初中数学人教版（2024）八年级上册13.3.1 等腰三角形教学设计及反思

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册13.3.1 等腰三角形教学设计及反思，共7页。
第1课时 等腰三角形的性质
课时目标
1.探索并证明等腰三角形的两个性质,培养学生的探究精神和推理能力.
2.会应用等腰三角形概念和性质解决问题,培养应用意识.
3.经历观察实验、猜想证明,发展合情推理能力和演绎推理能力.
4.结合等腰三角形的性质的探索和证明过程,体会轴对称在研究几何问题中的作用,培养学生对知识的迁移能力.
学习重点
探索并证明等腰三角形的性质.
学习难点
性质1中辅助线的添加和对性质2的理解.
课时活动设计
情境引入
学校开展实践活动,八年级的两位同学将一块等腰三角板放在国旗台上,在三角板顶点放一根绑着石块的绳子,他们发现绳子过三角板底边中点,就说国旗台是水平的.你知道为什么吗?
设计意图:从学生身边熟悉的国旗台是否水平的实践活动出发,利用等腰三角板工具,引出课题,进一步让学生感知数学来源于生活,也能解决很多生活问题,培养学生应用数学思维思考现实世界的能力,培养科学态度和理性精神.
探究新知
通过剪纸,得到等腰三角形,认识边(腰和底)、角(底角和顶角),归纳等腰三角形的概念.
问题1:利用长方形纸片和剪刀,你能按照上图的方式剪出一个三角形吗?你能说明剪出的图形有什么特征吗?
师生活动,学生动手操作,然后小组交流.
解:上述过程中,剪刀剪过的两条边是相等的,即AB=AC,所以剪出来的三角形是等腰三角形.
问题2:仔细观察自己剪出的等腰三角形纸片,你能发现哪些角重合?哪些边重合?等腰三角形是轴对称图形吗?是的话,对称轴是什么?小组合作交流.
分析:学生在教师设置的问题的启发下得出证明思路,只需证明两个三角形全等即可,即可以作出底边上的中线即可.
解:已知△ABC为等腰三角形,AB=AC,作底边BC的中线AD,
在△ABD和△ACD中,∵AB=AC,BD=CD,AD=AD,
∴△ABD≌△ACD(SSS)
∴∠BAD=∠CAD,∠ABD=∠ACD,∠ADB=∠ADC,AB=AC,BD=CD.
所以∠BAD与∠CAD重合,∠ABD与∠ACD重合,∠ADB与∠ADC重合,AB与AC重合,BD和CD重合,等腰三角形是轴对称图形,对称轴是角平分线,是底边上的高,是底边上的中线.
问题3:学生剪下的等腰三角形纸片大小不同,形状各异,是否都具有上述所概括的特征?小组交流讨论.
解:都具有上述所概括的特征.
问题4:在练习本上任意画一个等腰三角形,把它剪下来,折一折,上面得出的结论仍然成立吗?由此你能概括出等腰三角形的性质吗?
师生活动,学生动手操作,相互比较,互动交流,师生共同归纳.
分析:教师通过上述问题,和学生归纳出性质的简写形式,并着重引导学生分析“三线合一”的含义.
归纳:等腰三角形的性质.
性质1 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”);
性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简写成“三线合一”).
性质2可分解为:
(1)等腰三角形的顶角平分线也是底边上的中线和高;
(2)等腰三角形底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线;
(3)等腰三角形底边上的高也是顶角平分线和底边上的中线.
设计意图:数学学习是螺旋式上升的,学生小学时已经对等腰三角形有了初步的认识,现在让学生通过动手操作,在反复比较的过程中归纳总结等腰三角形的性质,体会认识事物的一般方法——由特殊到一般,进一步培养学生的抽象概括能力,让学生真正理解“三线合一”的含义,不仅培养学生的动手能力,还能培养学生的抽象概括能力和几何直观能力.
例题精讲
例 如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.
分析:本题共三个等腰三角形(△ABC,△DAB和△BCD),设∠A=x,可以利用等腰三角形的性质1和三角形的外角性质,将∠BDC用2x表示;利用等腰三角形的性质1,可知∠C=∠BDC,即∠C也可用2x表示;再利用等腰三角形的性质1,可知∠ABC=∠C,即∠ABC也可用2x表示:由三角形内角和定理即可求出△ABC各角的度数.
解:∵AB=AC,BD=BC=AD,
∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD(等边对等角).
设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.
于是在△ABC中,有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°.
解得x=36°.
所以在△ABC中,∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.
设计意图:让学生进一步理解等腰三角形的性质的意义,熟练运用等腰三角形的性质进行简单的求解,启发学生建立知识之间的普遍联系,培养学生的逻辑推理能力和方程思想.
巩固训练
1.(1)在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠B=35°,则∠A= 110° .
(2)等腰三角形的一个内角是100°,则这个三角形的底角的度数是 40° .
(3)等腰三角形的一个内角是50°,则这个三角形的底角的度数是 65°或50° .
2.如下图所示,△ABC是等腰直角三角形(AB=AC,∠BAC=90°),AD是底边BC上的高.求∠B,∠C,∠BAD,∠DAC的度数,并写出图中所有相等的线段.
解:∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠B=∠C=45°.
∵△ABC是等腰直角三角形,AD是△ABC底边上的高,
∴AD是∠BAC的角平分线,是BC边上的中线.
∴∠BAD=∠DAC=45°,BD=CD.
∴∠B=∠BAD=45°,∠C=∠DAC=45°.∴AD=BD=CD.
∴相等的线段:AD=BD=CD,AB=AC.
3.已知点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC.
(1)如图1,若AD=AE,求证:BD=CE;
(2)如图2,若BD=CE,F为DE的中点,求证:AF⊥BC.
证明:(1)∵AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形.
∴∠B=∠C.
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED.
∴∠ADB=∠AEC.
在△ABD与△ACE中,
∠ADB=∠AEC,∠B=∠C,AB=AC,
∴△ABD≌△ACE(AAS).
∴BD=CE.
(2)∵F为DE的中点,∴DF=EF.
∵BD=CE,
∴BD+DF=CE+EF.
∴BF=CF.
∵AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形.
∴AF为△ABC的中线,也是高线.
∴AF⊥BC.
设计意图:在解题过程中学生可能会出现两种方法,需要进行对比,让学生体会三线合一的重要性.在等腰三角形有关计算或证明中,有时需要添加辅助线,其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线.通过练习,有利于培养学生应用知识的能力,让学生体会知识的转化.
课堂小结
1.回顾引入中的问题,你能应用本节课的知识解决一下吗?
2.教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容,并请学生回答以下问题:
(1)本节课学习了哪些主要内容?
(2)我们是怎么探究等腰三角形的性质的?
(3)“三线合一”的含义是什么?请举例说明.
(4)本节课你学到了哪些证明线段相等或角相等的方法?
设计意图:通过小结,使学生梳理本节课所学内容和研究方法,把握本节课的重点——等腰三角形的性质,体会轴对称在研究几何问题中的重要作用.引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获,把握本节课的核心内容,掌握数形结合研究问题和建立不等式方程(组)解决问题的方法,提升知识转化和迁移能力.
相关练习.
1.教材第81,82页习题13.3第1,2,4题.
2.相关练习.
教学反思