九年级数学第三次月考卷（苏科版江苏专用，九年级上册第1章+九下6.2）2024+2025学年初中上学期第三次月考

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题和解答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：苏科版九年级第1章-九下6.2（分别占20%，20%，5%，5%，40%，10%）。
5．难度系数：0.7。
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，下列变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：A、，
，故本选项不符合题意；
B、，
，故本选项符合题意；
C、，
，故本选项不符合题意；
D、，
，故本选项不符合题意，
故选：B．
2．若一元二次方程有实数根，则m的值不可能是（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【详解】原方程可化为，
该方程有实数根，
，
解得，
，
m的值不可能是，
故选：A．
3．下列函数关系中，y是x的二次函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：A、中，y不是x的二次函数，不符合题意；
B、中，y不是x的二次函数，不符合题意；
C、中，y是x的二次函数，符合题意；
D、中，y不是x的二次函数，不符合题意，
故选：C．
4．如图，与相切于点，交直径的延长线于点，为圆上一点，．若的长度为3，则的长度为（ ）．
A．B．C．D．2
【答案】B
【详解】连接，如图，
∵，
∴，
∴，
∵与相切于点，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∵，，
∴，
∴，
∵在中，，的长度为3，
∴，
∴（负值舍去），
故选：B．
5．对于抛物线，下列判断正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上B．抛物线的顶点坐标是
C．对称轴为直线D．当时，
【答案】C
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，故A不正确，不符合题意；
∵抛物线，
∴抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线，故B不正确，不符合题意；故C正确，符合题意；
当时，，故D不正确，不符合题意，
故选：C．
6．如图，抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示．有下列结论：
①；②；③；
④若，，是该抛物线上的三点，则；
⑤（t为实数）．
其中正确结论的序号有（ ）
A．①②⑤B．①③④
C．①③⑤D．②③⑤
【答案】C
【详解】解：①抛物线的对称轴为直线，
，
，故结论①正确；
②抛物线的开口向下，与轴的一个交点在和之间，
抛物线与轴的另一个交点在和之间，
抛物线与轴的交点在负半轴上，
，故结论②错误；
③对于，当时，，
抛物线与轴的另一个交点在和之间，开口向下，
点在第二象限，
，
由①，
，
，即：，故结论③正确；
④抛物线的开口向下，且对称轴为直线，
观察函数的图象可知：在抛物线上离对称轴水平距离越小，函数的值就越大，
，故结论④不正确．
⑤对于，当时，，当为实数）时，，
抛物线的对称轴为直线，
点为抛物线的顶点，
又抛物线的开口向下，
为抛物线的最大值，
，即：，故结论⑤正确；
综上所述：正确的结论是①③⑤．
故选：C．
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
7．投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a、b．那么方程有解的概率是 ．
【答案】1
【详解】解：∵方程有解，
∴，
∵向上一面的点数a、b都是正数，
∴恒成立，
∴有解的概率是1．
故答案为：1．
8．已知a、b是方程的两个实数根，则的值是 ．
【答案】0
【详解】解：∵a、b是方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：0．
9．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉．生活中到处可见黄金分割的美．在设计人体雕像时，使雕像的下部（腰以下）与全部（全身）的高度比值接近，可以增加视觉美感．如果雕像的高为，那么它的下部应设计为 m．（结果保留两位小数）
【答案】
【详解】解：∵雕像的下部(腰以下)与全部(全身)的高度比值接近0.618，
∴雕像的下部(腰以下)的长．
故答案为：．
10．如图，四边形内接于，过点作，交于点．若，则等于
度．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形内接于，
∴，∴，
故答案为：．
11．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得抛物线的解析式是 ．
【答案】
【详解】解：∵将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴，
故答案为：．
12．若圆锥的高为，母线长为，则这个圆锥的侧面展开图的弧长是 ．（结果保留π）
【答案】
【详解】解：圆锥底面半径，
这个圆锥的侧面展开图的弧长是
故答案为：．
13．已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的x的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：∵二次函数与一次函数的交点横坐标分别为，
∴使成立的的取值范围正好在两交点之间，即，
故答案为：．
14．如图，中，为中点，是边上的动点，从出发向运动，同时以相同的速度从出发向运动，运动到停止，当为 时，的面积最大．
【答案】4
【详解】解：根据题意，设点运动的距离，则点运动的距离，
，
，
，
，
，
抛物线开口向下，当时，的面积最大，即当时，的面积最大，
故答案为：4．
15．某厂家要设计一个装彩铅的纸盒，已知每支笔形状、大小相同，底面均为正六边形，六边形的边长为，目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的设计方案，我们以6支彩铅为例，可以设计如图收纳方案一和收纳方案二，你认为底面积更小的是方案 ，两种方案底面积差为 （结果保留根号）
【答案】二
【详解】如图1中，圆的半径为3cm，
底面积为．
如图2中，连接，．
，，，
，
，
等边三角形的边长，
底面积，
等边三角形作为底面时，面积比较小，底面积为，
两种方案底面积差为，
故答案为：方案二，．
16．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，若抛物线与线段AB没有交点，则的取值范围是 ．
【答案】或
【详解】解：如图，当抛物线过点时，把代入 得，，
解得；
过点时，把代入得，，
解得；
∴当抛物线与线段AB没有交点时，由的大小与抛物线开口大小关系可知的取值范围为 或，
故答案为：或．
三、解答题：本题共10小题，共62分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（6分）解方程：
(1)；(2)．
【详解】（1）解：
∴，
则，
∵，……………………………………1分
∴，……………………………………2分
∴……………………………………3分
（2）
则，
，……………………………………4分
整理得，，
∴或，……………………………………5分
解得……………………………………6分
18．（5分）某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从博物馆、动物园、植物园、海洋馆（依次用字母A，B，C，D表示）中选择一处作为研学地点．为了解学生的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全条形统计图；扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为______°；
(2)该校共有1600名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆；
(3)根据以上数据，学校最终将海洋馆作为研学地点，研学后，学校从八年级各班分别随机抽取10名学生开展海洋知识竞赛．甲班10名学生的成绩（单位：分）分别是：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95；乙班10名学生的成绩．（单位：分）的平均数、中位数、众数分别是：84，83，88．根据以上数据判断______班的竞赛成绩更好．（填“甲”或“乙”）
【详解】（1）解：总人数：（人），
D组人数：；如图：
A所对应的圆心角的度数为：，
故答案为：54；……………………………………2分
（2）解：去海洋馆：（人）
答：该校约有640名学生想去海洋馆；……………………………………3分
（3）解：∵甲班10名学生的成绩：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95，
∴甲班10名学生的成绩的平均数：，
甲班10名学生的成绩的众数：90；
甲班10名学生的成绩的中位数：，
∵乙班10名学生的成绩的平均数、中位数、众数分别是：84，83，88．
∴甲班的平均数，中位数，众数都高于乙班，
∴甲班的竞赛成绩更好．
故答案为：甲．……………………………………5分
19．（5分）“四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校九年级计划开展“名著共读”活动．
(1)若从中随机选取1本开展共读活动，抽到《西游记》的概率是____；
(2)若从中随机选取2本名著开展活动，其中有一本是《西游记》的概率是多少？（用树状图或列表的方法分析过程，并求出结果）
【详解】（1）解：根据题意可知，抽到《西游记》的概率为，
故答案为：；……………………………………1分
（2）解：把《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》四本书分别记为A，B，C，D，根据题意，画出如下的树状图：
……………………………………3分
由树状图可知看出，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等．
其中有一本是《西游记》的结果有6种， ……………………………………4分
所以其中有一本是《西游记》的概率是．
故其中有一本是《西游记》的概率是．……………………………………5分
20．（6分）如图，在中，，为的直径，与相交于点D，过点D作于点E，的延长线交于点F．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
【详解】（1）证明：∵，
∴， ……………………………………1分
∵，
∴，
∴，
∴，……………………………………2分
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；……………………………………3分
（2）解：如图，过点O作于点H，
∵是的切线，
∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在，，……………………………………4分
∴，
∴在，，……………………………………5分
∵AB是的直径，
∴，
∴在，
．……………………………………6分
21．（8分）已知抛物线．
(1)抛物线的对称轴为直线__________；抛物线与轴的交点坐标为__________；
(2)若抛物线的顶点恰好在轴上，写出抛物线的顶点坐标，求它的解析式并画出函数图象；
(3)在（2）的条件下，若，，为抛物线上三点，且总有，结合图象，求的取值范围．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
令，则，
∴抛物线与轴的交点坐标为0,4，
故答案为：1，0,4……………………………………2分
（2）解：∵抛物线的顶点恰好在轴上，
∴抛物线的顶点坐标为1,0．
把1,0代入，
得．
解得：．
∴抛物线的解析式为．
函数图象如图所示．
……………………………………5分
（3）解：关于对称轴直线的对称点为．
关于对称轴直线的对称点为．
若要，
则．
解得：．……………………………………8分
22．（4分）（1）如图1，点在圆上，在方格纸中，仅用无刻度直尺过点画出圆的切线；
（2）如图2，点在圆O外，用圆规直尺作出过点的圆的一条切线．
【详解】（1）如图1所示， 即为圆的切线，
……………………………………2分
（2）如图所示，即为所求的切线
……………………………………4分
23．（6分）下表是二次函数的部分x，y的对应值：
求二次函数解析式；
(2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象，结合函数图象，回答下列问题：
①该二次函数的图象与y轴交于点A，二次函数的图象的对称轴上一点B使得最小，B的坐标是__________；
②若x，y，3恰好构成等腰三角形的三边，则x的值可能是__________（精确到0.1）．
【详解】（1）∵由表格可得，当时，，时，，
∴顶点坐标为，
∴设二次函数表达式为，
将代入得，
解得
∴；……………………………………2分
（2）①列表如下：
画图如下：
……………………………………4分
如图所示，连接交抛物线对称轴于点B，
∵
∴当点O，B，C三点共线时，的值最小，即为线段的长度，
∴由图象可得，此时点B的坐标为；……………………………………5分
②当时，即
解得，，
∵，符合题意；
当时，，不符合题意，应舍去，
当时，
解得，，不符合题意，应舍去，
综上所述，x的值可能是或或．……………………………………6分
24．（6分）在平面直角坐标系中，从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2．
(1)求抛物线L的函数解析式；
(2)求小球P在x轴上的落点坐标；
(3)在x轴上的线段处，竖直向上摆放着若干个无盖儿的长方体小球回收箱，已知，且每个回收箱的宽、高分别是、，当小球P恰好能落入回收箱内（不含边缘）时，求竖直摆放的回收箱的个数．
【详解】（1）解：∵从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2，
∴顶点坐标为，
∴设抛物线L对应的函数解析式为，
把代入得，
解得，
∴抛物线L对应的函数解析式为；……………………………………2分
（2）解：对于，
令，则，
解得，，
∴小球P在x轴上的落点坐标为；……………………………………4分
（3）解：∵，，
∴，对于，
当时，；
当时，；
设竖直摆放的回收箱有个，
则，
解得，
∵是正整数，
∴可以是3或4或5或6或7，
答：竖直摆放的回收箱的个数为3个或4个或5个或6个或7个．……………………………………6分
25．（6分）打水漂是孩子们经常玩的游戏，如图，水漂从水面上（点）第一次飞起，飞行的最大高度为米，第二次从距离点米处的处飞起．据试验，水漂在水面弹起的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
(1)求水漂第一次飞越时，该抛物线的函数表达式．
(2)求水漂第二次飞越时，该抛物线的函数表达式．
(3)若此次水漂可以在水面上飞越次，且第一次击打水面时距离河岸米，问水漂能否飞过米宽的河面．
【详解】（1）解：由题意可得，水漂第一次飞越时，该抛物线的顶点坐标为，
∴设该抛物线的函数表达式为，把点O0,0代入得，
，
解得，
∴第一次飞越时抛物线的函数表达式为；……………………………………2分
（2）解：∵水漂第二次飞越时最大高度减少到原来最大高度的一半，
∴水漂第二次飞越时抛物线的顶点的纵坐标为，
又∵第二次飞越时抛物线与原来的抛物线形状相同，
∴可设第二次飞越时抛物线的函数表达式为，把代入得，
，
解得（不合，舍去），，
∴第二次飞越时抛物线的函数表达式为；……………………………………4分
（3）解：把代入得，
，
∴水漂不能飞过米宽的河面．……………………………………6分
26．（10分）在平面直角坐标系中，设二次函数（m是实数）．
(1)当时，若点在该函数图象上，求n的值．
(2)小明说二次函数图象的顶点在直线上，你认为他的说法对吗？为什么？
(3)已知点，都在该二次函数图象上，求证：．
【详解】（1）解：当m＝2时，
∵A（8，n）在函数图象上，
∴……………………………………2分
（2）解：由题意得，顶点是
当x＝2m时，
∴顶点在直线上……………………………………5分
（3）证明：∵P（a+1,c），Q（4m-5+a，c）都在二次函数的图象上
∴对称轴是直线
∴a+2m-2＝2m ，
∴a＝2，
∴P（3，c），
把P（3，c）代入抛物线解析式，得
∴＝＝，
∵-2