海南省海口市海南中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

这是一份海南省海口市海南中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）M，N分别为直线3x﹣4y﹣12＝0与6x﹣8y+5＝0上任意一点，则|MN|最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）已知A（﹣1，0）、B（3，6），则以AB为直径的圆的一般方程为（ ）
A．x2+y2﹣2x﹣6y+3＝0B．x2+y2﹣2x﹣6y﹣3＝0
C．x2+y2+2x﹣6y+3＝0D．x2+y2+2x﹣6y﹣3＝0
4．（5分）圆与圆的公切条数为（ ）
A．2条B．1条C．3条D．4条
5．（5分）已知双曲线x2﹣y2＝2的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右半支上，点Q（0，2），则|PQ|+|PF1|的最小值为（ ）
A．B．4C．6D．
6．（5分）若直线l：y＝kx+3﹣k与曲线C：y＝恰有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．（）B．（C．（0，）D．（
7．（5分）若圆C1：（x+1）2+（y﹣2）2＝r2（r＞0）上恰有2个点到直线l：4x﹣3y﹣10＝0的距离为1，则实数r的取值范围为（ ）
A．（3，5）B．（4，6）C．[，]D．[，6]
8．（5分）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节．活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为60°），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知抛物线C1：y2＝mx与双曲线C2：有相同的焦点，点P（2，y0）在抛物线C1上，则下列结论正确的有（ ）
A．双曲线C2的离心率为2
B．双曲线C2的渐近线为
C．m＝8
D．点P到抛物线C1的焦点的距离为4
（多选）10．（6分）已知直线l：kx﹣y+k＝0，圆C：x2+y2﹣6x+5＝0，P（x0，y0）为圆C上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为5
B．的最大值为
C．直线l与圆C相切时，
D．圆心C到直线l的距离最大为4
（多选）11．（6分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为B，动点P在椭圆C上，则下列描述正确的有（ ）
A．若△PF1F2的周长为6，则
B．若当时，△PF1F2的内切圆半径为，则
C．若存在P点，使得PF1⊥PF2，则
D．若|PB|的最大值为2b，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）动点P到两定点A（﹣4，0）、B（4，0）距离之和为10，则点P的轨迹方程为 ．
13．（5分）设F为抛物线C：y2＝8x的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为 ．
14．（5分）法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：过圆E：x2+y2＝a2﹣b2（a＞b＞0）上任意一点作双曲线C：的两条切线，这两条切线互相垂直，我们通常把这个圆E称作双曲线C的蒙日圆．过双曲线W：的蒙日圆上一点P作W的两条切线，与该蒙日圆分别交于A，B两点，若∠PAB＝30°，则△PAB的周长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）光线自点P（﹣3，4）射到点（2，0）后被x轴反射．
（1）求反射光线所在的直线的方程；
（2）求过点（4，2）且与入射光线垂直的直线方程．（请用直线的一般方程表达解题结果）
16．（15分）市体育馆的屋盖网壳由两个大小不同的双层椭球壳相贯而成，其屋盖网壳长轴总尺寸约97米，短轴总尺寸约77米，短轴长与长轴长的平方比接近黄金比0.618．我们把短轴长与长轴长的平方比为 的椭圆称为黄金椭圆．现有一黄金椭圆C：＝1（a＞b＞0）其中A，F分别为其左顶点和右焦点，B为上顶点．
（1）求黄金椭圆C的离心率；
（2）某同学在研究黄金椭圆的性质时猜测△ABF可能为直角三角形，试判断该同学的猜测是否正确，并说明理由．
17．（15分）已知圆与圆交于A，B两点，圆C经过A，B两点，且圆心在直线4x﹣3y﹣3＝0上．
（1）求|AB|；
（2）求圆C的方程．
18．（17分）已知双曲线，M（m，2），斜率为k的直线l过点M．
（1）若m＝0，且直线l与双曲线C只有一个公共点，求k的值；
（2）双曲线C上有一点P，∠F1PF2的夹角为120°，求三角形PF1F2的面积．
19．（17分）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如x＝ty+1表示过点（1，0）的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．
（1）若圆是直线族mx+ny＝1（m，n∈R）的包络曲线，求m，n满足的关系式；
（2）若点P（x0，y0）不在直线族Ω：（2a﹣4）x+4y+（a﹣2）2＝0（a∈R）的任意一条直线上，求y0的取值范围和直线族Ω的包络曲线E；
（3）在（2）的条件下，过曲线E上A，B两点作曲线E的切线l1，l2，其交点为P．已知点C（0，1），若A，B，C三点不共线，探究∠PCA＝∠PCB是否成立？请说明理由．
2024-2025学年海南省海口市海南中学高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据直线方向向量写出斜率，结合斜率与倾斜角关系确定倾斜角大小即可．
【解答】解：由题设，
则直线l的斜率k＝＝，
又因为直线倾斜角的范围为[0，π），
所以直线l的倾斜角为．
故选：B．
2．（5分）M，N分别为直线3x﹣4y﹣12＝0与6x﹣8y+5＝0上任意一点，则|MN|最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用两平行线间的距离公式可求出|MN|的最小值．
【解答】解：直线3x﹣4y﹣12＝0与6x﹣8y+5＝0，满足，可得两条直线相互平行，
所以|MN|最小值为平行线之间的距离，6x﹣8y+5＝0可化为，
所以，．
故选：A．
3．（5分）已知A（﹣1，0）、B（3，6），则以AB为直径的圆的一般方程为（ ）
A．x2+y2﹣2x﹣6y+3＝0B．x2+y2﹣2x﹣6y﹣3＝0
C．x2+y2+2x﹣6y+3＝0D．x2+y2+2x﹣6y﹣3＝0
【答案】B
【分析】求出AB的中点和|AB|可得以AB为直径的圆的圆心坐标和半径，进而得所求圆的标准方程，再将其转化为一般方程即可得解．
【解答】解：已知A（﹣1，0）、B（3，6），
则AB中点坐标为，即（1，3）．
则以AB为直径的圆的圆心为（1，3），
又，
则以AB为直径的圆的半径为．
所以圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝13，
化为一般方程为x2+y2﹣2x﹣6y﹣3＝0．
故选：B．
4．（5分）圆与圆的公切条数为（ ）
A．2条B．1条C．3条D．4条
【答案】A
【分析】求解两个圆的圆心与半径，判断两个圆的位置关系，即可得到结果．
【解答】解：圆的圆心（2，4），半径为3；
圆的圆心（5，0），半径为4；
两个圆的圆心距＝5，因为4﹣3＜5＜3+4，所以两个圆相交，
公切条数为2．
故选：A．
5．（5分）已知双曲线x2﹣y2＝2的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右半支上，点Q（0，2），则|PQ|+|PF1|的最小值为（ ）
A．B．4C．6D．
【答案】D
【分析】首先利用双曲线的定义转化，再结合图象，求|PQ|+|PF2|的最小值，再联立方程求交点坐标．
【解答】解：双曲线方程变形为，则，c＝2，
点P在双曲线的右半支上，由题意并结合双曲线的定义可得：，
所以，
当且仅当Q，P，F2三点共线时等号成立．
而直线QF2的方程为y＝﹣x+2，
联立，解得，，
所以点P的坐标为．
所以当且仅当点P的坐标为时，|PQ|+|PF1|的最小值为．
故选：D．
6．（5分）若直线l：y＝kx+3﹣k与曲线C：y＝恰有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．（）B．（C．（0，）D．（
【答案】B
【分析】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系即可得到结论．利用数形结合作出图象进行研究即可．
【解答】解：由y＝kx+3﹣k知直线l过定点G（1，3），由曲线C：y＝，两边平方得x2+y2＝1，
则曲线是以（0，0）为圆心，1为半径，且位于直线x轴上方的半圆，
当直线过点A（﹣1，0）时，直线l与曲线有两个不同的交点，
此时0＝﹣k+3﹣k，
解得k＝，
当直线l与曲线相切时，直线和圆有一个交点，
圆心（0，0）到直线y＝kx+3﹣k的距离d＝＝1，
平方得k＝，
要使直线l：y＝kx+3﹣k与曲线C：y＝恰有两个交点，
则直线l夹在两条直线之间，
因此＜k≤，
故选：B．
7．（5分）若圆C1：（x+1）2+（y﹣2）2＝r2（r＞0）上恰有2个点到直线l：4x﹣3y﹣10＝0的距离为1，则实数r的取值范围为（ ）
A．（3，5）B．（4，6）C．[，]D．[，6]
【答案】A
【分析】圆心C1到直线l：4x﹣3y﹣10＝0的距离d＝＝4，2个点到直线l：4x﹣3y﹣10＝0的距离为1，可求r的取值范围．
【解答】解：由（x+1）2+（y﹣2）2＝r2（r＞0），得圆心C1（﹣1，2），
∵圆心C1到直线l：4x﹣3y﹣10＝0的距离d＝＝4．
∴圆C1：（x+1）2+（y﹣2）2＝r2（r＞0）上恰有2个点到直线l：4x﹣3y﹣10＝0的距离为1，
所以＜d＜r+1时，解得3＜r＜5．
故选：A．
8．（5分）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节．活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为60°），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，作出图形，再利用正弦定理求出椭圆的长轴长，结合焦点位置求出半焦距作答．
【解答】解：如图，伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点，
伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点，
对应的伞沿为C，O为伞的圆心，F为伞柄底端，即椭圆的左焦点，
令椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，
由，得a+c＝|BF|＝2，∠FBC＝45°，，
在△ABC中，∠BAC＝60°，则∠ACB＝75°，
又，
由正弦定理得，
解得，则，
所以该椭圆的离心率．
故选：A．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知抛物线C1：y2＝mx与双曲线C2：有相同的焦点，点P（2，y0）在抛物线C1上，则下列结论正确的有（ ）
A．双曲线C2的离心率为2
B．双曲线C2的渐近线为
C．m＝8
D．点P到抛物线C1的焦点的距离为4
【答案】ACD
【分析】根据双曲线的几何性质，抛物线的几何性质即可求解．
【解答】解：对A，∵双曲线C2的离心率为，∴A正确；
对B，∵双曲线C2的渐近线为，∴B错误；
对C，∵C1，C2有相同焦点，∴，∴m＝8，∴C正确；
对D，∵抛物线y2＝8x焦点为（2，0），又点P（2，y0）在C1上，
∴y0＝±4，∴P（2，4）或P（2，﹣4），
∴P到C1的焦点的距离为4，∴D正确．
故选：ACD．
（多选）10．（6分）已知直线l：kx﹣y+k＝0，圆C：x2+y2﹣6x+5＝0，P（x0，y0）为圆C上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为5
B．的最大值为
C．直线l与圆C相切时，
D．圆心C到直线l的距离最大为4
【答案】BC
【分析】求解圆的圆心与半径，然后求解距离是最大值判断A；结合斜率的最值判断B，圆心到直线的距离，转化求解直线的斜率，判断C；圆心到直线的距离判断D．
【解答】解：直线l：kx﹣y+k＝0恒过（﹣1，0），圆C：x2+y2﹣6x+5＝0的圆心（3，0），半径为2；
所以P（x0，y0）为圆C上任意一点，的最大值为25；所以A不正确．
的最大值为＝，所以B正确；
直线l与圆相切时，直线的斜率为：k＝±＝±，所以C正确．
圆心C到直线l的距离最大小于3+1＝4，所以D不正确．
故选：BC．
（多选）11．（6分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为B，动点P在椭圆C上，则下列描述正确的有（ ）
A．若△PF1F2的周长为6，则
B．若当时，△PF1F2的内切圆半径为，则
C．若存在P点，使得PF1⊥PF2，则
D．若|PB|的最大值为2b，则
【答案】ABD
【分析】利用焦点三角形的周长求得c＝1，可求b判断A；利用余弦定理求得焦点三角形的面积，可得，求解可判断B；若PF1⊥PF2，则以O为圆心，b为半径的圆与椭圆有交点，则b≤c，求解可判断C；，利用二次函数的最值可求得b的范围判断D．
【解答】解：已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为B，动点P在椭圆C上，
对于A，由椭圆，
则a2＝4，
即a＝2，
因为△PF1F2的周长为6，
所以2a+2c＝6，
解得c＝1，
则b2＝a2﹣c2＝3，
解得，
故A正确；
对于B，由a＝2，
可得|PF1|+|PF2|＝2a＝4，
当时，由余弦定理可得
＝，
则，
解得，
所以，
又△PF1F2的内切圆半径为，
所以，
所以，
所以2+c＝4﹣c2，
解得c＝1，
所以，
故B正确；
对于C，因为PF1⊥PF2，
则以O为圆心，c为半径的圆与椭圆有交点，
则b≤c，
所以b2≤c2，
所以b2≤a2﹣b2＝4﹣b2，
解得，
所以存在P点，使得PF1⊥PF2，
则，
故C错误；
对于D，设P（x，y），B（0，b），
＝，
又因为﹣b≤y≤b，
因为下顶点到上顶点的距离为2b，
又|PB|的最大值为2b，
故y＝﹣b时取最大值，
所以，
又0＜b＜2，
则，
故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）动点P到两定点A（﹣4，0）、B（4，0）距离之和为10，则点P的轨迹方程为 ．
【答案】．
【分析】利用定义法求点P的轨迹方程．
【解答】解：因为|PA|+|PB|＝10＞|AB|＝8，
由椭圆的定义可知，动点P的轨迹是以A（﹣4，0），B（4，0）为焦点，长轴长为10的椭圆，
所以c＝4，a＝5，b2＝a2﹣c2＝9，
所以点P的轨迹方程是．
故答案为：．
13．（5分）设F为抛物线C：y2＝8x的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为 ．
【答案】．
【分析】求得抛物线的焦点，可得直线AB的方程，联立抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，求得|AB|，再由点到直线的距离公式可得O到直线AB的距离，由三角形的面积公式计算可得所求值．
【解答】解：抛物线C：y2＝8x的焦点F（2，0），
可得直线AB的方程为y＝（x﹣2），
联立抛物线C：y2＝8x，消去y可得3x2﹣20x+12＝0，
设A，B的横坐标分别为x1，x2，可得x1+x2＝，x1x2＝4，
则|AB|＝•＝2＝，
又O到直线AB的距离为d＝＝，
则△ABO的面积为d•|AB|＝××＝．
故答案为：．
14．（5分）法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：过圆E：x2+y2＝a2﹣b2（a＞b＞0）上任意一点作双曲线C：的两条切线，这两条切线互相垂直，我们通常把这个圆E称作双曲线C的蒙日圆．过双曲线W：的蒙日圆上一点P作W的两条切线，与该蒙日圆分别交于A，B两点，若∠PAB＝30°，则△PAB的周长为 ．
【答案】．
【分析】先阅读题意，然后结合双曲线的性质求解．
【解答】解：已知双曲线W的方程为，
则双曲线W：的蒙日圆为x2+y2＝2，
又∠APB＝90°，∠PAB＝30°，
则线段AB为该蒙日圆的直径，
即，|PB|＝|AB|sin∠PAB＝，|PA|＝|AB|cs∠PAB＝＝，
则△PAB的周长为．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）光线自点P（﹣3，4）射到点（2，0）后被x轴反射．
（1）求反射光线所在的直线的方程；
（2）求过点（4，2）且与入射光线垂直的直线方程．（请用直线的一般方程表达解题结果）
【答案】（1）4x﹣5y﹣8＝0；
（2）5x﹣4y﹣12＝0．
【分析】（1）根据题意，算出入射光线所在直线的斜率，利用轴对称的性质算出反射光线所在直线的斜率，进而可得反射光线所在的直线的方程；
（2）先根据两条直线垂直，算出所求直线的斜率，然后利用直线的点斜式方程算出答案．
【解答】解：（1）设入射点为Q，由P（﹣3，4）、Q（2，0），可得kPQ＝＝，
所以反射光线所在的直线的斜率k＝﹣kPQ＝，
可得反射光线所在的直线为y＝（x﹣2），即4x﹣5y﹣8＝0．
（2）与入射光线垂直的直线，其斜率＝，
结合点（4，2）在垂线上，
可知所求垂线的方程为y﹣2＝（x﹣4），即5x﹣4y﹣12＝0．
16．（15分）市体育馆的屋盖网壳由两个大小不同的双层椭球壳相贯而成，其屋盖网壳长轴总尺寸约97米，短轴总尺寸约77米，短轴长与长轴长的平方比接近黄金比0.618．我们把短轴长与长轴长的平方比为 的椭圆称为黄金椭圆．现有一黄金椭圆C：＝1（a＞b＞0）其中A，F分别为其左顶点和右焦点，B为上顶点．
（1）求黄金椭圆C的离心率；
（2）某同学在研究黄金椭圆的性质时猜测△ABF可能为直角三角形，试判断该同学的猜测是否正确，并说明理由．
【答案】（1）．
（2）正确，理由见解析．
【分析】（1）根据题目中黄金椭圆的定义，再根据离心率的计算公式可求得椭圆的离心率．（2）通过计算kAB•kBF的值，可以判断出三角形的形状．
【解答】解：（1）由题意，设椭圆C的焦距为2c，则，
又b2＝a2﹣c2，得，即，，所以．
（2）正确．理由如下；
设椭圆中心为O，由＝＝
所以kAB•kBF＝﹣1，即，
所以△ABF是直角三角形．
17．（15分）已知圆与圆交于A，B两点，圆C经过A，B两点，且圆心在直线4x﹣3y﹣3＝0上．
（1）求|AB|；
（2）求圆C的方程．
【答案】（1）；
（2）（x﹣3）2+（y﹣3）2＝29．
【分析】（1）首先作差得两圆相交弦所在直线方程，然后根据弦长公式计算即可；
（2）求出直线C1C2的方程，再联立直线AB的方程得到圆C的圆心坐标，再求出半径即可．
【解答】解：（1）因为圆与交于A，B两点，
所以两圆方程作差得直线AB的方程为3x﹣y+9＝0，
又圆，
所以点C2到直线AB的距离，
所以；
（2），圆，
则C1（﹣3，5），C2（0，4），
则，
则直线C1C2的方程为，
即x+3y﹣12＝0，
由，
解得x＝3，y＝3，
所以C（3，3），
所以点C到直线AB的距离，
设圆C的半径为r，
所以，
所以圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2＝29．
18．（17分）已知双曲线，M（m，2），斜率为k的直线l过点M．
（1）若m＝0，且直线l与双曲线C只有一个公共点，求k的值；
（2）双曲线C上有一点P，∠F1PF2的夹角为120°，求三角形PF1F2的面积．
【答案】（1）或；
（2）．
【分析】（1）根据直线过点M，写出点斜式，当直线与渐近线平行时，与双曲线有且只有一个交点，当直线与渐近线不平行时，联立直线与双曲线，根据判别式可得斜率k的值；
（2）根据双曲线的定义及三角形的余弦定理与面积公式可得解．
【解答】解：（1）当m＝0时，M（0，2），
则直线l的方程为y＝kx+2，
当时，联立方程组，
得（1﹣4k2）x2﹣16kx﹣20＝0，
由直线和双曲线相切的条件，可得Δ＝（﹣16k）2﹣4•（1﹣4k2）•（﹣20）＝0，
解得；
双曲线的渐近线为，
所以当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点．
综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时或；
（2）由双曲线，
则，，，
又点P在双曲线上，即|PF1|﹣|PF2|＝4，即，
在△PF1F2中，由余弦定理，
即，
解得，
所以△PF1F2的面积．
19．（17分）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如x＝ty+1表示过点（1，0）的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．
（1）若圆是直线族mx+ny＝1（m，n∈R）的包络曲线，求m，n满足的关系式；
（2）若点P（x0，y0）不在直线族Ω：（2a﹣4）x+4y+（a﹣2）2＝0（a∈R）的任意一条直线上，求y0的取值范围和直线族Ω的包络曲线E；
（3）在（2）的条件下，过曲线E上A，B两点作曲线E的切线l1，l2，其交点为P．已知点C（0，1），若A，B，C三点不共线，探究∠PCA＝∠PCB是否成立？请说明理由．
【答案】（1）m2+n2＝1；
（2），直线族Ω的包络曲线E为；
（3）成立，理由见解析．
【分析】（1）利用圆心C1（0，0）到直线mx+ny＝1的距离等于1即可求解；
（2）由题可得关于a的一元二次方程：a2+（2x0﹣4）a+（4+4y0﹣4x0）＝0无解，利用判别式即可求解y0的取值范围，然后猜测直线族Ω的包络曲线E为并证明即可；
（3）利用导数的几何意义和抛物线的下载即可判断．
【解答】解：（1）由定义可知，mx+ny＝1与x2+y2＝1相切，
则圆的圆心C1（0，0）到直线mx+ny＝1的距离等于1，
则，即m2+n2＝1；
（2）点P（x0，y0）不在直线族Ω：（2a﹣4）x+4y+（a﹣2）2＝0（a∈R）的任意一条直线上，
所以无论a取何值时，无解，
将整理成关于a的一元二次方程：a2+（2x0﹣4）a+（4+4y0﹣4x0）＝0，
若该方程无解，则，即，
猜测直线族Ω的包络曲线E为，理由如下：
在上任取一点在该点处的切线斜率为，
于是可以得到在点处的切线方程为，即，
令直线族Ω：（2a﹣4）x+4y+（a﹣2）2＝0中2a﹣4＝﹣2x1，则直线为，
所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线，
而对任意a∈R，（2a﹣4）x+4y+（a﹣2）2＝0都是抛物线在点处的切线，
所以直线族Ω的包络曲线E为；
（3）如图，过A，B分别作准线的垂线AA′，BB′，连接A′P，B′P，
因为，又A′（xA，﹣1），C（0，1），
所以，显然，
所以AP⊥A′C，又由抛物线定义得AA′＝AC，
故PA为线段A′C的中垂线，得到PA′＝PC，
即，同理可知，
所以PA′＝PC＝PB′，即，
则，
所以∠PCA＝∠PCB成立.