河南省商丘市十校2024-2025学年高二上学期11月期中数学试卷(含答案)

这是一份河南省商丘市十校2024-2025学年高二上学期11月期中数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知直线l经过点，，则直线l的方程为( )
A.B.
C.D.
2．若椭圆的长半轴长等于其焦距，则( )
A.2B.C.D.4
3．已知直线与直线垂直，则实数( )
A.3B.-3C.2D.1
4．抛物线的准线方程为( )
A.B.
C.D.
5．已知圆的圆心在第二象限，则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
6．在四面体中，E为棱的中点，点F为线段上一点，且，设，，，则( )
A.B.
C.D.
7．已知点P为圆上一动点，若直线上存在两点A，B，满足，且，则r的最小值为( )
A.4B.3C.2D.1
8．已知正方体的棱长为1，M为棱的中点，G为侧面的中心，点P，Q分别为直线，上的动点，且，当取得最小值时，点Q到平面的距离为( )
A.B.C.1D.
二、多项选择题
9．已知向量，满足，，，则下列结论正确的是( )
A.B.C.D.
10．已知直线的方程为，圆C的方程为，则下列结论正确的是( )
A.直线l恒过定点
B.圆C的半径为12
C.直线l与圆恒有两个交点
D.圆心C到直线l距离的最大值为
11．已知点F为抛物线的焦点，点P为抛物线C上位于第一象限内的点，直线l为抛物线C的准线，点Q在直线上，若，，，且直线与抛物线C交于另一点M，则下列结论正确的是( )
A.直线的倾斜角为
B.抛物线C的方程为
C.
D.点Q在以线段为直径的圆上
三、填空题
12．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，x，，则________.
13．已知双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线关于直线对称，且这两条渐近线的夹角为，则双曲线与的离心率之积为________.
14．过圆上的一个动点A作圆的两条切线，切点分别为P，Q，则的取值范围为________.
四、解答题
15．已知圆经过点，，且圆C与直线，均相切.
(1)若经过圆心C的直线l与，平行，求直线l的方程；
(2)求圆C的标准方程.
16．如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，平面，，，，.
(1)求直线与直线所成角的余弦值；
(2)证明：M，C，G，H四点共面.
17．已知点在双曲线上，且C的实轴长为2，，分别为C的左、右焦点.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过点M的直线l与C交于另一点N，且点N位于x轴下方，若，求点N的坐标.
18．如图，在平行六面体中，底面是矩形，，，点E，F分别为，，的中点，且.
(1)证明：平面平面；
(2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.
19．已知点，，定义A，B的“倒影距离”为，我们把到两定点，的“倒影距离”之和为6的点M的轨迹C叫作“倒影椭圆”.
(1)求“倒影椭圆”C的方程；
(2)求“倒影椭圆”C的面积；
(3)设O为坐标原点，若“倒影椭圆”C的外接椭圆为E，D为外接椭圆E的下顶点，过点的直线与椭圆E交于P，Q两点（均异于点D），且的外接圆的圆心为H（异于点O），证明：直线与的斜率之积为定值.
参考答案
1．答案：D
解析：因为直线l经过点，，
所以，
所以直线l的方程为，即.
故选：D
2．答案：A
解析：因为椭圆的长半轴长等于其焦距，
所以，解得.
故选：A
3．答案：B
解析：因为直线与直线垂直，
所以，解得
故选：B
4．答案：D
解析：抛物线即，
则抛物线的准线为.
故选：D
5．答案：C
解析：由方程
表示圆得，，
解得.
圆心坐标为，由圆心在第二象限得，
所以实数a的取值范围为.
故选：C.
6．答案：B
解析：因为E为棱的中点，
所以，
因为，
所以，
又，
所以
.
故选：B
7．答案：C
解析：设的中点M，
由，且可得，
点P在以为直径的圆M上，
且圆C与圆M有公共点，
圆心到直线的距离为，
当圆C与圆M外切，且时，r取得最小值
故选：C
8．答案：A
解析：如图，建立空间直角坐标系，
则，，设，，
所以，，
因为，
所以，
即，所以，
又，
所以，
当且仅当时取等号，此时，
所以，，，
设平面的法向量为，
所以，
取，
所以当取得最小值时，
点Q到平面的距离.
故选：A
9．答案：BC
解析：对于A，由，，
得，
所以，所以，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，因为，所以，故C正确；
对于D，，
则，故D错误.
故选：BC
10．答案：ACD
解析：因为直线l的方程为，
即，
令，解得，
所以直线l恒过定点，
不妨设定点为，故A正确；
圆C的方程为，
则圆心，半径，故B错误；
因为，
所以点在圆内，所以直线l与圆C恒有两个交点，故C正确；
当且仅当时，圆心C到直线l距离的最大值为，故D正确.
故选：ACD
11．答案：BCD
解析：如图，过点P作，垂足为，
由抛物线的定义知，
与全等，则，
，，，
，
，
则，
直线的倾斜角为，故A错误；
设直线l与x轴交于点K，则，
由上可知，，则为等腰直角三角形，
，，得，
所以抛物线方程为，故B正确；
由上可知，直线的方程为，
设，，
，，
联立，
整理得，
则，，
则，
，故C正确；
设线段的中点为，
则，，
，
由上可知，则，
又，
点Q在以线段为直径的圆上，故D正确.
故选：BCD
12．答案：10
解析：因为平面的法向量为，平面的法向量为，且，
所以，则，
解得，
所以，
故答案为：10
13．答案：
解析：不妨设双曲线的一条渐近线方程为，
且在第一象限内直线下方;双曲线的一条渐近线方程为，
且在第一象限内直线上方，
因为这两条渐近线关于直线对称,且夹角为，
所以渐近线的倾斜角为，渐近线的倾斜角为,
则
离心率与渐近线斜率关系式为.
故与的离心率之积为
故答案为：
14．答案：
解析：
圆的圆心为，半径为1，
将圆化为，
，半径为2，，
点A在圆M上，，
设与交于点N，，，则，
在中，，
则.
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意直线l到直线，的距离都等于圆的半径，
设直线l的方程为，
则，解得，
所以直线l的方程为；
(2)由题意可得，
解得，
所以圆C的标准方程为.
16．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)连接，因为四边形为菱形，
又，所以为等边三角形，
取的中点E，连接，则，所以.
因为平面，平面平面，
所以
以A为原点，以所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系
则
由，
可知所以
于是
故直线与直线所成角的余弦值为
(2)证明：因为，
所以分别为中点，
则连接，
则
设，由(1)知
则
则
解得
所以
故M，C，G，H四点共面.
17．答案：(1)
(2)或
解析：(1)由题设条件，可得，
解得，
故双曲线C的标准方程为.
(2)因为，
所以点到直线的距离相等.
又点N位于x轴下方，
所以
由(1)可知，
所以，
则直线的方程为
联立
整理得解得或.
当时，点；
当时，点，
综上，点N的坐标为或.
18．答案：(1)证明见解析
(2)2
解析：(1)设，则，
则
，
所以，
因为E为的中点，
所以，，
则，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面；
(2)由，可得，
则，
如图，以点E为坐标原点建立空间直角坐标系，
设，
则，
则，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
所以，
设直线与平面所成角为，
则，
解得，
所以的长度为2.
19．答案：(1)
(2)10
(3)证明见解析
解析：(1)设，
由“倒影距离”的定义可知，，
，
由题意，
即，
所以“倒影椭圆”C的方程为；
(2)由，
得，
当时，，
当时，由对称性知，，
其图像如图所示，
故“倒影椭圆”C的面积；
(3)由上图知，“倒影椭圆”C的外接椭圆E的长半轴长为3，且经过点，
可得椭圆E的方程为，
由(2)知，，
由题意可知，直线的斜率存在，
设直线的方程为，
联立，
消y得，
则恒成立，
则，
线段得中点为，即，
又，
则线段的中垂线的方程为，
即，
同理线段的中垂线的方程为，
设的外接圆的圆心H的坐标为，
则是方程的两根，
所以，
又，
所以，整理得，
则，
即，
所以直线与的斜率之积为定值.