初中数学人教版（2024）八年级上册12.3 角的平分线的性质精练

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册12.3 角的平分线的性质精练，共8页。
必备知识 角平分线的判定
1.【教材P51习题T1变式】人们常用两个三角尺平分一个任意角,做法如下:如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,使两个三角尺的一直角边分别与OA,OB重合,移动三角尺使两个直角顶点分别与M,N重合,三角尺的另两条直角边相交于点C,作射线OC,可证得△MOC≌△NOC,从而得OC是∠AOB的平分线.在上述过程中,判定两个三角形全等的方法是( )
A.HLB.ASAC.SASD.SSS
2.如图,若DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,则对于∠1和∠2的大小关系,下列说法正确的是( )
A.一定相等
B.一定不相等
C.当BD=CD时相等
D.当DE=DF时相等
3.如图,PM=PN,∠BOC=30°,PM⊥AO于点M,PN⊥OB于点N,则∠AOB的度数为 .
4.如图,点O在△ABC内,且到三边的距离相等.若∠A=60°,则∠BOC的度数为 °.
5.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,且∠BDE=∠CDF.求证:AD平分∠BAC.
【练能力】
6.【2022·邢台期末】小强在证明“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”这个结论时给出了如下过程:
关于这个证明,下面说法正确的是( )
A.小强用到了从特殊到一般的方法证明该结论
B.只要测量一百个到角的两边的距离相等的点都在角的平分线上,就能证明该结论
C.不能只用这个角,还需要用其他角度进行测量验证,该结论的证明才完整
D.小强的方法可以用作猜想,但不属于严谨的推理证明
7.如图,已知点P到BE,BD,AC的距离恰好相等,则点P的位置:①在∠B的平分线上;②在∠DAC的平分线上;③在∠ECA的平分线上;④恰是∠B,∠DAC,∠ECA三条平分线的交点.上述结论中,正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.【教材P50练习T2变式】如图,△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P,则下列结论正确的是( )
A.AP平分线段BCB.AP平分∠CAB
C.AP平分∠CPBD.AP⊥BC
9.在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,则点P,Q,M,N中在∠AOB的平分线上的是 点.
10.如图,OB=OC,∠ABO=∠ACO.求证:AO平分∠BAC.
11.如图1,在△ABC中,AD是它的角平分线,P是AD上一点,PE∥AB交BC于点E,PF∥AC交BC于点F.
(1)求证:点D到PE的距离与点D到PF的距离相等.
(2)如图2,若点P在AD的延长线上,其他条件不变,(1)中的结论还成立吗?请证明.
【练素养】
12.如图,在△ACB和△DCE中,AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°,连接AE,BD,交于点O,AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.
(1)试判断AE,BD之间的关系,并说明理由.
(2)连接CO,并在下面两个结论中选择你认为正确的一个加以证明:
①射线CO平分∠ACD;
②射线OC平分∠BOE.
参考答案
练基础
1.A 2.D
3.60°
4.120
5.【解析】证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠DEB=∠DFC=90°.
∵D是BC的中点,
∴BD=CD.
在△BED和△CFD中,
∠BDE=∠CDF,∠BED=∠CFD,BD=CD,
∴△BED≌△CFD(AAS),
∴DE=DF.
∵DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,
∴AD平分∠BAC.
练能力
6.D 7.D 8.B
9.Q
10.【解析】证明:如图,过点O作OD⊥AB于点D,作OE⊥AC于点E,则∠BDO=∠CEO=90°.
在△OBD和△OCE中,
∠DBO=∠ECO,∠BDO=∠CEO,OB=OC,
∴△OBD≌△OCE(AAS),
∴OD=OE.
∵OD⊥AB,OE⊥AC,
∴AO平分∠BAC.
11.【解析】(1)证明:∵PE∥AB,PF∥AC,
∴∠EPD=∠BAD,∠DPF=∠CAD.
∵在△ABC中,AD是它的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD,
∴∠EPD=∠DPF,即PD平分∠EPF,
∴点D到PE的距离与点D到PF的距离相等.
(2)若点P在AD的延长线上,其他条件不变,(1)中的结论还成立.
证明:∵PE∥AB,PF∥AC,
∴∠EPD=∠BAD,∠DPF=∠CAD.
∵在△ABC中,AD是它的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD,
∴∠EPD=∠DPF,即PD平分∠EPF,
∴点D到PE的距离与点D到PF的距离相等.
练素养
12.【解析】(1)AE=BD且AE⊥BD.
理由:∵∠ACB=∠DCE,
∴∠ACB+∠DCA=∠DCE+∠DCA,
即∠ACE=∠BCD.
在△ACE和△BCD中,AC=BC,∠ACE=∠BCD,CE=CD,
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴AE=BD,∠CEA=∠CDB.
∵∠CME=∠DMO,∠DCE=90°,
∴∠DOM=∠DCE=90°,
∴AE⊥BD,
∴AE=BD且AE⊥BD.
(2)②正确.
证明:如图,过点C作CJ⊥AE于点J,CK⊥DB于点K.
∵△ACE≌△BCD,
∴S△ACE=S△BCD,
∴12AE·CJ=12BD·CK.
∵AE=BD,
∴CJ=CK.
∵CJ⊥AE,CK⊥DB,
∴OC平分∠BOE.已知:如图,点P在OC上,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,且PD=PE.求证:OC是∠AOB的平分线.
证明:通过测量可得∠AOC=23°,∠BOC=23°,
∴∠AOC=∠BOC,
∴OC是∠AOB的平分线.