重庆市第八中学2024-2025学年高一上学期11月月考数学试题（Word版附解析）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题，的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定直接得出结果.
【详解】由题意知，“”的否定为
“”.
故选：B
2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用抽象函数的定义域求法计算即可.
【详解】因为的定义域为，则，即,
所以的定义域为，
又，所以函数的定义域为.
故选：B
3. 把函数的图象向左，向下分别平移2个单位，得到的图象，则的解析式是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接求解：把函数y=f（x）的图象向左、向下分别平移2个单位可得y=f（x+2）-2，根据题意可得f（x+2）-2=2x，从而可求f（x）
【详解】∵把函数y=f（x）的图象向左、向下分别平移2个单位可得y=f（x+2）-2
∴f（x+2）-2=2x
∴f（x+2）=2x+2=2x+2-2+2
则f（x）=2x-2+2
故选C．
【点睛】本题主要考查了函数的图象的平移法则：左加右减，上加下减的应用，要注意解答本题时的两种思维方式.
4. 已知，则的最小值为（ ）
A. 1B. 3C. 5D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.
【详解】当时，，当且仅当时取等号，
所以的最小值为7.
故选：D
5. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的性质即可根据求解.
【详解】为开口向上的二次函数，且对称轴为，
由于函数在上单调递减，故，解得，
故选：D
6. 已知为上的奇函数，当时，，则时，的解析式为（ ）
A B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用奇函数的定义计算即可.
【详解】因为知为上的奇函数，当时，，
令，则.
故选：C
7. 设，若，使得关于的不等式有解，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分离参数结合对勾函数的性质计算即可.
【详解】关于的不等式有解等价于在上有解，
由对勾函数的性质可知在上单调递增，即，
所以.
故选：B
8. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，如，，，令，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D. 函数的值域为
【答案】D
【解析】
【分析】代入具体值即可判断选项A，B；对于C选项字母的代入需要进行拆分化解，得到其周期性；对于D选项在一个周期的范围内分析出其值域即可.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，,
即，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，由C知，为周期函数，且周期为1，不妨设，
当时，，
当时，，此时值域为，
当时，，
故当时，有，故函数的值域为，故D正确.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知幂函数，则（ ）
A.
B. 的定义域为
C.
D. 将函数图像向左平移个单位长度得到函数的图像
【答案】BC
【解析】
【分析】由幂函数的系数为可求得、,则A选项可判定;由解析式可求定义域，则B选项可判定; 由的奇偶性可判定是否满足，则C选项可判定;把中的用代可得向左平移个单位长度后函数，则D选项可判定.
【详解】由幂函数的定义可知，所以，所以，故A选项错误；
由可知其定义域为，故B选项正确；
为奇函数，所以，故C选项正确；
将的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，故D选项错误；
故选：BC.
10. 已知，都为正数，且，则下列说法正确是（ ）
A. 的最大值为4B. 的最小值为12
C. 的最小值为D. 的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定条件，艇基本不等式及“1”的妙用逐项求解判断.
【详解】正数，，满足，
对于A，，当且仅当取等号，A正确；
对于B，，当且仅当取等号，B错误；
对于C，，当且仅当取等号，C正确；
对于D，，当且仅当取等号，D正确.
故选：ACD
11. 函数的定义域为，其图象上任一点满足．则下列命题中正确的是（ ）
A. 函数可以是奇函数；
B. 函数一定是偶函数；
C. 函数可能既不是偶函数，也不是奇函数；
D. 若函数值域是，则一定是奇函数．
【答案】AD
【解析】
【分析】结合的奇偶性、值域等知识确定正确答案.
【详解】由的定义域是，得当时，，
当时，，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
所以的图象有如下四种情况：
根据图象知AD正确，BC错误.
故选：AD
三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分.
12. ______.
【答案】
【解析】
【分析】利用有理数指数幂的运算性质化简求值.
【详解】.
故答案为：
13. 已知全集为，集合，，若是的必要条件，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据分式不等式的求解化简求解,即可将必要条件转化为，进而列不等式可求解.
【详解】由可得，
由于是的必要条件，故,
因此，解得，
故答案为：
14. 已知函数在上的最大值为，在上的最大值为．
①当时，______
②若，则实数的取值范围是______．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】分段讨论求出函数的最大值；求出及时根，画出图形，数形结合求出的范围.
【详解】函数，
①当时，函数在上单调递减，；
当时，函数在上递减，在上递增，；
当时，函数在上递减，在上递增，
在上递减，；
当当时，函数在上递减，在上递增，
在上递减，在上递增，，而，
所以；
②要使，则，令，解得：，，，，
由图得，要使函数在上的最大值为，且，
则或，解得，
当时，
由图知，在上最大值，
在上单调递增，最大值，不可能成立，
所以实数的取值范围是，
故答案为：2；.
【点睛】关键点点睛：求出方程的根，画出函数图象，数形结合是求解本问题第2问的关键.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知全集为，集合，集合.
（1）若，求，；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集的定义求出，最后根据交集的定义计算即可；
（2）由得，分集合为空集和不是空集两种情况分别建立不等式（组），可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
，
当时，，
，
，
；
【小问2详解】
，，
当时，，解得；
当时，解得；
综上，.
16. 已知函数.
（1）若关于的不等式的解集为或，求关于的不等式的解集；
（2）当，时，函数在上的最小值为6，求实数的值.
【答案】（1）
（2）或3．
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解与二次方程的根之间的关系，可得韦达定理，即可将不等式变形为求解；
（2）先由对称轴结合最值得出或，进而分类讨论这两种情况，结合二次函数的单调性得出实数的值．
【小问1详解】
由于的解集为或，故和是一元二次方程的两个根，故，解得，
故变形为，
解得，
故不等式的解为
【小问2详解】
当，时，，则对称轴方程为，由于，故或，即或，
当时，最小值，解得，
当时，最小值，解得，
综上：或3．
17. 已知函数 是奇函数.
（1）求函数的表达式；
（2）用定义法讨论函数的单调性.
【答案】（1）
（2）在上单调递增，在和上单调递减
【解析】
【分析】（1）根据求解出的值，然后检验即可，由此可求的表达式；
（2）先取值，然后将因式分解并判断出其正负，由此可分析出的单调性.
【小问1详解】
据题意，是定义域为的奇函数，则，解得，
所以，
所以是奇函数，故符合要求，
所以.
【小问2详解】
，且，
则，
因为，所以，所以，
当时，即或时，则，
所以，所以，此时单调递减；
当，即时，则，
所以，所以，此时单调递增；
综上所述，在上单调递增，在和上单调递减.
18. 已知定义域在上的函数满足：，且当时，.
（1）求，的值；
（2）证明是偶函数；
（3）解不等式.
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）令和计算即可；
（2）令结合（1）的结论及偶函数的定义证明即可；
（3）令，根据条件判定函数的单调性计算即可解不等式.
【小问1详解】
令，则；
令，则；
【小问2详解】
易知函数定义域关于原点对称，
令，则，满足偶函数的定义，证毕；
【小问3详解】
令，易知，
则，
所以在0,+∞上单调递增，
又为偶函数，所以在上单调递减，
所以，
则，
，即，
即不等式的解集为.
19. 若函数Q在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数Q是在上的“平稳函数”．
（1）函数①；②；③，其中函数______是在上的“平稳函数”（填序号）；
（2）已知函数．
①当时，函数Q是在上的“平稳函数”，求的值；
②已知函数，若函数Q是在（为整数）上的“平稳函数”，且存在整数，使得，求的值．
【答案】（1）① （2）①或；②
【解析】
【分析】（1）根据“平稳函数”的定义逐个分析判断即可；
（2）①求出二次函数的对称轴，然后分，，和四种情况求函数在给定范围上的最值，然后利用列方程可求出的值；
②由二次函数的性质可知当时，随的增大而增大，从而可求出，，然后由为整数可求出，再由列方程可求出.
【小问1详解】
对于①在上单调递增
当时，，当时，，
∴，符合题意；
对于②在上单调递增
当时，，当时，，
∴，不符合题意；
对于③在上单调递增
当时，，当时，，
∴，不符合题意；
故①是在上的“平稳函数”；
【小问2详解】
①二次函数为，对称轴为直线，
在1,+∞上单调递增，在上单调递减，
当，，
当时，，
当时，．
若，在上单调递增，
则，解得（舍去）；
若，在上单调递减，在上单调递增，
则，解得（舍去），；
若，在上单调递减，在上单调递增，
则，解得，（舍去）；
若，在上单调递减，
则，解得（舍去）．
综上所述，或；
②易知，二次函数对称轴为直线，
又，且
，
，
当时，在上单调递增
当时取得最大值，时取得最小值，
∴
，整数，且，
，即的值为5，
又∵，
，
．