四川省成都市玉林中学2024-2025学年高三上学期11月诊断性评价数学试题（Word版附解析）

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数学
考试时间：120分钟；总分：150分；
命题人：彭晓夏 周翔 审题：高三备课组
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据绝对值与一元二次不等式，解得两集合的元素，利用交集，可得答案.
【详解】由，，
则.
故选：D.
2. 已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】连结，则为的中位线，
，

故选：A
3. 已知，则“”是“”成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先解不等式，然后根据集合的包含关系可得.
【详解】不等式，解得
记，
因为，所以“”是“”成立充分不必要条件.
故选：A
4. 将函数）的图像向右平移（0＜＜）个单位后的图像关于y轴对称，则 ＝( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意先求平移后的解析式，进而利用对称性即可求解.
【详解】因为函数的图象向右平移（0＜＜）个单位，
所以.
又因为平移后图像关于y轴对称，
所以，
又0＜＜，所以当时．
故选：D
5. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A. f(x)=xsin2xB.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象得出函数的奇偶性以及特殊点，逐项验证，可得答案.
【详解】由图可知，函数为奇函数，且，.
对于A，，则该函数为偶函数，故A错误；
对于B，，则该函数为奇函数，
，，故B错误；
对于C，，则该函数为偶函数，故C错误；
对于D，，则该函数为奇函数，
且，，故D正确.
故选：D.
6. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求导，再根据函数在上单调递减，由在上恒成立求解.
【详解】解：因为函数，
所以，
因为函数在上单调递减，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
则，
当时，不恒为零，
所以实数的取值范围是，
故选：C
7. 在中，角所对的边分别为，已知，且的面积，则周长的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知利用三角形的面积公式可求的，进而可得，，由余弦定理，基本不等式可求，根据三角形的周长即可求解其最大值．
【详解】，
即，又，
解得，，
又，由余弦定理可得：，
，即
当且仅当时取等号，
则周长的最大值是，
故选：B
8. 已知函数，若函数有四个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D. [2,+∞)
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意得到，，再对所求目标式子进行化简，利用对勾函数的单调性，得到所求范围.
【详解】有四个不同的零点，
即和有四个交点，它们的横坐标分别为，
画出函数和的图像，
根据图像可知，
和是和的交点横坐标，
即方程的两根，
所以，
是和的交点横坐标，是和的交点横坐标，
故有，得到，
由，可得
，
令，
令，
则在上单调递减，
所以，，
故，
即所求式子的取值范围是.
故选：C.
【点睛】本题考查函数与方程，根据对勾函数的单调性求值域，属于中档题.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9. 设向量，，则（ ）
A. B. 与的夹角为
C. 与共线D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用向量运算的坐标表示、向量模长、夹角公式以及向量共线、垂直的坐标形式计算求解.
【详解】因为，，所以，，故A正确；
因为，，所以，
因为两向量夹角的范围为，所以与的夹角为，故B错误；
因为，，所以，
又，所以，所以，所以与不共线，故C错误，D正确.
故选：AD.
10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数在上单调递增
C. 函数的图象关于直线对称
D. 该图象向右平移个单位可得的图象
【答案】BCD
【解析】
【分析】由图象可得，，代入可得，然后根据三角函数的性质对每个选项进行分析即可
【详解】由图象可知：，周期，∴；
由，所以，解得，
由可得，故函数．
对于A：，故A错误；
对于B：当时，，因为在上，正弦函数单调递增，
所以函数在上单调递增，故B正确；
对于C：当时，，
即直线是的一条对称轴，故C正确；
对于D：向右平移个单位得，故D正确，
故选：BCD．
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图像与函数的图像有且仅有一个公共点
B. 函数的图像与函数的图像没有公切线
C. 函数，则有极大值，且极大值点
D. 当时，恒成立
【答案】ACD
【解析】
【分析】选项A，利用与的图象，知时，有一个交点，当，构造函数，利用导数，求出的单调区间，进而求得，即可求解；选项B，设出切点，利用导数的几何意义得到，将问题转化成求方程解的个数，即可求解；选项C，令，对求导，求出的单调区间，再利用极值的定义，即可求解；选项D，构造函数和，利用导数与函数单调性间的关系，得到，且等号不能同时取到，再利用与图象间的关系，即可求解.
【详解】对于选项A，易知当时，函数与函数的图像有一个公共点，
当时，令，则，
由，得到，由，得到，
即在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以在时取最小值，即，
所以当时，函数与函数的图像没有公共点，故A正确；
对于选项B，设与切于点，与切于点
则，化简得：，判断方程根的个数即为公切线条数，
令，则，易知在上恒小于0，
当时，令，则在区间上恒成立，
即在区间上单调递增，又，，
所以在上有使得，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，且
当，所以方程有两解，与的图像有两条公切线，所以选项B错误，
对于选项C，令，所以，
令，则，
所以在上单调递减，又，
所以存在，使得，即，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以有极大值，且极大值点，故选项C正确，
对于选项D，，则，
当时，时，，
所以，即，当且仅当时取等号，
令，则在区间上恒成立，
又，所以，当且仅当时取等号，
又，当时，与重合，当时，的图象由向右平移，此时图象恒在下方，
所以，且等号不能同时取到，故选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 的值是___________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据诱导公式直接求解即可.
【详解】解：
故答案为：
13. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.在点测得塔顶的仰角，且，则塔高为______

【答案】
【解析】
分析】中求出，利用正弦定理求得，再根据直角三角形的边角关系得出的值．
【详解】在中，，
由正弦定理得，，
解得，
在中，，所以，所以塔高为．
故答案为：．
14. 已知函数有两个零点，则的取值范围为_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用同构思想，设，将有两个零点转化成有两个根，继而又转化为与有两个交点，研究函数的图象，即可求得参数的范围.
【详解】由，设，显然该函数在上单调递增，则，
于是由题意知，有两个根，因,则故与有两个交点.
由，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，即时，取得极大值为，
且当时，，当时，，作出函数的简图.
由图可得，要使有两个根，需使，解得.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：本题主要考查函数的零点问题，属于难题.
解题思路是利用同构思想将函数解析式化简，再根据函数有2个零点得到方程有2个根，将问题转化为与有两个交点，利用函数的图象性质即可求得.
四、解答题（本大题共5小题，共计77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 设函数．
（1）求的单调递减区间；
（2）在中，若，，求的外接圆的面积．
【答案】（1）单调递减区间为，；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换可得，利用正弦型函数的图象与性质，即可求解单调递减区间；
（2）由题可得，然后利用正弦定理求解外接圆的直径，即可求解外接圆的面积．
【小问1详解】
由题可知 ，
令，解得，，
所以函数的单调递减区间为，；
【小问2详解】
由题可得，又，
∴，即，又，
所以的外接圆直径，
所以，的外接圆面积．
16. 某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了60名男生和60名女生，通过调查得到如下数据：60名女生中有10人课间经常进行体育活动，60名男生中有20人课间经常进行体育活动.
（1）请补全列联表，试根据小概率值的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是否有关联；
（2）以样本频率作为概率的值，在全校的学生中任取4人，记其中课间经常进行体育活动的人数为，求的分布列、数学期望和方差.
附表：
附：，其中.
【答案】（1）表格见解析，有关联
（2）分布列见解析，数学期望为1，方差为
【解析】
【分析】（1）计算卡方，根据独立性检验方法求解即可；
（2）根据二项分布的分布列与数学期望和方差公式求解即可
【小问1详解】
零假设为：性别与课间经常进行体育活动相互独立，即性别与课间是否经常进行体育活动无关，依题意，列出列联表如下：
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别与课间是否经常进行体育活动有关联，此推断犯错误的概率不大于0. 05
【小问2详解】
由题意得，经常进行体育活动者的频率为，
所以在本校中随机抽取1人为经常进行体育活动者的概率为，
随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4，由题意得，
所以，
，
，
，
，
，
的分布列为：
的数学期望为，的方差为.
17. 如图的多面体是由一个直四棱柱被平面所截后得到的，其中，，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）结合题意由余弦定理可得，由勾股定理可得，由直四棱柱的性质及线面垂直的性质定理可得，再由线面垂直的判定定理即可证明；
（2）以为坐标原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的正弦值公式可得，利用平方关系可得，继而即可求解.
【小问1详解】
证明：在中，因为，，
所以由余弦定理得，，
所以，
所以，即，
在直四棱柱中，平面，平面，
所以，因为平面，平面，，
所以平面.
【小问2详解】
因为，，两两相互垂直，
所以以为坐标原点，分别以，，为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
由，得，，
所以A1,0,0，，，，
，，，
设m=x,y,z为平面的一个法向量，
则，即，
令，解得，
因为，，
设直线与平面所成角为，且，
所以，
从而，所以．
所以直线与平面所成角的正切值为．
18. 已知点F为抛物线E：（）的焦点，点P（−3，2），，若过点P作直线与抛物线E顺次交于A，B两点，过点A作斜率为1的直线与抛物线的另一个交点为点C．
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）求证：直线BC过定点；
（3）若直线BC所过定点为点Q，△QAB，△PBC的面积分别为S1，S2，求的取值范围
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用表示出，化简即可求出答案.
（2）设出直线，联立直线与抛物线，利用韦达定理则可表示出两点的关系.再由点写出直线，联立直线与抛物线，利用韦达定理则可表示出两点的关系.写出直线的方程，根据两个关系式消掉点，则可得出结论.
（3）将、用点表示出来，再利用韦达定理用直线的斜率表示出，最后化简即可得出答案.
【小问1详解】
焦点，∵，∴
抛物线E的标准方程为
【小问2详解】
显然．直线斜率存在，设的方程为
由，化简得：，
设，则，
∴ ①
直线的方程为，
由化简得：，
设则 ②
由①②得，∴ ③
（ⅰ）若直线没有斜率，则，又，∴，∴，
∴的方程为．
（ⅱ）若直线有斜率，为，
直线的方程为，即，
将③代入得，∴，
故直线有斜率时过点．
由（ⅰ）（ⅱ）知，直线过点．
小问3详解】
由（2）得，
，∴，且，
设，
∵，且，∴∴，
故的取值范围是．
【点睛】本题考查抛物线的标准方程、直线过定点.属于难题.其中证明直线过定点，寻找坐标之间的关系进行消元是解题的关键.
19. 若函数在定义域内存在两个不同的数，同时满足，且在点处的切线斜率相同，则称为“切合函数”
（1）证明：“切合函数”；
（2）若为“切合函数”，并设满足条件两个数为．
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）求证：．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）假设存在两个不同的数满足条件，通过求出即可得证；
（2）（ⅰ）利用“切合函数”的定义得出关系式，通过构造新函数，通过新函数的单调性得出证明. （ⅱ）利用与的关系，把待证不等式转化为关于的不等式，构造函数，利用单调性证明即可.
【小问1详解】
假设存在两个不同的数，满足题意，
易知，由题意可得
，
即，
，，，
，
又，
所以.
因为，即，
化简可得，又，
所以，
代入，
可得或，
所以为“切合函数”.
【小问2详解】
由题意知，
因为为“切合函数”，
故存在不同的数(不妨设)使得
，
即，
整理得，
（ⅰ）先证，
即，
，
令，则由，知，
要证，只需证，
即，
设，
易知，
故在单调递减，所以，
故有，
由上面的式知,
所以.
（ⅱ）由上面的得，
，
又，
所以且，
故要证，
只需证，
即，
设，
则即证
，
设，
则，
即也就是在单调递增，
，
所以在单调递增，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以原不等式成立.
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键主要有三点：一是理解新定义“切合函数”；二是利用切合函数得到两个关键等式；三是把多变量转化为单变量，构造函数，利用单调性证明不等式.
课间不经常进行体育活动
课间经常进行体育活动
合计
男
女
合计
0. 1
0. 05
0. 01
0. 005
0. 001
2. 706
3. 841
6. 635
7. 879
10. 828
课间不经常进行体育活动
课间经常进行体育活动
合计
男
40
20
60
女
50
10
60
合计
90
30
120
0
1
2
3
4