九年级数学第三次月考卷（沪科版九上第21~23章)2024+2025学年初中上学期第三次月考

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪科版九上全部（第21章二次函数与反比例函数占35%，第22章相似形占40%，第23章解直角三角形占25%）。
5．难度系数：0.56。
第一部分（选择题 共40分）
选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．二次函数的图象的顶点坐标是
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：二次函数的顶点式为，
该函数图象的顶点坐标为，
故选：．
2．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△△的是
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：，
，
，
、根据，，由两个三角形的两个对应角相等可得△△，故不符合题意；
、不符合两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，无法判定△△，故符合题意；
、根据，，由两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等可得△△，故不符合题意；
、根据，，由两个三角形的两个对应角相等可得△△，故不符合题意；
故选：．
3．描点法是画未知函数图象的常用方法．请判断函数的图象可能为
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：，
函数在第一、三象限，对称中心为原点，
把向左平移1个单位得到，对称中心为，
故选：．
4．已知：抛物线开口向下，且与轴有两个交点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】依题意，得
解得：．
故选：．
5．如图，平行四边形的对角线、相交于，如果△△，那么的比值为
A．B．C．2D．
【答案】A
【解答】解：四边形是平行四边形，
，
△△，
，
，
，
，
；
故选：．
6．放在正方形网格纸的位置如图，则的值为
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：连接，如图：
，，，
，
．
故选：．
7．某商家代销一种产品，销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件产品下降1元时，日销售量增加2件．已知每售出1件产品，该商家需支付厂家和其他费用共50元，设每件产品售价为（元，商家每天的利润为（元，则与之间的函数解析式为
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：由题意，每件产品售价为元，
每件盈利元，
又每天的销售量为件，
，
故选：．
8．如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树．小乐沿着水平面步行到达点时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度的斜坡步行到达点时拍到树顶点，仰角为，那么这棵木棉树的高度约 ．（结果精确到（参考数据：，，
A．22B．21C．20D．19
【答案】C
【解答】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
由题意得：，，米，
斜坡的坡度，
，
设米，则米，
在△中，（米，
米，
，
解得：，
米，米，
设米，
米，
在△中，，
米，
在△中，，
米，
，
，
解得：，
（米，
这棵木棉树的高度约为20米，
故选：．
9．如图，在平行四边形中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于，若，则下列结论错误的是
A．B．
C．D．
【答案】
【解答】解：四边形为平行四边形，
，
△△，
；
四边形为平行四边形，
，，
△△，
，
，
，
故正确；
，
．
正确；
等高的三角形的面积比等于底的比，
，
正确；
，
△△，
．
故错误．
故选：．
10．如图，在钝角中为钝角），，，，在其内部作一个矩形，使矩形的一边在边上，顶点，分别在边，上．设矩形的一边，矩形的面积为，则与的函数关系式可用函数图象表示为
A．B．
C．D．
【答案】A
【解答】解：过点作于点，交于点，如图，
，，，
，
，
．
四边形为矩形，
，
，
四边形为矩形，
，
．
，
，
，
，
，
．
矩形，使矩形的一边在边上，顶点，分别在边，上，
．
，
当时，矩形的面积取得最大值为21．
与的函数的函数图象为抛物线上的的一段．
故选：．
第二部分（非选择题 共110分）
填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．若抛物线的对称轴是直线，则常数 ．
【答案】1
【解答】解：由题知，
因为抛物线的函数解析式为，
所以抛物线的对称轴为直线．
又因为抛物线的对称轴是直线，
所以．
故答案为：1．
12．如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点是线段的黄金分割点．已知厘米，那么 厘米．
【答案】2
【解答】解：五角星是正五角星，
厘米，
是线段的黄金分割点，
，即，
解得厘米．
故答案为：2．
13．如果三角形有一边上的高恰好等于这边长的，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在是“好玩三角形”，且，则 ．
【答案】或2或1
【解答】解：分三种情况：
①如图1，
高，
此时；
②如图2，高，
此时；
③如图3，
高，
设，，，则，
由三角形面积公式和勾股定理得：，
解得：（负数舍去），
；
故答案为：或2或1．
14．如图，为坐标原点，点是抛物线上一点，轴于点，，交轴于点．
（1）若点的坐标为，则直线对应的一次函数解析式为 ；
（2）若线段与抛物线的交点为，则 ．
【答案】（1）；.
【解答】解：（1）轴，轴，
，
，
点的坐标为，
，，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为；
故答案为：；
（2）过作交于，
△△，
，
，
设点，则点，
由点的坐标得，直线的表达式为：，
则直线的表达式为：，
联立直线和抛物线的表达式得：，
解得：（正值已舍去），
则点，，
则，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．(8分）计算：．
【解答】解：
(4分）
． (8分）
16．(8分）如图，已知直线、、分别截直线于点，，，截直线于点，，，且，若，，求的长．
【解答】证明：，
， (4分）
，
，
． (8分）
17．(8分）如图，在△中，，为边上一点，为边上一点，且．
（1）求证：△△；
（2）若，，，求的长．
【解答】（1）证明：，
，
，，
，
，
△△； (4分）
（2）解：，，
，
由（1）知，△△，
即，
或8． (8分）
18．(8分）如图，在平面直角坐标系中，是格点三角形（顶点均在格点上），且三个顶点的坐标分别为，，，请根据条件解决下列问题：
（1）以点为位似中心，位似比为2将放大，请在网格图中画出放大后的△，并写出点和点的坐标；
（2）请仅用无刻度的直尺作出的一条中位线（不写作法，保留作图痕迹）．
【解答】解：（1）根据位似作图得基本步骤，且，，，
以点为位似中心，位似比为2将放大，位似作图如下：
故；． (4分）
（2）根据坐标的特点，作图如下：
则中位线即为所求． (8分）
19．(10分）如图，一次函数的图象交反比例函数图象于，，两点．
（1）求，的值；
（2）点是轴上一点，且，求点的坐标；
（3）请你根据图象直接写出不等式的解集．
【解答】（1）把点，代入中，得：，
反比例函数的解析式为， (2分）
将点代入得； (4分）
（2）设直线的表达式为，
把，，代入得，
解得
直线的表达式为，
点的坐标为，
，
设点的坐标为，
，
，
解得：，
点的坐标为或； (7分）
（3）不等式的解集是或． (10分）
20．(10分）如图，利用一面墙（墙长28米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为米．
（1）若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长；
（2）矩形围栏面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应的值，若不可能，请说明理由；
（3）矩形围栏面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏的长；不存在请说明理由．
【解答】解：（1）设栅栏长为米，
米，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去，
当时，，符合题意，
答：栅栏的长为10米； (3分）
（2）矩形围栏面积不可能达到240平方米；理由如下：
依题意，得：，
整理得：，
△，
方程没有实数根，
矩形围栏面积不可能达到240平方米； (6分）
（3）矩形围栏面积存在最大面积；理由如下：
设矩形围栏面积为，
根据题意得，，
，
，
，
当时，即米时，有最大值． (10分）
21．(12分）在物理学中，我们学过，光线从空气中进入液体，会发生折射现象，如图（一，若入射角为，折射角为，法线垂直于液面，由此我们可以得到物理公式：折射率．
某课外活动小组为观察光的折射现象，设计如图（二的实验，通过点发射一束光线，经由点光线折射到点三点不在一条直线上），图（三为实验示意图，法线垂直于液面于点，交液面底部于点，四边形为矩形，经测量，，，光线由空气进入液体的折射率．
（1）在延长线上量取，光线由点射出经由点，恰好折射到点，求出入射角的正弦值和折射角的度数；
（2）光线再次由点射出，经由点折射到点且入射角，求的长．
【解答】解：（1）四边形为矩形，
．
．
在中，，，
．
．
，
．
．
，，
．
． (6分）
（2）由题意得：四边形为矩形，
．
，，
．
．
，，
． (8分）
由题意得：．
设 ，则．
根据勾股定理得：．
．
，（舍去）．
．
． (12分）
22．(12分）如图，在菱形中，，，点是边的中点，连接、、．
（1）求的长；（结果保留根号）
（2）点为边上的一点，连接，交于点，连接，．
①求证：△△；
②求的长．（提示：过点作于点．
【解答】（1）解：四边形是菱形，
，
，
△是等边三角形，
，
，
． (4分）
（2）①证明：
，
，
又，
△△，
，
，
，
△△， (8分）
②解：作于．
△△，
，
，
，
在△中，，，
在△中，，
，
． (12分）
23．(14分）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，是坐标原点，已知点的坐标是，．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点在轴上方抛物线上，且，求点的坐标；
（3）点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与△相似，求出符合条件的点的坐标．
【解答】解（1）抛物线与轴交于点，
点的坐标为，
，
，
，
即点的坐标为，
又点，
，
解得，
抛物线的函数表达式是； (4分）
（2），
，
点在轴上方，
设点的横坐标为，则点的纵坐标为，
，
得（舍去）或，
当时，，
点的坐标为； (8分）
（3）如图，
设点的坐标为，
易得△为的锐角三角形，所以△也是锐角三角形，
点在点的上方，
，
，
，，， (10分）
①如果，则，
，即点， (12分）
②如果则，
，
即点． (14分）