广东省东莞市海德双语学校2024-2025学年高二上学期11月中段考（期中考试）数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省东莞市海德双语学校2024-2025学年高二上学期11月中段考（期中考试）数学试题（解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
命题人：陈磊 审题人：高二数学组
说明：
1．全卷共4页，满分150分，考试用时120分钟．
2．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名和考号､班级填写在答题卡上．
3．答题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回．
一､单选题（5*8=40分）
1. 直线倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求直线的斜率，再求倾斜角.
【详解】直线的斜率，
所以直线的倾斜角为.
故选：A
2. 已知点为椭圆上一点，为该椭圆的两个焦点，若，则（ ）
A. 1B. 5C. 7D. 13
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆的定义直接计算即可.
【详解】因为椭圆方程为，
所以，又
所以，
故，
故选：.
3. 已知点到直线的距离为，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据点到直线得距离公式即可得出答案.
【详解】解：由题意得．
解得或．，．
故选：C.
4. 圆心为且过原点的圆的一般方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求半径，再得圆的标准方程，最后转化为圆的一般方程.
【详解】由题意知，在圆上，圆心为，
所以圆的半径，
所以圆的标准方程为，
则一般方程为：，
故选：B.
5. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆方程的特征分析求解.
【详解】由题意可得：，解得，
所以的取值范围为.
故选：A.
6. 若抛物线（）的焦点到准线的距离为，则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线标准方程中的几何意义，即可求得.
【详解】由题意知，故抛物线的标准方程为：，
所以抛物线焦点坐标为0,1.
故选：.
7. 已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，为垂足，则线段PP'中点M的轨迹方程为（ ）
A. （）B. （）
C. （）D. （）
【答案】A
【解析】
【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解.
【详解】设点，则，
因为为的中点，所以，即，
又在圆上，
所以，即，
即点的轨迹方程为.
故选：A
8. 定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先分析出三个向量共面，显然当时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案.
【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，
对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；
对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故B错误；
对C， 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底，
则由能推出，
对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面，
则当无法推出，故D错误.
故选：C．
二､多选题（6*3=18分）
9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 的最大值2D. 的最小值
【答案】AB
【解析】
【分析】利用向量数量积运算的坐标表示，即可判断选项.
【详解】A.若，则，得，故A正确；
B.若，则，即，得
，解得：，故B正确；
CD.，当时，的最小值2，故CD错误；
故选：AB
10. 已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A. ，曲线都不表示圆
B. ，曲线表示焦点在轴上的椭圆
C. ，曲线都不表示焦点在轴上的双曲线
D. 当时，曲线焦距为定值
【答案】ACD
【解析】
【分析】A.由求解判断；B.由求解判断；C.由求解判断；D.由当时，方程表示焦点在x轴上的双曲线求解判断.
【详解】解：若方程表示圆，则，无解，
所以，曲线都不表示圆，故A正确；
若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，无解，
所以不存在m，使得曲线表示焦点在轴上的椭圆，故B错误；
若方程表示焦点在轴上的双曲线，则，无解，
所以，曲线都不表示焦点在轴上的双曲线，故C正确；
D. 当时，方程表示焦点在x轴上的双曲线，
则，故曲线的焦距为定值，故D正确，
故选：ACD
11. 如图，棱长为1的正方体中，则下列说法正确的是（ ）
A. 若点P满足，则点到平面的距离等于
B. 若点满足，则的最小值是
C. 若点满足，则的最小值是
D. 若点满足，则的最小值是
【答案】BD
【解析】
【分析】对A，由平面平面，求点到平面的距离即求平面与平面的距离，根据正方体的对称性可求解判断；对B，将对角面绕翻折与平面重合，将空间问题平面化解决；对C，类比平面上阿波罗尼斯圆问题，点的轨迹则是球面，可得解；对D，类比平面上椭圆的定义，可得点的轨迹是椭球，得解.
【详解】对于A，如图，根据题意可得，点在线段上，平面平面，
所以点到平面的距离即是平面与平面的距离，
由正方体的性质可知，垂直平面和平面，并被这两个平面三等分，
所求距离为，故A错误；
对于B，如图，将对角面绕翻折与平面重合，此时中，，，故B正确；
对于C，由得，平面上点的轨迹是阿波罗尼斯圆，空间中点的轨迹则是球面，
球心在直线上，，半径为，
所以的最小值为，故C错误；
对于D，因为，所在平面上点的轨迹是椭圆，
在空间中点的轨迹则是椭球，椭圆中心为的中点，焦距为，长轴长为2，
短轴长也为，
所以的最小值为，故D正确.
故选：BD．
【点睛】关键点点睛：本题B选项解答的关键是将平面绕翻折与平面重合，将空间问题转化为平面问题解决.
三､填空题（5*3=15分）
12. 抛物线过点，则点到抛物线准线的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】将已知点代入抛物线方程求得，结合抛物线定义求解即可.
【详解】由题意，解得，所以抛物线的准线为，
故所求为.
故答案为：.
13. 双曲线的两条渐近线的方程为_____.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用双曲线的渐近线的求法，求解即可.
【详解】对于双曲线，，，
所以，双曲线的渐近线方程为，即.
故答案为：.
14. 如图所示，在圆锥内放入两个球，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为，，这两个球都与平面相切，切点分别为，，丹德林（G·Dandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球．若圆锥的母线与它的轴的夹角为，球，的半径分别为1、4，则椭圆的长轴长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，根据题意求出，进而求出AB，利用全等三角形的性质可得、，根据椭圆的定义可得+.
【详解】如图，A、B为圆锥的一条母线与球的切点，
连接、，则，
连接，过作交于点D，则
在直角中，，
所以，解得，
故
在和中，，，为公共边，
所以，有.同理可得，
由椭圆的定义，得长轴+.
故答案为：.
四､解答题（共77分）
15. 已知.
（1）求直线BC的方程;
（2）求的外接圆的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）两点式求出直线方程，化为一般式即可；
（2）设出外接圆的一般式方程，代入三个点的坐标，求出答案.
【小问1详解】
直线BC的方程为，化简，得.
【小问2详解】
设外接圆的方程为，
将A，B，C的坐标代入，得,
即,
解得
故所求圆的方程为.
16. 已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于不同的两点和，当时，求实数的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得关于，的方程，求解即可；
（2）联立方程，根据求出的范围，再利用韦达定理和弦长公式列出关于的方程，求解即可.
【小问1详解】
由题意得：，所以，
点在椭圆上，所以，解得，
所以椭圆的方程为：．
【小问2详解】
直线的方程为：
联立，消去后，得关于的一元二次方程，
化简得，
由题意知，解得或，
由韦达定理可得，，
所以，
所以，化简得，解得，即，
经检验符合题意.
17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，，，点E在线段AB上，且．
（1）求证：CE⊥平面PBD；
（2）求二面角P－CE－A的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）结合三角函数的定义证明，然后由线面垂直的判定定理得证线面垂直；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．
【小问1详解】
设BD与CE相交于点H，
因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，
所以，
由，，得，
因此，，
可得，
因，
所以，即，
又因为，，平面,
所以CE⊥平面PBD；
【小问2详解】
如图，建立空间直角坐标系D-xyz，
则，，，
所以，，
设平面PCE的一个法向量，
则，即，
令，则，，于是，
平面ACE的一个法向量为，
则，
由图形可知二面角P－CE－A为锐角，
所以二面角P－CE－A的余弦值是．
18. 已知双曲线C：（，）与双曲线有相同的渐近线，与椭圆有相同的焦点，双曲线C的左右焦点分别为，，直线l过且与双曲线C相交于A，B两点.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l的斜率为1，求线段AB的长；
（3）若的面积是12，求直线AB的方程.
【答案】（1）
（2）
（3）或.
【解析】
【分析】（1）由题意可得，，解出，即可求出双曲线C的方程；
（2）设直线l的方程为，联立直线l与曲线C的方程，根据根与系数的关系得到，代入弦长公式化简即可得出答案.
（3）先设直线和得到韦达定理，表示出三角形的面积公式，代入韦达定理求出参数的值即可.
【小问1详解】
双曲线有相同的渐近线为，
双曲线C：（，）与双曲线有相同的渐近线，
所以，又因为双曲线C与椭圆有相同的焦点，
所以，所以，又因为，
所以，所以双曲线C的方程为：.
【小问2详解】
,直线l过且斜率为1，设直线l的方程为：，
设，
联立，消去得，
由根与系数关系可得，
所以.
【小问3详解】
若直线的斜率为0，此时为轴，为左右顶点，此时不构成三角形，矛盾，
所以直线的斜率不为0，设，，
联立，消去得，应满足，
由根与系数关系可得，
，
,则，
则，解得：或（舍去），则，
直线AB的方程为.
则直线AB的方程为：或.

19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面平面，，，，点E，F分别为棱PD，BC的中点，点G在线段AF上．
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，求的最大值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）连接，取的中点，连接，根据面面垂直的性质得到平面，即可得到，再由，即可得证；
（2）利用等体积法求出点到平面的距离；
（3）连接，，取的中点，连接，确定直线与平面，平面，平面所成的角，再根据锐角三角函数得到，设，，利用换元法求出函数的最大值.
【小问1详解】
连接，取的中点，连接，因为底面为菱形，且，
所以、为等边三角形，所以，又平面平面，平面平面，
平面，所以平面，平面，所以，
又，，平面，
所以平面；
【小问2详解】
因为平面，平面，所以，，
又，，，所以，
所以，
又，所以，
设点到平面的距离为，则，即，
解得，即点到平面的距离.
【小问3详解】
连接，，则且，
又平面，所以平面，则为直线与平面所成的角，即，所以，
取的中点，连接，则且，
又为中点，所以，又，所以，
由平面，平面，所以，，
又，平面，所以平面，则平面，
又，平面，所以平面，
连接，，则为直线与平面所成的角，即，
所以，
为直线与平面所成的角，即，
所以，
所以，
又，设，，
所以，
所以，
令，则，
所以
，
因为，所以，
所以当时取得最大值，且最大值为，
所以.