）
A．图象关于点（2，2）中心对称
B．函数y＝f（x﹣2）﹣2是奇函数
C．函数y＝|f（x）|在上单调递增
D．当x∈[1，2）∪（2，3]时，函数f（x）的值域为[﹣3，7]
【答案】AB
【分析】先对已知函数进行分离变形，然后结合反比例函数的对称性及函数图象的平移变换检验选项A，B；结合函数图象的变换及反比例函数的单调性检验选项C，D即可．
【解答】解：因为，
所以函数y＝f（x）的图象关于点（2，2）中心对称，故A正确；
将函数y＝f（x）的图象向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，可得函数的图象，
所以函数y＝f（x﹣2）﹣2是奇函数，故B正确；
函数y＝|f（x）|的图象是由函数y＝f（x）的图象保留x轴上方部分，将x轴下方部分翻折到x轴上方而得到的，
所以函数y＝|f（x）|在区间上单调递减，故C错误；
当x∈[1，2）时，，当x∈（2，3]时，，
所以当x∈[1，2）∪（2，3]时，函数的值域为，故D错误．
故选：AB．
（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．f（x）在[0，+∞）上单调递增
C．方程f[f（x）]＝6有4个实数根
D．方程f（x）＝m有3个实数根，则m的范围是[1，2]
【答案】AC
【分析】根据题意易得f（x）＝，x∈[k，k+1），k∈N，再作出f（x）的图象，针对各个选项，数形结合，即可求解．
【解答】解：∵f（x）＝，
设x∈[1，2），则x﹣1∈[0，1），
∴f（x﹣1）＝8（x﹣1），
∴f（x）＝f（x﹣1）＝4（x﹣1），x∈[1，2），
同理可得f（x）＝2（x﹣2），x∈[2，3），…，
∴f（x）＝，x∈[k，k+1），k∈N，
作出f（x）的图象如下：
∴＝4×（﹣1）＝2，∴A选项正确；
∵f（x）的单调增区间为[k，k+1），k∈N，
但f（x）在[0，+∞）上不是单调函数，∴B选项错误；
∵f[f（x）]＝6，∴f（x）＝，
∴数形结合可得y＝f（x）与y＝有4个交点，
∴方程f[f（x）]＝6有4个实数根，∴C选项正确；
∵方程f（x）＝m有3个实数根，
∴y＝f（x）与y＝m有3个交点，
∴数形结合可得m的范围是[1，2），∴D选项错误．
故选：AC．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）
13．（5分）已知f（x）是R上的奇函数，且x＞0时，f（x）＝x3+2x2，则x＜0时，f（x）＝ x3﹣2x2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】求x＜0时的f（x）解析式，所以设x＜0，﹣x＞0，所以根据已知条件即可得：f（﹣x）＝（﹣x）3+2（﹣x）2＝﹣f（x），解出f（x）即可．
【解答】解：设x＜0，﹣x＞0，则：
f（﹣x）＝﹣x3+2x2＝﹣f（x）；
∴f（x）＝x3﹣2x2．
故答案为：x3﹣2x2．
14．（5分）已知函数f（x）是定义在[﹣2，2]上的偶函数，且在[﹣2，0]上是增函数，则满足不等式f（x+1）＜f（2x﹣1）的x的取值范围是 （0，1] ．
【答案】（0，1]．
【分析】根据题意，分析可得f（x）在[0，2]上为减函数，由函数的定义域分析可得0≤|2x﹣1|＜|x+1|≤2，解可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在[﹣2，2]上的偶函数，且在[﹣2，0]上是增函数，
则f（x）在[0，2]上为减函数，
若f（x+1）＜f（2x﹣1），则f（|x+1|）＜f（|2x﹣1|），则有0≤|2x﹣1|＜|x+1|≤2，
解可得：0＜x≤1，即x的取值范围为（0，1]．
故答案为：（0，1]．
15．（5分）关于x的不等式2mx2﹣3mx+1﹣m＜0有且只有一个整数解，则m的取值范围是 （] ．
【答案】（]．
【分析】根据题意，不等式2mx2﹣3mx+1﹣m＜0的解集对应相应方程的两根之间，可知m＞0，利用二次函数的图象与性质、零点存在性定理，建立关于m的不等式组，解出实数m的取值范围．
【解答】解：根据题意，不等式2mx2﹣3mx+1﹣m＜0的解集为（x1，x2），
其中x1、x2为方程2mx2﹣3mx+1﹣m＝0的两个实数根，且x1＜x2．
所以m＞0，且（x1，x2）中有且只有1个整数．
设f（x）＝2mx2﹣3mx+1﹣m，则f（x）的图象关于直线x＝对称，
可得，即，解得，
即实数m的取值范围是（]．
故答案为：（]．
16．（5分）已知f（x）＝x3+x，不等式f（﹣x2+mx﹣2）≥0对x∈[1，3]恒成立，则m的取值范围是 [，+∞） ．
【答案】[，+∞）．
【分析】判断函数f（x）是定义域R上的增函数，且f（0）＝0，不等式f（﹣x2+mx﹣2）≥0可化为﹣x2+mx﹣2≥0，由此求解即可．
【解答】解：因为f（x）＝x3+x，所以f（x）是定义域R上的增函数，且f（0）＝0；
所以不等式f（﹣x2+mx﹣2）≥0可化为f（﹣x2+mx﹣2）≥f（0），即﹣x2+mx﹣2≥0，
又因为x∈[1，3]，所以m≥x+恒成立，
设g（x）＝x+，x∈[1，3]，则g（x）＝x+是对勾函数，
且在x＝3时取得最大值为g（x）max＝g（3）＝3+＝，
所以m的取值范围是[，+∞）．
故答案为：[，+∞）．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知集合A＝{x|2m﹣1≤x≤m+2}，集合B＝{x|x2≤2x+3}．
（1）m＝﹣1时，求A∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】（1）{x|1＜x＜3}；
（2）（0，1）∪（3，+∞）．
【分析】（1）根据交集的定义可解；
（2）根据题意“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A⫋B，从而可解．
【解答】解：（1）当m＝1时，集合A＝{x|2m﹣1≤x≤m+2}＝{x|1≤x≤3}，
集合B＝{x|x2≤2x+3}＝{x|﹣1＜x＜3}，
则A∩B＝{x|1＜x＜3}；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A⫋B，
当A＝∅时，即m+2＜2m﹣1，则m＞3，
当A≠∅时，，得0＜m＜1，
则m的取值范围为（0，1）∪（3，+∞）．
18．（12分）已知函数f（x）＝x2+bx+c在区间（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．
（1）若对∀x∈R，f（x）≥0恒成立，求c的取值范围；
（2）若，求实数m的取值范围．
【答案】（1）[1，+∞）；
（2）．
【分析】（1）根据题意可得b＝﹣2，进而可得Δ＝（﹣2）2﹣4c≤0，由此求得c的范围；
（2）问题等价于解不等式即可．
【解答】解：（1）依题意，，解得b＝﹣2，
则对∀x∈R，x2﹣2x+c≥0恒成立，
故Δ＝（﹣2）2﹣4c≤0，解得c≥1，
则实数c的取值范围为[1，+∞）；
（2）易知二次函数f（x）的对称轴为x＝1，且开口向上，
由，可得，即，
即，解得，
则实数m的取值范围为．
19．（12分）已知f（x）＝a（x+1），g（x）＝x2﹣x+1．
（1）当a＝1时，用h（x）表示f（x）、g（x）中的最大者，记为h（x）＝max{f（x），g（x）}，将f（x）、g（x）的图象画在同一坐标系中，由此直接写出h（x）的解析式、值域及单调递减区间；
（2）当x＞﹣1时，f（x）≤g（x）+1恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）图象见解答，，值域为[1，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）；
（2）（﹣∞，1]．
【分析】（1）根据题意作出图象，结合图象即可得出答案；
（2）转化为当x＞﹣1时，a（x+1）≤x2﹣x+2恒成立，结合基本不等式即可得解．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝x+1，
令f（x）＝g（x），即x+1＝x2﹣x+1，解得x＝0或x＝2，
易知当0＜x＜2时，f（x）＞g（x）；当x＜0或x＞2时，f（x）＜g（x），
在同一坐标系中，作出函数f（x），g（x）的图象如下所示，
则，值域为[1，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）；
（2）当x＞﹣1时，f（x）≤g（x）+1恒成立，
即当x＞﹣1时，a（x+1）≤x2﹣x+2恒成立，
即当x＞﹣1时，，
又，当且仅当，即x＝1时等号成立，
则a≤1，即实数a的取值范围为（﹣∞，1]．
20．（12分）如图，海尔学校要建一个八边形的读书角，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为100m2的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/m2；再在四个空角（四个三角形）上铺草坪，造价为80元/m2．设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m）．当x为何值时，S最小？并求出这个最小值．注．
【答案】，S最小＝59000元．
【分析】建立总造价S关于x的函数模型，利用基本不等式，即可得出答案．
【解答】解：由题意，有，又AM＞0，有0＜x＜10，
故
＝
＝
≥
＝40000+19000＝59000，
当且仅当，即时等号成立，
故当时，S取得最小值为59000元．
21．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝x2+2x．
（1）求函数f（x）解析式，若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）求不等式的解集；
（3）写出关于x的方程|f（x）|＝m2﹣1可能的解的个数，并求方程有最多解时m的取值范围．
【答案】（1）f（x）＝，a的取值范围为（1，3]；
（2）（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）；
（3）方程|f（x）|＝m2﹣1可能的解的个数为0、2、3、4、6个，
且当m∈{m|﹣＜m＜﹣1或1＜m＜}时，方程有最多解．
【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝0，当x＞0时，﹣x＜0，求出f（x）的表达式，可得f（x）的解析式，作出f（x）的图像，结合图象分析可得关于a的不等式，解可得答案；
（2）根据题意，由函数的奇偶性，原不等式等价于＜0，必有或，进而分析可得答案；
（3）根据题意，作出函数y＝|f（x）|的图象，由函数与方程的关系分析方程|f（x）|＝m2﹣1可能的解的个数，即可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，
当x＞0时，﹣x＜0，则f（﹣x）＝x2﹣2x，
则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2+2x，
故f（x）＝，
其图象大致如图：
若f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，必有﹣1＜a﹣2≤1，解可得1＜a≤3，
即a的取值范围为（1，3]；
（2）根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则⇔＜0，
必有或，
必有x＜﹣2或x＞2，即不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）；
（3）根据题意，y＝|f（x）|的图象大致如图：
方程|f（x）|＝m2﹣1的解的个数就是函数y＝|f（x）|与直线y＝m2﹣1的交点的个数，
当m2﹣1＜0，即﹣1＜m＜1时，y＝|f（x）|与直线y＝m2﹣1没有交点，方程无解，
当m2﹣1＝0，即m＝±1时，y＝|f（x）|与直线y＝m2﹣1有3个交点，方程有3个解，
当0＜m2﹣1＜1，即﹣＜m＜﹣1或1＜m＜时，y＝|f（x）|与直线y＝m2﹣1有6个交点，方程有6个解，
当m2﹣1＝1，即m＝±时，y＝|f（x）|与直线y＝m2﹣1有4个交点，方程有4个解，
当m2﹣1＞1，即m＞或m＜﹣时，y＝|f（x）|与直线y＝m2﹣1有2个交点，方程有2个解，
综合可得：方程|f（x）|＝m2﹣1可能的解的个数为0、2、3、4、6个，
且当m∈{m|﹣＜m＜﹣1或1＜m＜}时，方程有最多解．
22．（12分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）（x1，x2∈R），当x≠x2时，[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，且f（﹣2）＝﹣4．
（1）求f（0），判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（2）若对于，都有f（kx2）﹣f（﹣4x+1）≥2成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）f（0）＝0，f（x）为奇函数，详见解答；
（2）{k|k≥16}．
【分析】（1）利用赋值法可求f（0），然后结合赋值法及奇偶性的定义即可判断；
（2）结合函数的单调性及奇偶性进行转化，然后结合不等式恒成立与最值关系的转化及二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）因为定义在R上的函数f（x）满足f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2），
所以f（0）＝2f（0），即f（0）＝0；
f（x）为奇函数，证明如下：
令x1＝x，x2＝﹣x，
则f（0）＝f（x）+f（﹣x）＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x），
所以f（x）为奇函数；
（2）当x≠x2时，[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，
所以f（x）在R上单调递增，
因为f（﹣2）＝﹣4，
所以f（2）＝4＝2f（1），即f（1）＝2，
若对于，都有f（kx2）﹣f（﹣4x+1）＝f（kx2）+f（4x﹣1）＝f（kx2+4x﹣1）≥2成立，
则f（kx2+4x﹣1）≥f（1）在[，1]上恒成立，
则kx2+4x﹣1≥1在[，1]上恒成立，
所以k≥在[，1]上恒成立，
根据二次函数的性质可知，当x＝时，取得最大值16，
则k≥16，
故实数k的取值范围为{k|k≥16}