贵州省贵阳市清镇市博雅实验学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份贵州省贵阳市清镇市博雅实验学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题，附加题等内容，欢迎下载使用。
（总分值150+15，考试时间120分钟）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1. 已知集合,，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的交集和并集，直接计算即可得解.
【详解】因为， A正确，B错误；
因为，所以C错误，D错误.
故选：A.
2. 命题，的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称命题的否定形式，即得解
【详解】根据全称命题的否定形式，命题，的否定是：，.
故选：C
3. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数有意义列式可解得结果．
【详解】由函数有意义可得，解得且，
所以函数的定义域为
故选：C
4. 如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（ ）
A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 对，都有么，当且仅当时等号成立
D. 对，都有么，当且仅当时等号成立
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合小于或等于圆半径求解即可.
【详解】由题意，由于小于或等于圆的半径，是圆的直径，
且，，
所以，当且仅当时等号成立.
故选：C.
5. 关于的不等式的解集是（ ）
A. 或B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】由，即，
解得或，
所以不等式的解集是或.
故选：B.
6. 下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数定义域和对应关系，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断.
【详解】对A：的定义域为，的定义域为，定义域不同；
对B：的定义域为，的定义域为，定义域不同；
对C：的定义域为，的定义域为，定义域不同；
对D：定义域都为，且，故两函数相等；
故选：.
【点睛】本题考查函数相等的判断，一般从定义域和对应关系入手考虑即可，同时要注意细节即可.
7. 已知命题，，若命题是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知：，是真命题，解不等式即可求解.
【详解】由于命题是假命题，则是真命题，
即，是真命题，
，解得．
故选：B．
8. 随着清镇市城市规模的扩大、城市经济发展水平的不断提高，为了清镇市巡游出租车市场健康发展、提高巡游出租车驾驶员的服务质量、保障人民群众合法利益，结合清镇实际，在充分听取各方面意见和建议的基础上，经市人民政府同意，现建立市区巡游出租汽车油价——运价联动机制及对运价结构进行调整，于2023年8月2日起施行．现将相关事宜告知如下：（1）起步价：白天（06:30—22:00下同）7元、夜间（22:00—06:30下同）10元（白天、夜间所示时间下同），起租里程：3公里；（2）车公里单价：白天3公里以上5公里以内每行驶500米跳表0.80元，5公里以上每行驶500米跳表1.20元；夜间行车3公里以上5公里以内每行驶500米跳表1.00元；5公里以上每行驶500米跳表1.50元．小华同学在周日下午14:00—15:00乘坐出租车返校，已知他家离学校打车距离刚好8公里，则返校时按计价表支付，他需要给出租车司机（ ）元．【1公里1000米】
A. 13.6B. 15C. 17.4D. 19
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，结合题设求解即可.
【详解】由题意，他需要给出租车司机：元．
故选：C.
二、多项选择题：本题共2小题，每小题满分6分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题为假命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】CD
【解析】
【分析】AC选项，可利用不等式的性质进行判断；BD选项，可利用作差法比较大小.
【详解】A选项，两边同乘以，，A为真命题；
B选项，，则，故，
所以，B为真命题；
C选项，两边同乘以得，两边同乘以得，
所以，C为假命题；
D选项，，则，，故，
所以，D为假命题.
故选：CD
10. 下列函数中，当时，函数是减函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】AD选项，可利用解析式直接得到单调性；BC选项，根据二次函数的开口方向和对称轴作出判断.
【详解】A选项，在R上单调递减，当时，是减函数，A正确；
B选项，对称轴为，开口向上，
故在上单调递减，B正确；
C选项，对称轴为轴，开口向上，故在上单调递增，C错误；
D选项，在上单调递减，D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．
11. 已知，则______.
【答案】
【解析】
【分析】直接代入求解.
【详解】∵，
∴
故答案为：-1.
12. 设，，，，若，则____________ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据集合之间的等量关系，建立方程，可得答案.
【详解】，，，，，
，，，，；
故答案为：.
13. 已知关于x的不等式对一切实数都成立，则满足条件的实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据二次项系数是否为0分类：二次项系数为0时，代入成立；二次项系数不为0
时，根据二次函数性质，可知开口向下，判别式为负，即可得实数的取值范围.
【详解】当时，得，显然成立；
当时，由对一切实数都成立，得，
解得，
综上，实数的取值范围为.
故答案为：
14. 设，，若p是的充分不必要条件，则实数m的取值范围是______；若是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是______.
【答案】 ①. 或 ②. 或
【解析】
【分析】先化简命题 ，再根据两命题满足的条件建立不等式求解参数即可
【详解】由可得；由可得
所以满足：或
p是的充分不必要条件，则，或，即或
则满足：或
若是q的必要不充分条件，则或，即或
故答案：或；或
四、解答题：本题共5小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 求下列函数的定义域：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）且
【解析】
【分析】（1）由分母不为0，求出函数的定义域即可；
（2）由二次根式被开方数大于等于0列出不等式组，求出函数的定义域即可；
（3）由恒成立，进而求解函数的定义域；
（4）由分母不为0，求出函数的定义域即可
【小问1详解】
由，解得，
所以函数的定义域为.
【小问2详解】
由，解得，
所以函数的定义域为.
【小问3详解】
由恒成立，所以函数的定义域为.
【小问4详解】
由，解得且，
所以函数的定义域为且.
16. （1）已知、、都是正数，求证：．
（2）已知，求的最大值.
（3）已知，求的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）3
【解析】
【分析】（1）根据基本不等式可得，，，进而求证即可；
（2）直接利用基本不等式求解即可；
（3）先整理，再利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）证明：因为、、都是正数，
所以，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
所以，
当且仅当时等号成立.
（2）由，则，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即的最大值为.
（3）由，得，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为3．
17. 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：元）与仓库到车站的距离（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为2万元和8万元.
（1）写出函数，的函数解析式：
（2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和（）最小？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接设出，根据题设条件可求出，，再根据实际问题知，即可求出结果；
（2）由（1）知，，再利用基本不等式即可求出结果.
【小问1详解】
由题可设，
又在距离车站处建仓库，则和分别为2万元和8万元，
所以，得到，，得到，
又由实际问题知，
故.
【小问2详解】
由（1）知，
当且仅当，即千米时，取等号，
所以这家公司应该把仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和（）最小.
18. （1）把函数写出分段函数形式，并在答题卡上画出该函数的图象，写上该函数的定义域与值域（不需要过程）
（2）给定函数．
（i）在答题卡上的同一个坐标系画出函数f(x),g(x)的图象；

（ii），用表示f(x),g(x)中的较小者，记为，请分别用图象法和解析法表示函数．
【答案】（1），图象见解析；（2）（i）图象见解析；（ii）图象见解析，.
【解析】
【分析】（1）去掉绝对值，得到分段函数，并画出函数的图象，由图象可写出函数的定义域和值域；
（2）（i）分析出的图象特征，画出函数图象；
（ii）在（i）基础上，画出的图象，并根据图象写出解析式.
【详解】（1），
该函数的图象如下：

由图象可知，定义域为R，值域为；
（2）（i）为一次函数，其图象为一条直线，经过点，
为二次函数，其图象为抛物线，开口向上，顶点坐标为1,0，
故在答题卡上的同一个坐标系画出函数f(x),g(x)的图象，如下：

（ii）的图象如下：

解析法表示为.
19. 已知函数，点是图象上的两点．
（1）求的值：
（2）用定义判断函数在上的单调性，并求该函数的最大值和最小值.
（3）若函数，求函数的值域．
【答案】（1）
（2）函数在上单调递减，，
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意将两点代入函数解析式列出方程组即可求解；
（2）根据函数单调性的定义判断即可，进而结合单调性求解最值；
（3）由题意可得，令，进而结合对勾函数的性质求解即可.
【小问1详解】
由题意，得，解得.
小问2详解】
由（1）知，，
任取，且，
则，
因为，所以，，
则，即，
所以函数在上单调递减，
则，.
【小问3详解】
由（1）知，，
则，，
令，则，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，且时，，
所以函数的值域为．
五、附加题（15分）
20. 已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，．
（1）求的值，并证明：当时，；
（2）请证明函数在是单调递减函数；
（3）若，求不等式的解集．
【答案】（1），证明过程见解析
（2）证明过程见解析 （3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）赋值得到，并设，，结合条件得到，从而证明出时，；
（2）任取且，令，结合条件得到，即，证明出结论；
（3），由（2）中求出的函数单调性，得到，分，，，和五种情况，得到不等式解集.
【小问1详解】
中，令得，故，
中，设，，，
则，则，
由题意，则，
故当时，，证毕
【小问2详解】
任取且，
中，令，，
则，即，
时，，故，
即，
所以在是单调递减函数；
【小问3详解】
，，
由（2）知，在单调递减函数，
所以，
当时，不等式为，解得，
当时，的两根为，
故，解得或，
当时，的两根为，
当时，，
故，解得，
当时，，
故，解集为，
当时，，
故，解得，
综上，当时，解集为；
当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.