广东省广州市天河中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷-A4

这是一份广东省广州市天河中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷-A4，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2，3，5B．3，3，6C．2，5，8D．3，5，7
3．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，5）关于y轴的对称点的坐标为（ ）
A．（﹣5，2）B．（2，5）C．（5，﹣2）D．（﹣2，﹣5）
4．（3分）如图，已知图中的两个三角形全等，则∠1的度数是（ ）
A．38°B．62°C．60°D．82°
5．（3分）若一个多边形的每个外角都为36°，则这个多边形是（ ）
A．六边形B．八边形C．十边形D．十二边形
6．（3分）已知等腰三角形的一个角为80°，则其顶角为（ ）
A．20°B．50°或80°C．10°D．20°或80°
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，直线DE是斜边AB的垂直平分线交AC于D．若AC＝8，BC＝6，则△DBC的周长为（ ）
A．12B．14C．16D．无法计算
8．（3分）如图，已知△ABC的周长是24，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，则△ABC的面积是（ ）
A．24B．48C．36D．30
二、多选题（有多个正确答案，本题有2个小题，每小题6分，满分12分）
（多选）9．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O．过点O作EF∥BC交AB于E．交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列结论正确的是（ ）
A．EF＝BE+CF
B．点O到∠ABC的两边的距离相等
C．∠BOC＝90°+∠A
D．设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn
（多选）10．（6分）如图，△ABC中AB＞AC，D，E分别为边BC，AB上的点，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点F，G为AD的中点，延长BG交AC于点H，则下列判断中正确的结论有（ ）
A．△ABG与△BDG面积相等B．
C．∠CAD+∠CBE+∠BCE＝90°D．AB﹣AC＝BE
三、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝50°，∠C＝20°，则∠B'＝ °．
12．（3分）如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝110°，∠A＝70°，则∠B＝ ．
13．（3分）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是 ．
14．（3分）等腰三角形一边长为4，另一边长为9，则它的周长是 ．
15．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，已知CB＝DF，∠C＝∠D，要使△ABC≌△EFD，还需添加一个条件，那么这个条件可以是 ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，直角边AC＝7cm，BC＝3cm，CD为斜边AB上的高，点E从点B出发，沿直线BC以2cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，则点E的运动时间t＝ s时，CF＝AB．
四、解答题（共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）如图，AC＝AE，AD＝AB，∠DAB＝∠EAC．求证：BC＝DE．
18．（6分）如图，∠A＝∠D＝90°，点B，E，F，C在同一直线上，AB＝CD，BE＝CF，求证：∠B＝∠C．
19．（6分）如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C都是格点．
（1）画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1．
（2）写出AA1的长度．
（3）求△ABC的面积．
20．（8分）△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE垂直平分AC，垂足为点E．
（1）求证：∠BAD＝∠C；
（2）∠BAD＝30°，求∠B的度数．
21．（8分）如图，两棵大树AB、CD之间相距13m，小华从点B沿BC方向往点C行走，8秒后到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和D，两条视线的夹角∠AED＝90°，且EA＝ED．已知大树AB的高为5m，求小华行走的平均速度．
22．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝45°，∠ACB＝90°，∠ACD为△ABC的一个外角．
（1）请按以下要求画出图形，并在图中标明相应字母．
①尺规作图：作∠ACD的平分线CM（保留作图痕迹，不写作法）；
②取线段AC的中点N，过N画AC的垂线，与CM交于点F，与AB交于点E．
（2）求证：FN＝EN．
23．（10分）等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．
（1）如图1，求证：∠BCO＝∠CAO
（2）如图2，若OA＝5，OC＝2，求B点的坐标
（3）如图3，点C（0，3），Q、A两点均在x轴上，且S△CQA＝18．分别以AC、CQ为腰在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，连接MN交y轴于P点，OP的长度是否发生改变？若不变，求出OP的值；若变化，求OP的取值范围．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（7a，0），B（0，﹣7a），点C为x轴负半轴上一点，AD⊥AB，∠1＝∠2．
（1）求∠ABC+∠D的度数；
（2）如图①，若点C的坐标为（﹣3a，0），求点D的坐标（结果用含a的式子表示）；
（3）如图②，在（2）的条件下，若a＝1，过点D作DE⊥y轴于点E，DF⊥x轴于点F，点M为线段DF上一点，若第一象限内存在点N（n，2n﹣3），使△EMN为等腰直角三角形，请直接写出符合条件的N点坐标，并选取一种情况计算说明．
2024-2025学年广东省广州市天河中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、C、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2，3，5B．3，3，6C．2，5，8D．3，5，7
【分析】利用三角形三边关系判断即可，两边之和＞第三边＞两边之差．
【解答】解：根据三角形的三边关系，知
A、2+3＝5，不能组成三角形；
B、3+3＝6，不能组成三角形；
C、2+5＜8，不能组成三角形；
D、3+5＞7，能组成三角形．
故选：D．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
3．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，5）关于y轴的对称点的坐标为（ ）
A．（﹣5，2）B．（2，5）C．（5，﹣2）D．（﹣2，﹣5）
【分析】利用关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y），进而得出答案．
【解答】解：点P（﹣2，5）关于y轴对称点的坐标是：（2，5）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确把握对称点的横、纵坐标的关系是解题关键．
4．（3分）如图，已知图中的两个三角形全等，则∠1的度数是（ ）
A．38°B．62°C．60°D．82°
【分析】根据全等三角形对应角相等可知∠1是a、b边的夹角，然后写出即可．
【解答】解：∵两个三角形全等，∠1是a、b之间的夹角，
∴∠1＝38°，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
5．（3分）若一个多边形的每个外角都为36°，则这个多边形是（ ）
A．六边形B．八边形C．十边形D．十二边形
【分析】据多边形的边数等于360°除以每一个外角的度数列式计算即可得解．
【解答】解：360°÷36°＝10．
故这个多边形是十边形．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和、多边形的每一个外角的度数、多边形的边数三者之间的关系是解题的关键．
6．（3分）已知等腰三角形的一个角为80°，则其顶角为（ ）
A．20°B．50°或80°C．10°D．20°或80°
【分析】等腰三角形一内角为80°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．
【解答】解：（1）当80°角为顶角时，其顶角为80°
（2）当80°为底角时，得顶角＝180°﹣2×80°＝20°；
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；涉及到等腰三角形的角的计算，若没有明确哪个是底角哪个是顶角时，要分情况进行讨论．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，直线DE是斜边AB的垂直平分线交AC于D．若AC＝8，BC＝6，则△DBC的周长为（ ）
A．12B．14C．16D．无法计算
【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到DA＝DB，根据三角形周长公式求出周长．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
△DBC的周长为CB+CD+DB
＝CB+CD+DA
＝BC+CA
＝6+8
＝14，
故选：B．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8．（3分）如图，已知△ABC的周长是24，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，则△ABC的面积是（ ）
A．24B．48C．36D．30
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得点O到AB、AC、BC的距离都相等，从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以OD，然后列式进行计算即可求解．
【解答】解：如图，连接OA，
依题意，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴点O到AB、AC、BC的距离都相等，
∵△ABC的周长是24，OD⊥BC于D，且OD＝3，
∴△ABC的面积为：S＝×AB×3+×AC×3+×BC×3＝×24×3＝36，
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键．
二、多选题（有多个正确答案，本题有2个小题，每小题6分，满分12分）
（多选）9．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O．过点O作EF∥BC交AB于E．交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列结论正确的是（ ）
A．EF＝BE+CF
B．点O到∠ABC的两边的距离相等
C．∠BOC＝90°+∠A
D．设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn
【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得C∠BOC＝90°+∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF＝BE+CF故A正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故B正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得D设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn，故D错误．
【解答】解：在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A；故C正确；
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，
∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝OE+OF＝BE+CF，
故A正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON＝OD＝OM＝m，
∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝AE•OM+AF•OD＝OD•（AE+AF）＝mn；故D错误；
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到△ABC各边的距离相等，故B正确，
故选：ABC．
【点评】此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
（多选）10．（6分）如图，△ABC中AB＞AC，D，E分别为边BC，AB上的点，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点F，G为AD的中点，延长BG交AC于点H，则下列判断中正确的结论有（ ）
A．△ABG与△BDG面积相等B．
C．∠CAD+∠CBE+∠BCE＝90°D．AB﹣AC＝BE
【分析】根据三角形的高线、中线的性质及全等三角形与三角形内角和定理依次进行判断即可得出结果．
【解答】解：∵G为AD中点，
∴BG是△ABD的中线，
∴△ABG与△BDG面积相等，
∴选项A正确，符合题意；
∵AD平分∠BAC，CE⊥AD，
∴∠EAF＝∠CAF，∠AFE＝∠AFC＝90°，
在△AFE与△AFC中，
，
∴△AFE≌△AFC，
∴AE＝AC，∠AEC＝∠ACE，
∵AB﹣AE＝BE，
∴AB﹣AC＝BE，
∴选项D正确，符合题意；
∵∠AEC＝∠CBE+∠BCE，
∴∠ACE＝∠CBE+∠BCE，
∵∠CAD+∠ACE＝90°，
∴∠CAD+∠CBE+∠BCE＝90°，
∴选项C正确，符合题意，
假设，
∵，
∴∠EAF＝∠CAF＝∠BCE，
∵∠EAF+∠ACF＝90°，
∴∠BCE+∠ACF＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACB不一定为90°，
∴假设不成立，
∴，
∴选项B错误，不符合题意，
故选：ACD．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理及三角形的基本性质，熟练掌握全等三角形与三角形的基本性质是解题关键．
三、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝50°，∠C＝20°，则∠B'＝ 110 °．
【分析】利用三角形内角和定理求出∠B，再利用轴对称的性质解决问题即可．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴∠B′＝∠B，
∵∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣20°＝110°，
∴∠B′＝110°，
故答案为：110．
【点评】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12．（3分）如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝110°，∠A＝70°，则∠B＝ 40° ．
【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此即可计算．
【解答】解：∵∠ACD＝110°，∠A＝70°，
∴∠B＝∠ACD﹣∠A＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
13．（3分）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是 8 ．
【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）可得方程180（x﹣2）＝1080，再解方程即可．
【解答】解：设多边形边数有x条，由题意得：
180（x﹣2）＝1080，
解得：x＝8，
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）•180 （n≥3）．
14．（3分）等腰三角形一边长为4，另一边长为9，则它的周长是 22 ．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当等腰三角形的三边为：4、4、9时，不符合三角形三边关系，因此这种情况不成立；
当等腰三角形的三边为：4、9、9时，符合三角形三边关系，则三角形的周长为：4+9+9＝22．
因此等腰三角形的周长为22．
故填22．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯．
15．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，已知CB＝DF，∠C＝∠D，要使△ABC≌△EFD，还需添加一个条件，那么这个条件可以是 AC＝ED或∠A＝∠FED或∠ABC＝∠F ．
【分析】要使△ABC≌△EFD，已知CB＝DF，∠C＝∠D，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可．
【解答】解：要使△ABC≌△EFD，已知CB＝DF，∠C＝∠D，
则可以添加AC＝ED，运用SAS来判定其全等；
也可添加一组角∠A＝∠FED或∠ABC＝∠F运用AAS来判定其全等．
故答案为：AC＝ED或∠A＝∠FED或∠ABC＝∠F．
【点评】本题主要考查了三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，直角边AC＝7cm，BC＝3cm，CD为斜边AB上的高，点E从点B出发，沿直线BC以2cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，则点E的运动时间t＝ 2或5 s时，CF＝AB．
【分析】先证明△CEF≌△ACB（AAS），得出CE＝AC＝7cm，①当点E在射线BC上移动时，BE＝CE+BC＝＝10cm，即可求出E移动了5s；②当点E在射线CB上移动时，CE′＝AC﹣BC＝4cm，即可求出E移动了2s．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠CBD＝90°，
∵CD为AB边上的高，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD+∠CBD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵∠BCD＝∠ECF，
∴∠ECF＝∠A，
∵过点E作BC的垂线交直线CD于点F，
∴∠CEF＝90°＝∠ACB，
在△CEF和△ACB中，
，
∴△CEF≌△ACB（AAS），
∴CE＝AC＝7cm，
①如图，当点E在射线BC上移动时，BE＝CE+BC＝7+3＝10（cm），
∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，
∴E移动了：＝5（s）；
②当点E在射线CB上移动时，CE′＝AC﹣BC＝7﹣3＝4（cm），
∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，
∴E移动了：＝2（s）；
综上所述，当点E在射线CB上移动5s或2s时，CF＝AB；
故答案为：2或5．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键．
四、解答题（共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）如图，AC＝AE，AD＝AB，∠DAB＝∠EAC．求证：BC＝DE．
【分析】根据等式的性质得出∠DAE＝∠BAC，进而利用SAS证明△ADE与△ABC全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：∵∠DAB＝∠EAC，
∴∠DAB﹣∠EAB＝∠EAC﹣∠EAB，
即∠DAE＝∠BAC，
在△ADE与△ABC中，
，
∴△ADE≌△ABC（SAS），
∴BC＝DE．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，根据SAS可证明三角形全等，从而可得出结论．
18．（6分）如图，∠A＝∠D＝90°，点B，E，F，C在同一直线上，AB＝CD，BE＝CF，求证：∠B＝∠C．
【分析】根据在线段BC上BE＝CF，判断出BF＝EC，利用“HL”证出Rt△ABF≌Rt△DCE，进而判断出∠B＝∠C．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
∴BF＝EC，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），
∴∠B＝∠C，
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，找到全等三角形的判定的适用条件是解题的关键．
19．（6分）如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C都是格点．
（1）画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1．
（2）写出AA1的长度．
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据成轴对称的性质即可画出△A1B1C1；
（2）根据对称的性质即可求解；
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】（1）如图，△A1B1C1即为所求作；
（2）根据对称的性质得AA1＝10；
（3）S△ABC＝5×3﹣×3×3﹣×2×2﹣×5×1＝6．
【点评】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
20．（8分）△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE垂直平分AC，垂足为点E．
（1）求证：∠BAD＝∠C；
（2）∠BAD＝30°，求∠B的度数．
【分析】（1）首先根据角平分线的定义可求出∠BAD＝∠DAE，再根据线段的垂直平分线的性质得到AD＝DC，即有∠C＝∠DAE，问题得解；
（2）结合（1）的结论可得∠BAD＝∠C＝∠DAE＝30°，再根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAE，
∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠C＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠C；
（2）解：∵AD平分∠BAC，∠BAD＝30°，∠BAD＝∠C，
∴∠BAD＝∠C＝∠DAE＝30°，
∴∠BAC＝2∠BAD＝60°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠BCA＝180°﹣60°﹣30°＝90°．
【点评】本题考查了角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等边对等角，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
21．（8分）如图，两棵大树AB、CD之间相距13m，小华从点B沿BC方向往点C行走，8秒后到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和D，两条视线的夹角∠AED＝90°，且EA＝ED．已知大树AB的高为5m，求小华行走的平均速度．
【分析】先根据三角形全等的判定定理证出△ABE≌△ECD，再根据全等三角形的性质可得AB＝CE＝5m，从而可得BE＝BC﹣CE＝13﹣5＝8（m），问题随之得解．
【解答】解：由题意得：AB⊥BC，CD⊥BC，∠AED＝90°，BC＝13m，AB＝5m，
∴∠B＝∠C＝90°＝∠AED，
∴∠A+∠AEB＝∠CED+∠AEB＝90°，
∴∠A＝∠CED，
在△ABE和△ECD中，
，
∴△ABE≌△ECD（AAS），
∴AB＝CE＝5，
∴BE＝BC﹣CE＝13﹣5＝8（m），
∴小华行走的平均速度：8m÷8s＝1m/s，
答小华行走的平均速度为1m/s．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
22．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝45°，∠ACB＝90°，∠ACD为△ABC的一个外角．
（1）请按以下要求画出图形，并在图中标明相应字母．
①尺规作图：作∠ACD的平分线CM（保留作图痕迹，不写作法）；
②取线段AC的中点N，过N画AC的垂线，与CM交于点F，与AB交于点E．
（2）求证：FN＝EN．
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）根据ASA证明△ANE≌△CNF可得结论．
【解答】（1）解：图形如图所示；
（2）证明：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，
∴∠B＝∠A＝45°，
∵CM平分∠ACD，∠ACD＝90°，
∴∠MCA＝45°，
∴∠ECN＝∠EAN，
∵EF垂直平分线段AC，
∴AN＝CN，
在∠ANE和△CNF中，
，
∴△ANE≌△CNF（ASA），
∴FN＝EN．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
23．（10分）等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．
（1）如图1，求证：∠BCO＝∠CAO
（2）如图2，若OA＝5，OC＝2，求B点的坐标
（3）如图3，点C（0，3），Q、A两点均在x轴上，且S△CQA＝18．分别以AC、CQ为腰在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，连接MN交y轴于P点，OP的长度是否发生改变？若不变，求出OP的值；若变化，求OP的取值范围．
【分析】（1）根据同角的余角相等得出结论即可；
（2）先过点B作BD⊥y轴于D，再判定△CDB≌△AOC（AAS），求得BD＝CO＝2，CD＝AO＝5，进而得出OD＝5﹣2＝3，即可得到B点的坐标；
（3）先过N作NH∥CM，交y轴于H，再△HCN≌△QAC（ASA），得出CH＝AQ，HN＝QC，然后根据点C（0，3），S△CQA＝18，求得AQ＝12，最后判定△PNH≌△PMC（AAS），得出CP＝PH＝CH＝6，即可求得OP＝3+6＝9（定值）．
【解答】解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，∠AOC＝90°，
∴∠BCO+∠ACO＝90°＝∠CAO+∠ACO，
∴∠BCO＝∠CAO；
（2）如图2，过点B作BD⊥y轴于D，则∠CDB＝∠AOC＝90°，
在△CDB和△AOC中，
，
∴△CDB≌△AOC（AAS），
∴BD＝CO＝2，CD＝AO＝5，
∴OD＝5﹣2＝3，
又∵点B在第三象限，
∴B（﹣2，﹣3）；
（3）OP的长度不会发生改变．
理由：如图3，过N作NH∥CM，交y轴于H，则
∠CNH+∠MCN＝180°，
∵等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，
∴∠MCQ+∠ACN＝180°，
∴∠ACQ+∠MCN＝360°﹣180°＝180°，
∴∠CNH＝∠ACQ，
又∵∠HCN+∠ACO＝90°＝∠QAC+∠ACO，
∴∠HCN＝∠QAC，
在△HCN和△QAC中，
，
∴△HCN≌△QAC（ASA），
∴CH＝AQ，HN＝QC，
∵QC＝MC，
∴HN＝CM，
∵点C（0，3），S△CQA＝18，
∴×AQ×CO＝18，即×AQ×3＝18，
∴AQ＝12，
∴CH＝12，
∵NH∥CM，
∴∠PNH＝∠PMC，
∴在△PNH和△PMC中，
，
∴△PNH≌△PMC（AAS），
∴CP＝PH＝CH＝6，
又∵CO＝3，
∴OP＝3+6＝9（定值），
即OP的长度始终是9．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导计算．解题时注意：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（7a，0），B（0，﹣7a），点C为x轴负半轴上一点，AD⊥AB，∠1＝∠2．
（1）求∠ABC+∠D的度数；
（2）如图①，若点C的坐标为（﹣3a，0），求点D的坐标（结果用含a的式子表示）；
（3）如图②，在（2）的条件下，若a＝1，过点D作DE⊥y轴于点E，DF⊥x轴于点F，点M为线段DF上一点，若第一象限内存在点N（n，2n﹣3），使△EMN为等腰直角三角形，请直接写出符合条件的N点坐标，并选取一种情况计算说明．
【分析】（1）如图1中，设CD与y轴交于点E．根据四边形内角和定理，只要证明∠BCD+∠BAD＝180°即可解决问题．
（2）如图1中，求出直线AB、BC的解析式，再求出直线AD、CD的解析式，利用方程组求交点D坐标．
（3）分四种情形，利用全等三角形的性质，列出方程分别求解即可．
【解答】解：（1）如图1中，设CD与y轴交于点E．
∵AD⊥AB，
∴∠BAD＝90°，
∵∠1+∠BCO＝90°，∠1＝∠2，
∴∠BCO+∠2＝90°，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
∴∠ABC+∠D＝360°﹣（∠BCD+∠BAD）＝180°．
（2）如图1中，
∵A（7a，﹣7a），B（0，﹣7a），
∴直线AB的解析式为y＝x﹣7a，
∵AD⊥AB，
∴直线AD的解析式为y＝﹣x+7a，
∵C（﹣3a，0），B（0，﹣7a），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣7a，
∵CD⊥BC，
∴直线CD的解析式为y＝x+a，
由解得，
∴点D的坐标为（4a，3a）．
解法二：作CM⊥AD于M，CN⊥AB于N，DH⊥AC于H．
首先证明：△CMD≌△CNB，再证明△BOC≌△CHD即可．
（3）①如图2中，作NG⊥OE于G，GN的延长线交DF于H．
∵△NEM是等腰直角三角形，
∴EN＝MN，∠ENM＝90°，
由△ENG≌△NMH，得EG＝NH，
∵N（n，2n﹣3），D（4，3），
∴HN＝EG＝3﹣（2n﹣3）＝6﹣2n
∵GH＝4，
∴n+6﹣2n＝4，
∴n＝2，
∴N（2，1）．
②如图3中，作NG⊥OE于G，MH⊥OE于H．
由△ENG≌△MEH，得GE＝HM＝4，
∴OG＝7＝2n﹣3，
∴n＝5，
∴N（5，7），此时点M不在线段DF上，不符合题意舍去．
③如图4中，作NG⊥OE于G，GN的延长线交DF于H．
由△ENG≌△NMH得EG＝NH＝4﹣n，
∴3+4﹣n＝2n﹣3，
∴n＝，
∴N（，）．
④如图5中，作MG⊥OE于G，NH⊥GM于H．
由△EMG≌△MNH得EG＝MH＝n﹣4，MG＝NH＝4
∴GH＝n，
∴3﹣（n﹣4）+4＝2n﹣3，
∴n＝，
∴N（，）．
综上所述，满足条件的点N的坐标为（2，1）或（，）或（，）．
【点评】本题考查三角形综合题、四边形内角和定理、一次函数的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会构建一次函数，利用方程组解决交点问题，学会解题常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．