广东省深圳市福田区联考2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷答案-A4

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这是一份广东省深圳市福田区联考2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷答案-A4，共16页。试卷主要包含了方程的解正确的是，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形中，不是相似图形的一组是
A．B．
C．D．
【解答】解：、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意；
故选：．
2．（3分）若正方形的边长为1，则该正方形的对角线长为
A．1B．C．2D．4
【解答】解：正方形的边长为1，
对角线长为，
故选：．
3．（3分）方程的解正确的是
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：，
，
或，
解得，，
故选：．
4．（3分）若，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为
A．2B．3C．4D．6
【解答】解：，，，是成比例线段，
，
，
，，，
，
解得：．
故选：．
5．（3分）下列说法正确的是
A．菱形的对角线相等
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的菱形是正方形
D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
【解答】解：、菱形的对角线不一定相等，故不符合题意；
、四个内角都相等的四边形是矩形，故符合题意；
、菱形的邻边本来就是相等，无法得到正方形，故不符合题意；
、两条对角线垂直且平分的四边形是菱形，故不符合题意；
故选：．
6．（3分）如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，，且测得，，，那么该古城墙的高度是
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意得，
，，
，
，
，即，
解得：．
答：该古城墙的高度为．
故选：．
7．（3分）《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小唐按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为
A．4B．6C．8D．10
【解答】解：阴影部分的面积为64，
，
设，则，
先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为，
故选：．
8．（3分）如图，在矩形中，，，动点，同时出发，点从点出发以的速度向点移动，一直到达点为止，点从点出发以的速度向点移动．请问当点和点的距离是时，、两点出发了秒．
A．4B．或4C．或8D．
【解答】解：（秒
过点作于点，则四边形是矩形，如图所示．
当运动时间为秒时，，，
．
根据题意得：，
即，
整理得：，
解得：，，
当点和点的距离是时，、两点出发了或4秒．
故选：．
二.填空题：（每小题3分，共计15分）
9．（3分）已知关于的一元二次方程的一个根为4，则 3 ．
【解答】解：由题意得：把代入方程中得：
，
解得：，
故答案为：3．
10．（3分）某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车后视镜设计为整个车身黄金分割点的位置，若该车车身总长约为5米，则车头与后视镜的水平距离约为米．（提示：黄金分割比
【解答】解：汽车后视镜设计为整个车身黄金分割点的位置，该车车身总长约为5米，
（米，
（米，
车头与后视镜的水平距离约为米，
故答案为：．
11．（3分）衣橱中挂着3套不同的服装，若从衣橱中随机取一件上衣和一条裤子，恰好是同一套的概率是．
【解答】解：令3件上衣分别为、、，对应的裤子分别为、、，
画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中取自同一套的有3种可能，
所以取自同一套的概率为，
故答案为：．
12．（3分）如图，在△中，，点，，分别，，的中点，若，则的长为 5 ．
【解答】解：，点，，分别，，的中点，
为三角形的中位线，，
，
；
故答案为：5．
13．（3分）如图，在△中，，，点、分别在、上，，，交于点，则△的面积的最大值是 2 ．
【解答】解：连接，过点作于，如图所示：
，，
，
，
△△，△△，
，，
，
，
，
，
，
，
一定，当最大时，△的面积最大，
，
时，最大，
即当时，△的面积最大，最大值，
△的面积的最大值，
故答案为：2．
三.解答题：（本题共7小题，其中第14题6分，第15题7分，第16题7分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共计61分）
14．（6分）解方程：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
，
，
，
，
，；
（2），
，
，
或，
，．
15．（7分）某校为了解九年级学生对深圳哪类研学内容最感兴趣（每人仅能选一类）
．源远流长的饮食文化；．享誉世界的改革开放文化；
．可歌可泣的抗战文化；．感天动地的移民文化．
从九年级学生中随机抽取若干名学生进行调查，绘制了如图所示的统计表和扇形统计图．
抽取的学生最感兴趣的研学内容统计表
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： 15 ，，（请填小数）；
（2）若该校九年级共有540名学生，估计选择“．可歌可泣的抗战文化”的有多少人？
（3）小聪和小睿参加了本次调查，请用列表或画树状图的方法求他们选择同一类内容的概率．
【解答】解：（1）由题意得，调查的总人数为（人，
，，．
故答案为：15；12；0.2．
（2）（人．
估计选择“．可歌可泣的抗战文化”的约有108人．
（3）列表如下：
共有16种等可能的结果，其中他们选择同一类内容的结果有4种，
他们选择同一类内容的概率为．
16．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△的顶点坐标分别为，，．
（1）画出将△向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△；
（2）以原点为位似中心，在轴的右侧画出△的一个位似△，使它与△的相似比为；
（3）判断△和△是否是位似图形（直接写结果），若是，请在图中标出位似中心点，并写出点的坐标．
【解答】解：（1）如图1，△即为所求．
（2）如图2，△即为所求．
（3）△和△是位似图形；理由如下：
如图3，
点即为位似中心，．
17．（8分）如图，在中，分别是，的中点，，延长到点，使得，连．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
【解答】（1）证明：、分别是、的中点，
且，
又，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2）解：，
，
是等边三角形，
，
过点作于点，
，
．
18．（9分）根据以下素材，探索完成任务．
【解答】解：任务1：依题意，镇流器补进90件，学校补进镇流器和灯管共元，
答：若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共15600元，
任务2：设镇流器补进件，若，刚补进镇流器的单价为（元，
补进灯管的总价为：（元，
故答案为：；．
任务3：依题意，，
解得：，，
．
．
当时，
依题意，，
解得：，
当时，镇流器的单价固定为50元，
，
．
答：补进镇流器100件或60件或150件．
19．（12分）【项目学习】
配方法是数学中一种常见的解题方法，利用配方法可求一元二次方程的根．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题．
例1．把代数式进行配方．
解：原式
例2．求代数式的最大值．
解：原式
的最大值为．
【问题解决】
（1）若，，满足，求的值．
（2）若△的三边长，，均为整数，，，满足，求△的周长．
【迁移应用】
（3）如图，有一块锐角三角形余料，它的边厘米，高厘米．现要用它裁出一个矩形工件，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在、上．
①设，试用含的代数式表示矩形工件的面积；
②运用“配方法”求的最大值．
【解答】解：（1）由题意，，
又，
，，
；
（2），
．
．
，．
；
（3）①设的长度是厘米，的长度是厘米时，
四边形为矩形，
，
△△，
，
，
与之间的函数关系式为，
矩形面积；
②
，
故当的长度是6厘米时，矩形零件的面积最大，最大面积为24平方厘米．
20．（12分）综合与实践
【问题背景】
活动课上，同学们以正方形为背景，探究图形运动中的数学结论，各小组精心设计一些题目，选取以下3个图形进行研究．已知正方形中，，点是射线上的一个动点，连接，以为边作正方形（点在边所在直线的上方），连接．
【探索发现】
（1）如图1，“会学习”小组画出了点与点重合时的图形，此时点到边所在直线的距离 6 ；
（2）如图2，“勤探究”小组画出点恰好是线段中点时的图形，请解答如下问题：
①判断线段与的数量关系，并说明理由；
②写出此时点到边所在直线的距离，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，“能合作”小组画出了点在线段延长线上时的情形，与交于点．若点是线段的三等分点，请直接写出此时的长．
【解答】解：（1）四边形、为正方形，
，，，
，
此时点到边所在直线的距离为6，
故答案为：6；
（2）①；理由如下：
如图2，作于，，
四边形、为正方形，
，，，
，
，
，
△△，
，，
为的中点，
，
，
，
，
；
②点到边所在直线的距离为6；理由如下：
由①可得：，
此时点到边所在直线的距离为6；
（3）如图3，作于，作交于，
四边形、为正方形，
，，，
，
，
，
，
△△，，
，，
设，则，，
，
△△，
，
点是线段的三等分点，
或，
或，
或，
当时，
，
△△，
，
，
解得：或（不符合题意，舍去），
，
当时，
，
△△，
，
，
解得：或（不符合题意，舍去），
，
研学内容
人数
频率
24
0.4
9
素材1
某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器．
素材2
该校后勤部准备补进灯管和镇流器共400件．批发市场灯管的单价为30元，镇流器的单价为80元．商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于50元．
问题解决
任务1
若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共多少元？
任务2
设镇流器补进件，若，刚补进镇流器的单价为元，补进灯管的总价为（用含的代数式表示）；
任务3
若学校后勤部补进镇流器和灯管共花15000元，求补进镇流器多少件？