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重庆市杨家坪中学2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题（Word版附解析）
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1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 圆与圆的位置关系为（ ）
A. 相交B. 内切C. 外切D. 外离
3. 已知两条直线：，则（ ）
A 或B. C. D.
4. 正四面体ABCD的棱长为1，点为CD的中点，点为AM的中点，则BO的长为（ ）
A. B. C. D.
5. 椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（ ）
A. 1B. 2C. D.
6. 在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱的中点，则点到直线AE的距离为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知直线与圆，点，在直线上，过点作圆切线，切点分别为，，当取最小值时，则的最小值为（ ）
A B. C. D.
8. 已知椭圆的焦点为，直线与椭圆交于M、N，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知椭圆，则椭圆的（ ）
A. 焦点在轴上B. 长轴长为C. 短轴长为D. 离心率为
10. 下列命题正确的有（ ）
A. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为
B. 向量在向量上的投影向量的模为
C. 为空间任意一点，若，若四点共面，则
D. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是
11. 已知点在圆上运动，则（ ）
A. 的取值范围是
B. 的最小值是
C. 的最大值为
D. 若直线，则满足到直线的距离为的点有3个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 直线关于点对称的直线方程为______.
13. 直线被圆截得的弦长为，则______________.
14. 已知棱长为的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为______________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知直线.
（1）求过直线与的交点，且与直线垂直的直线的方程；
（2）求过点，且圆心在直线上圆的方程.
16. 已知直线，椭圆.
（1）求证：对于任意实数，直线过定点，并求出点坐标；
（2）当时，求直线被椭圆截得弦长.
17. 如图，正方形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，平面平面平面ABCD，且.
（1）求证：平面ABCD；
（2）求平面ABF与平面EBF夹角的余弦值.
18. 如图1，在边长为4的菱形ABCD中，，点M，N分别是边BC，CD的中点，.沿MN将翻折到的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥.
（1）在翻转过程中是否总有平面平面PAG？证明你的结论；
（2）设点E为线段PA的中点，点在线段BE上，且，当四棱锥MNDB的体积最大时，是否存在满足条件的实数，使直线MQ与平面PAB所成角的正弦值的最大值.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19. 古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点到的距离是点到的距离的2倍.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点作直线，交轨迹于，两点，，不在轴上.
（i）过点作与直线垂直的直线，交轨迹于，两点，记四边形的面积为，求的最大值；
（ii）设轨迹与轴正半轴的交点为，直线，相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 圆与圆的位置关系为（ ）
A. 相交B. 内切C. 外切D. 外离
3. 已知两条直线：，则（ ）
A 或B. C. D.
4. 正四面体ABCD的棱长为1，点为CD的中点，点为AM的中点，则BO的长为（ ）
A. B. C. D.
5. 椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（ ）
A. 1B. 2C. D.
6. 在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱的中点，则点到直线AE的距离为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知直线与圆，点，在直线上，过点作圆切线，切点分别为，，当取最小值时，则的最小值为（ ）
A B. C. D.
8. 已知椭圆的焦点为，直线与椭圆交于M、N，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知椭圆，则椭圆的（ ）
A. 焦点在轴上B. 长轴长为C. 短轴长为D. 离心率为
10. 下列命题正确的有（ ）
A. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为
B. 向量在向量上的投影向量的模为
C. 为空间任意一点，若，若四点共面，则
D. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是
11. 已知点在圆上运动，则（ ）
A. 的取值范围是
B. 的最小值是
C. 的最大值为
D. 若直线，则满足到直线的距离为的点有3个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 直线关于点对称的直线方程为______.
13. 直线被圆截得的弦长为，则______________.
14. 已知棱长为的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为______________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知直线.
（1）求过直线与的交点，且与直线垂直的直线的方程；
（2）求过点，且圆心在直线上圆的方程.
16. 已知直线，椭圆.
（1）求证：对于任意实数，直线过定点，并求出点坐标；
（2）当时，求直线被椭圆截得弦长.
17. 如图，正方形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，平面平面平面ABCD，且.
（1）求证：平面ABCD；
（2）求平面ABF与平面EBF夹角的余弦值.
18. 如图1，在边长为4的菱形ABCD中，，点M，N分别是边BC，CD的中点，.沿MN将翻折到的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥.
（1）在翻转过程中是否总有平面平面PAG？证明你的结论；
（2）设点E为线段PA的中点，点在线段BE上，且，当四棱锥MNDB的体积最大时，是否存在满足条件的实数，使直线MQ与平面PAB所成角的正弦值的最大值.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19. 古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点到的距离是点到的距离的2倍.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点作直线，交轨迹于，两点，，不在轴上.
（i）过点作与直线垂直的直线，交轨迹于，两点，记四边形的面积为，求的最大值；
（ii）设轨迹与轴正半轴的交点为，直线，相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程.
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