四川省遂宁绿然国际学校、广安友实学校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷(含答案)

这是一份四川省遂宁绿然国际学校、广安友实学校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是( )
A.B.C.D.
2．从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是( )
A.B.C.D.
3．在直三棱柱中，若，，，则( )
A.B.C.D.
4．已知直线与垂直，则( )
A.0B.1C.2D.
5．如图所示，直线与的图像可能是( )
A.
B.
C.
D.
6．设，若点在线段上，则的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
7．在棱长为1的正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，动点H在平面内，且.则下列说法正确的是( )
A.存在点H，使得直线与直线相交
B.存在点H，使得直线平面
C.直线与平面所成角的大小为
D.平面被正方体所截得的截面面积为
8．已知，满足，则的最小值为( )
A.B.C.1D.
二、多项选择题
9．已知圆心为的圆与点，则( )
A.圆C的半径为2B.点A在圆C外
C.点A在圆内D.点A与圆C上任一点距离的最小值为
10．下列说法正确的是( )
A.直线的倾斜角为
B.若直线经过第三象限，则，
C.点在直线上
D.存在a使得直线与直线垂直
11．已知O为坐标原点，，P为x轴上一动点，Q为直线上一动点，则( )
A.周长的最小值为B.的最小值为
C.的最小值为D.的最小值为4
三、填空题
12．已知点M在平面内，并且对空间任一点O，，则__________.
13．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是__________.
14．如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱的中点.若点M，N分别为直线，上的动点，则的最小值为__________.
四、解答题
15．一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个红球，编号分别为A，B，C，有2个黑球，编号分别为D，E，从中一次摸取1个球，取后不放回，连续取两次.
(1)试写出该试验的样本空间；
(2)设事件M：“第一次摸到红球”，事件N：“第二次摸到黑球”，求事件M和事件N发生的概率.
16．棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点，G在棱上，且，H是的中点.
(1)证明：；
(2)求；
(3)求的长.
17．已知直线的方程为.
(1)求直线过的定点P的坐标；
(2)直线与x轴正半轴和y轴正半轴分别交于点A，B，当面积最小时，求直线的方程.
18．在等腰直角三角形中，，点P是边上异于A，B的一点，光线从点P出发，经，反射后又回到原点P，光线经过的重心.（若G、A、B、C分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、、、，则有.）
(1)建立适当的坐标系，请求的重心的坐标；
(2)求点P的坐标；
(3)求的周长.
19．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，E是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)已知点F在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
参考答案
1．答案：C
解析：在空间直角坐标系中,
点关于x轴的对称点的坐标为:
点关于x轴的对称点的坐标为:
故选：C
2．答案：D
解析：有三件正品（用1,2,3表示）和一件次品（用0表示）的产品中任取两件的样本空间
恰有一件次品,
由古典概型得.
故选:D
3．答案：B
解析：因为直三棱柱中，若，，，
所以，
故选：B.
4．答案：C
解析：因为与垂直,由直线垂直的充要条件可得
所以,解得.
思路点拨:已知,
其中不全为,
其中不全为0,
则与垂直的充要条件是
故选：C
5．答案：C
解析：由题意，直线化为,
直线化为,
对于A,由直线知,,即;
由直线知,,两结论矛盾,所以A错误;
对于B,由直线知,,即;由直线知，
两结论矛盾，所以B错误；
对于C,由直线知,,即;由直线知,,
两结论一致,所以C正确;
对于D,由直线知,,即;由直线知,,
两结论矛盾,所以D错误
故选:C
6．答案：C
解析：如图：
问题转化为过点的直线与线段有公共点时，直线斜率的取值范围.
因为，，
且当倾斜角是锐角时，，随着倾斜角的增大，斜率k增大；
当倾斜角是钝角时，，随着倾斜角的增大，斜率k增大.
所以斜率k的取值范围是：或.
故选：C
7．答案：C
解析：
8．答案：B
解析：如图，过点O作点O关于线段的对称点C，则.
设，则有，
解得，所以.
设，则，
所以，
又，所以点P到y轴的距离为x，
所以可视为线段上的点到y轴的距离与到的距离之和.
过P作轴，
过点C作轴，
显然有，
则为所求最小值，此时与线段的交点，
即为最小值时p的位置.
易得，所以的最小值为
故选：B.
9．答案：BD
解析：
10．答案：ACD
解析：对于A：直线的斜率，所以该直线的倾斜角为，故A正确；
对于B：当，时，直线经过第三象限，故B错误；
对于C：将代入方程，则，即点在直线上，故C正确；
对于D：若两直线垂直，则，解得，故D正确.
故选：ACD.
11．答案：BCD
解析：设A关于直线的对称点为，A关于x轴的对称点为，
对于A：根据对称性可得，进而可得结果；
对于B：根据点到直线的距离分析判断；
对于C：因为，结合点到直线的距离分析判断；
对于D：根据题意分析可得，结合点到直线的距离分析判断.
解析：设关于直线的对称点为，
关于x轴的对称点为，可知，，
对于选项A：可得周长，
当且仅当，P，Q，四点共线时，等号成立，
所以周长的最小值为，故A错误；
对于选项B：设到x轴，直线的距离分别为，，
则，，
可得，
所以的最小值为，故B正确；
对于选项C：因为，
设到直线的距离为，
可得，
所以的最小值为，故C正确；
对于选项D：作，垂足为C，
因为直线的斜率，则，
可得，
则，
可得，
所以的最小值为4，故D正确.
12．答案：
解析：由于平面ABC,
所以,
解得
故答案为:
13．答案：
解析：因为直线与直线平行,
所以,
解得,直线
可变形为,
所以两平行线之间的距离.
14．答案：
解析：建系如图，
则有：，，，，，
可得：，
设，且，
则有：，
可得：，
则有：，
故，
则当且仅当，时，，
故答案为：
15．答案：(1)答案见解析
(2)；
解析：(1)试验从中一次摸取1个球，取后不放回，连续取两次的样本空间为：
(2)由(1)可知样本空间中基本事件总数为20
符合事件M：“第一次摸到红球”的样本空间为：共12个基本事件
符合事件N：“第二次摸到黑球”的样本空间为：
共8个基本事件
故，，
则事件M和事件N发生的概率分别为；.
16．答案：(1)证明见解析
(2)
(3)
解析：(1)如图，以D为原点，，，分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
因为，，
所以，
所以，
故；
(2)因为，
所以，
因为，
且，
所以；
(3)因为H是的中点，
所以，
又因为，
所以，，
即.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意，直线的方程可化为，
联立方程组解得，
所以直线过的定点.
(2)设直线，
则，，
由(1)知，直线过的定点，可得，
因为，，
所以，
解得，
当且仅当且
即时，等号成立，
所以面积为，
此时对应的直线方程为，
即.
18．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)以A为坐标原点，以，为x，y轴建立平面直角坐标系，
则，，，
故的重心G的坐标为，
即；
(2)设，P关于直线，的对称点分别设为，，
则，设，
直线的方程为，
则，
解得，即，
由光的反射原理可知，Q，R，共线，
且光线经过的重心，
故，
解得或（舍去），
故；
(3)由(2)可得，，
由题意可知，，
故的周长.
19．答案：(1)证明见解析
(2)
(3)或
解析：(1)连结，交于点O，连结，
点E是的中点，点O是的中点，
所以，平面，平面，
所以平面；
(2)如图，以向量，，为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
，，，
则，，
设平面的法向量，
则，
所以平面的法向量，
平面的一个法向量为，
设平面和平面的夹角为，
则，
所以平面和平面的夹角的余弦值为；
(3)，，，，，，，，
由(2)知平面的法向量，
设直线与平面的夹角为，
则，
，
解得或，
又，
则或.