广东省广州市奥林匹克中学2024~2025学年高三上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份广东省广州市奥林匹克中学2024~2025学年高三上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.）
1. 设集合，，则的子集个数为（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】B
【解析】
分析】
先计算，再计算其子集的个数即可.
【详解】因，，
，子集为，，，共个，
故选：B
2. 若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】求出，即得解.
【详解】由题得，
所以，
复数z对应的点为，在第一象限.
故选：A
3. 设是公差为正数的等差数列，若，，则（ ）
A. 12B. 35C. 75D. 90
【答案】B
【解析】
【分析】
求出首项和公差后可得．
【详解】设公差为，则，∵，故解得，
∴．
故选：B．
4. 的展开式中，常数项为（ ）
A. B. C. D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】利用二项式定理展开式直接计算可求得结果.
【详解】根据题意可知只有与的展开式中的一次项乘积为常数，
即.
故选：B
5. 《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述，比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为0.5丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦尺，弓形高寸，估算该木材镶嵌墙内部分的体积约为（）（注：一丈=10尺=100寸，）
A. 300立方寸B. 305.6立方寸C. 310立方寸D. 316.6立方寸
【答案】D
【解析】
【分析】算出截面图中阴影部分的面积后利用柱体的体积公式可求木材镶嵌墙内部分的体积.
【详解】设截面图中圆的半径为（寸），则，解得.
如图，在截面图中连接，设，
则，故即.
阴影部分的面积约为，
故木材镶嵌墙内部分的体积约为（立方寸），
故选：D.
【点睛】本题考查数学文化中几何体体积的计算，注意根据柱体的截面图来寻找几何体各几何量之间的关系，本题属于中档题.
6. 双曲线的左、右焦点分别为，且的一条渐近线与直线平行，则双曲线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用已知条件求出a、b、c的值代入方程即可
【详解】由题意知，解得，故双曲线的标准方程为．
故选：A．
7. 函数及，则及的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】讨论、确定的单调性和定义域、在y轴上的截距，再讨论、，结合的单调性，即可确定函数的可能图象.
【详解】当时，单调递减，单调递减，所以单调递增且定义域为，此时与y轴的截距在上，排除C.
当时，单调递减，单调递增，所以单调递减且定义域为，此时与y轴的截距在上.
∴当时，g(x)单调递增；当时，g(x)单调递减，故只有B符合要求.
故选：B.
8. 在长方体中，，，点在正方形内，平面，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
证明是正方形对角线交点，取是中点，是中点，则可得三棱锥的外接球球心在直线上，求出球半径可得表面积．
【详解】长方体中，平面，平面，∴，
又平面，平面，∴，
∵，∴平面，而平面，∴，
是正方形，∴是与交点，即为的中点，也是的中点．
是直角三角形，设是中点，是中点，则由可得平面（长方体中棱与相交面垂直），是的外心，三棱锥的外接球球心在直线上（线段或的延长线上）．
设，则，解得，
∴外接球半径为，
表面积为．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是确定球心位置，求出半径．应用结论：三棱锥的外接球球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.）
9. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 若，则为等腰直角三角形
C. 若，则的面积为
D. 若为锐角三角形，的最小值为1
【答案】AB
【解析】
【分析】A：根据正弦定理进行边化角，结合两角和差的正弦公式可得结果；B：根据正弦定理进行边化角求解出，则三角形形状可判断；C：根据正弦定理进行边化角求解出，结合三角形面积公式可求结果；D：先化简原式，然后分析的范围，判断原式的取值情况，由此可判断.
【详解】对于A：因为，所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以或，
当时，此时显然不成立，所以，即，故A正确；
对于B：因为，所以，
因为，所以，所以，所以，所以，
所以为等腰直角三角形，故B正确；
对于C：因为，所以，
因为，所以，所以，所以，所以，，
所以，所以，故C错误；
对于D：，
因为为锐角三角形，所以，所以，
所以，此时无最小值，故D错误；
故选：AB.
10. 设函数，已知在有且仅有5个零点，下述结论正确的是（ ）
A. 在有且仅有3个极大值点
B. 在有且仅有2个极小值点
C. 在单调递减
D. 的取值范围是
【答案】AD
【解析】
【分析】利用整体思想求出时，得出的范围，再根据正弦函数的图象，即可判断ABD；求出时，的范围，即可判断C.
【详解】对于D，由，得，
因为在有且仅有5个零点，
所以，解得，
所以的取值范围是，故D正确；
对于AB，因为，，
所以在有且仅有3个极大值点，
在有2个极小值点或3个极小值点，故A正确，B错误；
对于C，若，则，
因为，，
所以在单调递增，故C错误.
故选：AD.
11. 已知直线分别与函数和的图象交于点，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】函数和互为反函数，直线关于对称，点，关于点对称，，选项B正确.利用基本不等式证明可得选项A正确.由不等式的性质得，构造函数，求导利用单调性可得选项C错误.根据得，利用作差法可得选项D正确.
【详解】由得，，故函数和互为反函数，
两函数图象关于直线对称，直线与垂直，
故直线关于对称.
由得，故点，关于点对称，
所以.
由图可知，.
A. ，当且仅当，即时等号成立，
由于，故等号不成立，故，选项A正确.
B.由得，选项B正确.
C.因为，所以，故.
设，则，
因为，所以，故在上为增函数，
由得，即，
所以，选项C错误.
D.因为，所以，
所以，
所以，选项D正确.
故选：ABD.
【点睛】结论点睛：互为反函数的两个函数的性质：
①反函数的定义域和值域分别为原函数的值域与定义域；
②严格单调的函数存在反函数，但有反函数的函数不一定是单调的（比如反比例函数）；
③互为反函数的两个函数关于直线对称；
④奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也是奇函数；
⑤如果一个函数图象关于直线对称，那么这个函数一定存在反函数，并且其反函数就是它本身.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.）
12. 已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是__________.
【答案】3
【解析】
【分析】利用平面向量的数量积运算与单位向量的定义，即可列出方程求值.
【详解】由与的夹角为，可得：，
又因为，是互相垂直的单位向量，所以有，
则，
解得，
故答案为：.
13. A同学和B同学参加某市青少年围棋比赛并进入决赛，决赛采取“3局2胜”制，若A同学每局获胜的概率均为，且每局比赛相互独立，则在A先胜一局的条件下，A最终能获胜的穊率是__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出前两局甲胜以及甲第一局和第三局胜，第二局输的概率，根据条件概率的概率公式即可求得答案.
【详解】在A先胜一局的条件下，A再胜第二局，即前两局A胜的概率为，
A第一局和第三局胜，第二局输的概率为，
所以在A先胜一局的条件下，A最终能获胜的概率是.
故答案为：
14. 已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为的直线l交C于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q，若点F到C的准线的距离为3，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意得，可得抛物线的方程和直线的方程，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得中点的坐标和弦长AB，可得圆的半径，在中，由锐角三角函数的定义可得所求值.
【详解】
抛物线得焦点为，准线方程为，
由题意得，则抛物线方程为，，
直线方程为，
由得，，
设的横坐标为，则，，
所以，，圆的半径为4，
过点作轴于点，则，
在中，.
故答案为：.
四、解答题（本大题共5小题，共计77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知数列的前项和满足，数列是公差为的等差数列，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据之间关系求解出的通项公式，根据等差数列的定义求解出的通项公式，则通项公式可求；
（2）先计算出的通项公式，然后利用分组求和的方法求解出.
【详解】（1）由得，
当时，，
当时，，所以满足时的情况，
所以，
因为，所以；
（2）因为，
所以，所以.
【点睛】思路点睛：利用与的关系求解数列通项公式的思路：
（1）根据，先求解出时的通项公式；
（2）根据条件验证是否满足的情况；
（3）若满足，则的通项公式不需要分段书写；若不满足，则的通项公式需要分段书写.
16. 如图，在三棱柱中，与的距离为，，.
（1）证明：平面平面；
（2）若点N是棱的中点，求直线AN与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理以及线面垂直判定定理即可证明平面，再由面面垂直判定定理即可证明得出结论；
（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法得出平面的法向量计算即可得出结果.
【小问1详解】
证明：取棱的中点为，连接，
因为，所以，
因为，所以，
又因为与的距离为，可得，
又，可得；
因为，，满足，所以；
同理可得；
显然，且平面，所以平面；
又因为平面，
所以平面平面；
【小问2详解】
取的中点为，连接，取的中点为，连接，则.
由（1）可知，平面，所以平面.
因为平面，平面，所以；
因为，所以；
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，
则，
由可得，所以；
设平面的一个法向量为，
可得；
解得，令，可得，所以；
设直线AN与平面所成的角为，
则可得
即直线AN与平面所成角的正弦值为.
17. 已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）讨论极值点的个数.
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；
（2）求出函数的导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调性，即可得到函数的极值点个数.
【小问1详解】
当时，定义域为，
又，
所以，
由，解得，此时单调递增；
由，解得，此时单调递减，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
【小问2详解】
函数的定义域为，
由题意知，，
当时，，所以在上单调递增，
即极值点的个数为个；
当时，易知，
故解关于的方程得，，，
所以，
又，，
所以当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
即极值点的个数为个.
综上，当时，极值点的个数为个；当时，极值点的个数为个.
18. 已知椭圆，是的下焦点，过点的直线交于、两点，
（1）求的坐标和椭圆的焦距；
（2）求面积的最大值，并求此时直线的方程；
（3）在轴上是否存在定点，使得恒成立?若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），焦距为；（2）面积的最大值为，此时直线的方程为；（3）存在定点，使得恒成立．
【解析】
【分析】
（1）利用椭圆方程求出，，然后求解，即可得到结果．
（2）设直线，与椭圆方程联立．利用判别式以及韦达定理，结合弦长公式点到直线的距离公式，然后求解三角形的面积，利用基本不等式求解最值即可推出直线方程．
（3）由（2）得，，推出直线系方程，然后求解定点坐标．验证当直线的斜率不存在时，直线也过定点，即可．
【详解】（1）椭圆，可得，，所以，
，焦距为；
（2）由题意得直线的斜率存在，设直线，
由得，
所以，故，
设，，则，，
所以
(或用）
点到直线的距离，
所以，
令，则，
所以，当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为，此时直线的方程为；
（3）当直线的斜率存在时，由（2）得，，
因为，所以，
即，所以，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
当直线的斜率不存在时，直线也过定点，
故轴上存在定点，使得恒成立．
【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，解决本题的关键点是将恒成立转化为，利用两点连线斜率的坐标公式以及根与系数的关系，求出定点，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题．
19. 定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”．
（1）直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；
（2）已知函数求曲线的“双重切线”的方程；
（3）已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，…，，若（），证明：．
【答案】（1）是，理由见解析；
（2）；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用直线的斜率与导数的几何意义求得切点，再分别求切线方程验证即可.
（2）求出函数的导数，并设出切点，求出处的切线方程，再利用“双重切线”的定义求出切线方程.
（3）利用“双重切线”的定义，分别设出对应的切点，分别利用导数的几何意义得到对应切点之间的关系，再构造函数，利用导数结合零点存在性定理确定判的零点所在区间，然后借助不等式性质推理即得.
【小问1详解】
定义域为，求导得，直线的斜率为2，
令，解得，不妨设切点，
则点处的切线方程为，即，
点处的切线方程为，即，
所以直线是曲线的“双重切线”.
【小问2详解】
函数，求导得，
显然函数在上单调递增，函数在0,+∞上单调递减，
设切点，则存在，使得，
则在点处的切线方程为，在点处的切线方程为，
因此，消去可得，
令，求导得，
则函数在上单调递增，又，函数的零点为，因此，
所以曲线y=gx的“双重切线”的方程为.
【小问3详解】
设对应的切点为，对应的切点为，
由，得，，
由诱导公式及余弦函数周期性知，只需考虑，，其中，
由及余弦函数在上递增知，，
则，
，
因此，又，，
则，同理，
令，求导得，
则Fx在上单调递增，显然，且，
函数在上的值域为，即函数在上存在零点，则有，
由，同理可得，而，因此，
于是，即有，
所以，即.
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键点有两个：一是利用导数的几何意义求解切线的斜率；二是设切点并利用和切线方程得到之间的等式，进而消去一个未知数，构造函数利用导数的性质求得方程的零点.