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广西玉林市玉州区2024-2025学年八年级上学期期中教育监测与评价数学试题（解析版）-A4
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这是一份广西玉林市玉州区2024-2025学年八年级上学期期中教育监测与评价数学试题（解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了非选择题，考生用直径0等内容，欢迎下载使用。
（全卷共三大题，满分为120分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.本考卷分试题卷和答题卷两部分．请将答案填写在答题卷上，在试题卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卷一并交回．
2.选择题每小题选出答案后，考生用2B铅笔把答题卷上对应题目的选项标号涂黑．
3.非选择题，考生用直径0.5毫米黑色签字笔在答题卷上各题的答题区域内作答．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号涂在答题卷内相应的位置上）
1. 下列各组线段中，能构成三角形的是（ ）
A. 3，4，5B. 3，3，6C. 3，5，9D. 4，5，9
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了三角形三边关系定理，解题的关键是掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．由于三角形三边满足两短边的和大于最长的边，只要不满足这个关系就不能构成三角形根据这个关系即可确定选择项．
【详解】A、∵，
∴能构成三角，符合题意；
B、∵，
∴不能构成三角形，不符合题意；
C、∵，
∴不能构成三角形，不符合题意；
D、∵，
∴不能构成三角形，不符合题意；
故选：A．
2. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分完全重合，称这个图形为轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
根据轴对称图形的概念，把图形沿某一条直线折叠，看直线两旁的部分是否能够互相重合，逐一进行判断即可．
【详解】A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
3. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（ ）
A. 30°B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是正多边形的外角问题，由正八边形的外角和为，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可．
【详解】∵正八边形的外角和为，
∴，
故选：B
4. 如图，工人师傅在做完门框后．为防止变形常常像图中所示的那样上两条斜拉的木条，这样做根据的数学道理是（ ） ．
A. 两点之间，线段最短B. 三角形的稳定性
C. 垂线段最短D. 直角三角形两锐角互余
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【详解】解：门框为防止变形钉上两条斜拉的木板条的根据是三角形具有稳定性．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用，熟悉性质是解题的关键．
5. 如图，在中，，，分别以，两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，交于点，若，则的长度为（）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以，再计算出，则利用含30度角的三角形三边的关系得到，所以，然后计算即可．
【详解】解：由作法得垂直平分，
，
，
，
，
在中，，
，
．
故选：D．
6. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB和，当固定点B、C到脚杆E的距离相等，点B、E、C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A. 等边对等角B. 等腰三角形的三线合一
C. 垂线段最短D. DE是的垂直平分线
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”是解题的关键．根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】∵
∴，
故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：B．
7. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，作一个角等于已知角的尺规作图，根据作图方法可得，则可依据证明，由全等三角形对应角相等可得，据此可得答案．
【详解】解：解：由作图知，
∴，
∴，
∴说明的依据是，
故选：A．
8. 如图，射线是的角平分线，D是射线上一点，于点P，，若点Q是射线上一点，，则的面积是（ ）
A. 6B. 12C. 24D. 48
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．
过点D作于点H，如图，根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积即可求出结果．
【详解】解：过点D作于点H，如图，
∵是的角平分线，，
∴，
∴的面积．
故选：C．
9. 如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．
【详解】解：如图：分情况讨论：
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．
故共有3个点，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
10. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据“角角边”证明，得到，，从而可得，即可求出答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
点B与地面距离为，
，
，
即爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是．
故选：B．
11. 如下图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理，直角三角形的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置．在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形内角和，求出结果即可．
【详解】解：在上截取，连接，如图所示：
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图所示：
∵，，
∴，
∴，故A正确．
故选：A．
12. 如图，在和中，，，，．连接，交于点M，连接．下列结论：①，②，③，④平分．其中正确的结论有（ ）
A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
根据△AOC≌△BOD，推出∠OAC=∠OBD，根据三角形内角和判断①；证明，判断③正确；根据全等的性质得到，推出即可判断④；根据不是对应角平分线判断③．
【详解】解： ∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，，故③正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确；
过点O作于E，于F，
∵，
∴，，
∴，
∴平分，故④正确；
虽然，但不是这两个全等三角形的对应角平分线，不能得出．故②错误；
综上所述正确的有①③④．
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题2分，满分12分．请将答案填入答题卡的相应位置）
13. 在中，已知，再添加一个条件________，就能使是等边三角形．（只要写出一个符合题意的条件即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】此题考查等边三角形的判定，解题的关键是熟知等边三角形的判定方法． 根据等边三角形的判定方法即可求解．
【详解】解：添加（答案不唯一）．
∵，
∴是等边三角形．
故答案为：（答案不唯一）．
14. 若点与点关于y轴对称，则的值是________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了关于y轴对称的点坐标的特征，有理数的乘方．熟练掌握关于y轴对称的点坐标的特征，有理数的乘方是解题的关键．
由题意得，，可求，然后代值求解即可．
【详解】解：∵点与点关于y轴对称，
∴，
解得，，
∴，
故答案为：1．
15. 如图①是某市地铁入口双闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，两机箱之间的最大宽度为________．
【答案】60
【解析】
【分析】本题考查含30度的直角直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用含30度的直角直角三角形的性质，本题属于基础题型．过点A作于点E，过点B作于点F，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出与的长度，然后求出的长度即可得出答案．
【详解】解：过点A作于点E，过点B作于点F，
∵，，
∴，，
∴通过闸机的物体最大宽度为．
故答案为：60．
16. 若从一个多边形一个顶点出发，最多可以引12条对角线，则它的边数为__________．
【答案】15
【解析】
【分析】根据多边形的对角线的定义可知，从n边形的一个顶点出发，可以引（n-3）条对角线，由此可得到答案．
【详解】设这个多边形是n边形，
依题意，得n - 3= 12，
n= 15，
故这个多边形是15边形，
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查多边形对角线的条数问题，属于基础题，记住从n边形的一个顶点出发可以引的对角线条数公式是解题关键．
17. 如下图所示，已知的周长为，D，E分别是，上的点，将沿直线折叠，点A落在点处，且点在的外部，则阴影部分图形的总周长为________．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查折叠的有关知识，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键.根据折叠的性质及已知得； 即可将阴影部分的周长转化为三角形的周长.
【详解】解：将沿直线折叠,点A落在点处，
，
则阴影部分图形的周长等于.
故答案为：8.
18. 如图，在平面直角坐标系中，点，，作，使与全等，则点C（不与点A重合）的坐标为________．
【答案】或或
【解析】
【分析】根据轴对称，平移三角形全等的传递性，解答即可．
【详解】解：作点关于y轴的对称点，得到，
此时，与全等．
把点B向右平移4个单位长度得到点，连接，得与全等．
此时，
作关于y轴的对称图形，则与全等，从而与全等．
此时，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了轴对称，平移的性质，三角形全等的判定与性质，图形与坐标，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
三、解答题（共8小题，满分72分．请将解答过程写在答题卡的相应位置．）
19. 一个多边形的内角和比其外角和的3倍多，求这个多边形的边数．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是，与边数无关．多边形的外角和是，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍多，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
【详解】解：解：设这个多边形的边数是n，依题意得，
，
．
∴这个多边形的边数是9．
20. 已知：如图，点A、D、B、E在同一直线上，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，先证明，再利用证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
21. 中，，的高与角平分线交于点．
（1）求证；
（2）求证：为等腰三角形．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，角平分线，理解相关知识是解答关键．
（1）由，的高，利用同角的余角相等来求解；
（2）由（1）得：，利用角平分线的性质，等角的余角相等，等腰三角形的判定来求解．
【小问1详解】
证明：∵是的高，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
证明：由（1）得：，
∵是的角平分线，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴等腰三角形．
22. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知．
（1）在平面直角坐标系中画出，并求出的面积；
（2）在（1）的条件下，把先关于轴对称得到，再向下平移个单位得到，画出，并写出的各顶点坐标．
【答案】（1）图见解析，
（2）图见解析，
【解析】
【分析】（1）根据，在平面直角坐标系网格图中描点，用线段顺次连接各点，得到，的面积等于边长为和的矩形面积，减去直角边为和的直角三角形面积，再减去直角边为和的直角三角形面积，还减去直角边为和的直角三角形面积；
（2）把三点的横坐标变成其相反数，纵坐标不变，推出把关于轴对称得到的顶点，再把三点的纵坐标都减去，横坐标不变，推出把向下平移个单位得到的顶点．
【小问1详解】
如图所示
【小问2详解】
，
三点关于轴对称的点为，
三点向下平移个单位的点为，
故的顶点坐标为：
【点睛】本题考查了网络作图，轴对称，平移，三角形面积等，掌握在网格图中作图，关于坐标轴对称的点坐标特征，点沿坐标轴平移的坐标特征，网络三角形面积计算是关键．
23. 数学课本第56页第12题如下：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线．求证：．
（1）在图1中完成上面的证明过程；
（2）在图2中，如果，，，求BD的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质及三角形的面积公式等知识；
（1）过D作于E，于F，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）过点A作于E，由三角形面积公式可得，再与（1）所得结论建立等式，即可求出的长．
【小问1详解】
证明：过D作于E，于F，如图所示：
∵平分，
∴，
∵，，
∴．
即．
【小问2详解】
解：如图，过点A作于E，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
24. 如图和中，，点在同一直线上，有如下三个关系式：．
（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有正确的命题（用序号写出命题书写形式，即写成如果……，那么……形式．）；
（2）选取（1）中一个正确的命题进行证明．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了命题，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据命题书写形式，分别写出所有的正确命题，即可作答．
（2）先由平行线的性质得，再证明，然后根据全等三角形的性质，即可证明．
【小问1详解】
解：依题意，正确的命题：如果①，②，那么③；如果①，③，那么②，
【小问2详解】
解：选择，如果①，③，那么②，（答案不唯一）
如图和中，，点在同一直线上，
求证：．
证明如下：
∴，
∵
∴，
∴
∴
即．
25. 某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请你写出证明“”的推理过程．
（1）求证：；
（2）由（1）的结论，根据与之间的关系，求的取值范围；
（3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】如图2中，，，是的中线，，，且，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）12
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用证明即可；
（2）由全等三角形的性质可得，再由三角形三边关系求解即可；
（3）延长，交于点，证明，得出，，求出，证明是垂直平分线，即可得解．
【小问1详解】
证明：延长到点E，使，
在和中，
，
∴，
【小问2详解】
解：∵，
∴，
在中，，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图3，延长，交于点，
∵，
∴，
∴，
∵是中线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴．
26. 建立模型：（）如图，过线段CD上一点作，过分别作于，于，且，求证：；
类比迁移：（）如图，直线AB交两坐标轴于点、，满足．
①求的值；
②点在第二象限内，连接，若在直角中，是斜边，且，求点的坐标；
③如图，在②的条件下，在边上取一点，作，且，连接，求的大小．
【答案】（）证明见解析；（）①，；②；③
【解析】
【分析】（）证明，再根据证明即可；
（）①根据绝对值和平方根的非负性质即可求解；②证明，得出，，进而即可求解；③过点作于点，过点作于点，根据证明，得，，由等腰直角三角形的性质得，从而可得，故可得．
【详解】（）证明：∵，，，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
（）解：①∵，
∴，，
解得，；
②由①可得，，，
过作于，
由题可得，，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴；
③过点作于点，过作于，
则，
∴，，
∴，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（全卷共三大题，满分为120分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.本考卷分试题卷和答题卷两部分．请将答案填写在答题卷上，在试题卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卷一并交回．
2.选择题每小题选出答案后，考生用2B铅笔把答题卷上对应题目的选项标号涂黑．
3.非选择题，考生用直径0.5毫米黑色签字笔在答题卷上各题的答题区域内作答．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号涂在答题卷内相应的位置上）
1. 下列各组线段中，能构成三角形的是（ ）
A. 3，4，5B. 3，3，6C. 3，5，9D. 4，5，9
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了三角形三边关系定理，解题的关键是掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．由于三角形三边满足两短边的和大于最长的边，只要不满足这个关系就不能构成三角形根据这个关系即可确定选择项．
【详解】A、∵，
∴能构成三角，符合题意；
B、∵，
∴不能构成三角形，不符合题意；
C、∵，
∴不能构成三角形，不符合题意；
D、∵，
∴不能构成三角形，不符合题意；
故选：A．
2. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分完全重合，称这个图形为轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
根据轴对称图形的概念，把图形沿某一条直线折叠，看直线两旁的部分是否能够互相重合，逐一进行判断即可．
【详解】A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
3. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（ ）
A. 30°B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是正多边形的外角问题，由正八边形的外角和为，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可．
【详解】∵正八边形的外角和为，
∴，
故选：B
4. 如图，工人师傅在做完门框后．为防止变形常常像图中所示的那样上两条斜拉的木条，这样做根据的数学道理是（ ） ．
A. 两点之间，线段最短B. 三角形的稳定性
C. 垂线段最短D. 直角三角形两锐角互余
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【详解】解：门框为防止变形钉上两条斜拉的木板条的根据是三角形具有稳定性．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用，熟悉性质是解题的关键．
5. 如图，在中，，，分别以，两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，交于点，若，则的长度为（）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以，再计算出，则利用含30度角的三角形三边的关系得到，所以，然后计算即可．
【详解】解：由作法得垂直平分，
，
，
，
，
在中，，
，
．
故选：D．
6. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB和，当固定点B、C到脚杆E的距离相等，点B、E、C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A. 等边对等角B. 等腰三角形的三线合一
C. 垂线段最短D. DE是的垂直平分线
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”是解题的关键．根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】∵
∴，
故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：B．
7. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，作一个角等于已知角的尺规作图，根据作图方法可得，则可依据证明，由全等三角形对应角相等可得，据此可得答案．
【详解】解：解：由作图知，
∴，
∴，
∴说明的依据是，
故选：A．
8. 如图，射线是的角平分线，D是射线上一点，于点P，，若点Q是射线上一点，，则的面积是（ ）
A. 6B. 12C. 24D. 48
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．
过点D作于点H，如图，根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积即可求出结果．
【详解】解：过点D作于点H，如图，
∵是的角平分线，，
∴，
∴的面积．
故选：C．
9. 如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．
【详解】解：如图：分情况讨论：
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．
故共有3个点，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
10. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据“角角边”证明，得到，，从而可得，即可求出答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
点B与地面距离为，
，
，
即爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是．
故选：B．
11. 如下图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理，直角三角形的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置．在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形内角和，求出结果即可．
【详解】解：在上截取，连接，如图所示：
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图所示：
∵，，
∴，
∴，故A正确．
故选：A．
12. 如图，在和中，，，，．连接，交于点M，连接．下列结论：①，②，③，④平分．其中正确的结论有（ ）
A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
根据△AOC≌△BOD，推出∠OAC=∠OBD，根据三角形内角和判断①；证明，判断③正确；根据全等的性质得到，推出即可判断④；根据不是对应角平分线判断③．
【详解】解： ∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，，故③正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确；
过点O作于E，于F，
∵，
∴，，
∴，
∴平分，故④正确；
虽然，但不是这两个全等三角形的对应角平分线，不能得出．故②错误；
综上所述正确的有①③④．
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题2分，满分12分．请将答案填入答题卡的相应位置）
13. 在中，已知，再添加一个条件________，就能使是等边三角形．（只要写出一个符合题意的条件即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】此题考查等边三角形的判定，解题的关键是熟知等边三角形的判定方法． 根据等边三角形的判定方法即可求解．
【详解】解：添加（答案不唯一）．
∵，
∴是等边三角形．
故答案为：（答案不唯一）．
14. 若点与点关于y轴对称，则的值是________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了关于y轴对称的点坐标的特征，有理数的乘方．熟练掌握关于y轴对称的点坐标的特征，有理数的乘方是解题的关键．
由题意得，，可求，然后代值求解即可．
【详解】解：∵点与点关于y轴对称，
∴，
解得，，
∴，
故答案为：1．
15. 如图①是某市地铁入口双闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，两机箱之间的最大宽度为________．
【答案】60
【解析】
【分析】本题考查含30度的直角直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用含30度的直角直角三角形的性质，本题属于基础题型．过点A作于点E，过点B作于点F，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出与的长度，然后求出的长度即可得出答案．
【详解】解：过点A作于点E，过点B作于点F，
∵，，
∴，，
∴通过闸机的物体最大宽度为．
故答案为：60．
16. 若从一个多边形一个顶点出发，最多可以引12条对角线，则它的边数为__________．
【答案】15
【解析】
【分析】根据多边形的对角线的定义可知，从n边形的一个顶点出发，可以引（n-3）条对角线，由此可得到答案．
【详解】设这个多边形是n边形，
依题意，得n - 3= 12，
n= 15，
故这个多边形是15边形，
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查多边形对角线的条数问题，属于基础题，记住从n边形的一个顶点出发可以引的对角线条数公式是解题关键．
17. 如下图所示，已知的周长为，D，E分别是，上的点，将沿直线折叠，点A落在点处，且点在的外部，则阴影部分图形的总周长为________．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查折叠的有关知识，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键.根据折叠的性质及已知得； 即可将阴影部分的周长转化为三角形的周长.
【详解】解：将沿直线折叠,点A落在点处，
，
则阴影部分图形的周长等于.
故答案为：8.
18. 如图，在平面直角坐标系中，点，，作，使与全等，则点C（不与点A重合）的坐标为________．
【答案】或或
【解析】
【分析】根据轴对称，平移三角形全等的传递性，解答即可．
【详解】解：作点关于y轴的对称点，得到，
此时，与全等．
把点B向右平移4个单位长度得到点，连接，得与全等．
此时，
作关于y轴的对称图形，则与全等，从而与全等．
此时，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了轴对称，平移的性质，三角形全等的判定与性质，图形与坐标，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
三、解答题（共8小题，满分72分．请将解答过程写在答题卡的相应位置．）
19. 一个多边形的内角和比其外角和的3倍多，求这个多边形的边数．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是，与边数无关．多边形的外角和是，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍多，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
【详解】解：解：设这个多边形的边数是n，依题意得，
，
．
∴这个多边形的边数是9．
20. 已知：如图，点A、D、B、E在同一直线上，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，先证明，再利用证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
21. 中，，的高与角平分线交于点．
（1）求证；
（2）求证：为等腰三角形．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，角平分线，理解相关知识是解答关键．
（1）由，的高，利用同角的余角相等来求解；
（2）由（1）得：，利用角平分线的性质，等角的余角相等，等腰三角形的判定来求解．
【小问1详解】
证明：∵是的高，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
证明：由（1）得：，
∵是的角平分线，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴等腰三角形．
22. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知．
（1）在平面直角坐标系中画出，并求出的面积；
（2）在（1）的条件下，把先关于轴对称得到，再向下平移个单位得到，画出，并写出的各顶点坐标．
【答案】（1）图见解析，
（2）图见解析，
【解析】
【分析】（1）根据，在平面直角坐标系网格图中描点，用线段顺次连接各点，得到，的面积等于边长为和的矩形面积，减去直角边为和的直角三角形面积，再减去直角边为和的直角三角形面积，还减去直角边为和的直角三角形面积；
（2）把三点的横坐标变成其相反数，纵坐标不变，推出把关于轴对称得到的顶点，再把三点的纵坐标都减去，横坐标不变，推出把向下平移个单位得到的顶点．
【小问1详解】
如图所示
【小问2详解】
，
三点关于轴对称的点为，
三点向下平移个单位的点为，
故的顶点坐标为：
【点睛】本题考查了网络作图，轴对称，平移，三角形面积等，掌握在网格图中作图，关于坐标轴对称的点坐标特征，点沿坐标轴平移的坐标特征，网络三角形面积计算是关键．
23. 数学课本第56页第12题如下：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线．求证：．
（1）在图1中完成上面的证明过程；
（2）在图2中，如果，，，求BD的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质及三角形的面积公式等知识；
（1）过D作于E，于F，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）过点A作于E，由三角形面积公式可得，再与（1）所得结论建立等式，即可求出的长．
【小问1详解】
证明：过D作于E，于F，如图所示：
∵平分，
∴，
∵，，
∴．
即．
【小问2详解】
解：如图，过点A作于E，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
24. 如图和中，，点在同一直线上，有如下三个关系式：．
（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有正确的命题（用序号写出命题书写形式，即写成如果……，那么……形式．）；
（2）选取（1）中一个正确的命题进行证明．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了命题，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据命题书写形式，分别写出所有的正确命题，即可作答．
（2）先由平行线的性质得，再证明，然后根据全等三角形的性质，即可证明．
【小问1详解】
解：依题意，正确的命题：如果①，②，那么③；如果①，③，那么②，
【小问2详解】
解：选择，如果①，③，那么②，（答案不唯一）
如图和中，，点在同一直线上，
求证：．
证明如下：
∴，
∵
∴，
∴
∴
即．
25. 某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请你写出证明“”的推理过程．
（1）求证：；
（2）由（1）的结论，根据与之间的关系，求的取值范围；
（3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】如图2中，，，是的中线，，，且，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）12
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用证明即可；
（2）由全等三角形的性质可得，再由三角形三边关系求解即可；
（3）延长，交于点，证明，得出，，求出，证明是垂直平分线，即可得解．
【小问1详解】
证明：延长到点E，使，
在和中，
，
∴，
【小问2详解】
解：∵，
∴，
在中，，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图3，延长，交于点，
∵，
∴，
∴，
∵是中线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴．
26. 建立模型：（）如图，过线段CD上一点作，过分别作于，于，且，求证：；
类比迁移：（）如图，直线AB交两坐标轴于点、，满足．
①求的值；
②点在第二象限内，连接，若在直角中，是斜边，且，求点的坐标；
③如图，在②的条件下，在边上取一点，作，且，连接，求的大小．
【答案】（）证明见解析；（）①，；②；③
【解析】
【分析】（）证明，再根据证明即可；
（）①根据绝对值和平方根的非负性质即可求解；②证明，得出，，进而即可求解；③过点作于点，过点作于点，根据证明，得，，由等腰直角三角形的性质得，从而可得，故可得．
【详解】（）证明：∵，，，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
（）解：①∵，
∴，，
解得，；
②由①可得，，，
过作于，
由题可得，，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴；
③过点作于点，过作于，
则，
∴，，
∴，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
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