四川省广安友实学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份四川省广安友实学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由集合交集运算即可求解
【详解】，
所以
故选：A
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据存在量词命题否定形式，即可求解.
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：C
3. “”是“”成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用充分条件、必要条件的定义直接判断即可.
【详解】当时，；而当时，或，
所以“”是“”成立的充分不必要条件.
故选：A
4. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质，利用作差比较法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A，若，，因此A错误；
对于B，，则，即，因此B错误；
对于C，由，又，，则，，因此，即，因此C错误；
对于D，由，又，
则，，因此，即，因此D正确；
故选：D.
5. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由的定义域求的定义域，需使，解之即得.
【详解】因函数的定义域为，
对于函数，需使，
解得，则函数的定义域为.
故选：A.
6. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用增函数的定义并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可.
【详解】对任意，当时都有成立，
所以函数在上是增函数，
所以，解得，所以实数的取值范围是.
故选：C.
7. 已知关于x的不等式的解集是，则下列四个结论中错误的是（ ）
A.
B.
C. 若关于x的不等式的解集为，则
D. 若关于x的不等式的解集为，且，则
【答案】C
【解析】
【分析】利用一元二次不等式的解法与一元二次方程之间的关系以及韦达定理，基本不等式进行求解即可.
【详解】由题意，所以正确;
对于:，当且仅当，即时成立,
所以正确;
对于,由韦达定理，可知，所以错误;
对于,由韦达定理，可知，
则，解得，
所以正确,
故选：.
8. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据“函数”的定义可得值域为，再求分段函数的值域，由集合的包含关系列出不等式组，求解即可.
【详解】由题意可知的定义域为，值域为，
而，，所以的值域为.
当时，单调递增，此时值域为；
当时，，抛物线开口向上，对称轴为直线，
故此时单调递增，值域为.
因此，解得.
故选：C.
二、多选题
9. 已知全集，集合，若有4个子集，且，则（ ）
A. B. 集合有3个真子集
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】解一元二次不等式化简集合，结合已知得出，由此即可逐一判断各个选项.
【详解】依题意，，
而有4个子集，，故，故集合有7个真子集，B错误，
，，，ACD均正确.
故选：ACD.
10. 已知正实数，满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为4B. 的最小值为
C. 的最大值为8D. 的最小值为4
【答案】AB
【解析】
【分析】由基本不等式及“1”的代换求、的最值，由基本不等式求得，结合二次函数性质求的最值，由且求范围，即可判断各项正误.
【详解】由题设且，
，则，故，当且仅当时取等号，A对；
，当且仅当时取等号，B对；
，
而，整理有，则，当且仅当时取等号，
所以，即时取等号，C错；
，而，故，D错.
故选：AB
11. 给定实数集，定义集合都有，若是非空集合，则称集合中最小的元素为集合的上确界，记作．以下说法正确的是（ ）
A. 若数集中有2024个元素，则数集一定有上确界
B. 若数集中没有最大值，则数集中一定没有上确界
C. 若数集有上确界，则数集一定也有上确界，为
D. 若数集有上确界，则数集一定也有上确界，为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据上确界的定义即可判断AC；举出反例即可判断BD.
【详解】对于A，若数集中有2024个元素，则数集中的元素一定有最大值，
所以数集一定有上确界，故A正确；
对于B，若，当时，，
则数集中的元素没有最大值，
因为，都有，所以，
所以，即数集中有上确界，故B错误；
对于C，若数集有上确界，设，
由上确界的定义可知，对于，都有，
所以，
即，故C正确；
对于D，若，则数集有上确界，且，
此时，
则，故D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：理解新定义的概念是解决本题的关键.
三、填空题
12. 已知，集合，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据集合相等，结合元素的互异性求参数，进而确定目标式的值.
【详解】由题设，若，则不满足元素的互异性，
所以，显然满足题设，
所以.
故答案为：
13. 高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习．已知选择物理的有36人，选择化学的有24人，选择生物的有20人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人．那么班上选择物理或化学或生物的学生最多有______人．
【答案】46
【解析】
【分析】根据题意，把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，结合Venn图和容斥原理可知，当取最大值时最大，验证可得最终结果.
【详解】把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，
选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合.
由题意知，
且，
则，
由
，
可得，
当且仅当时，最大，此时．
验证：此时各区域人数如图所示，满足题意所有条件．
故班上选择物理或者化学或者生物学生最多有46人．
故答案为：46．
14. 如图，线段相交于O，且长度构成集合，，则x的取值个数为________.
【答案】6
【解析】
【分析】画出等效图形，分和两种情况由勾股定理求出对应值即可；
【详解】
如图，
因为，且长度构成集合，
因为直角三角形中，斜边一定大于直角边和，
所以或，
当时，可分为
，此时由勾股定理可得，解得；
，此时由勾股定理可得，解得；
，此时由勾股定理可得，解得；
当，可分为
，解得；
，解得；
，解得；
所以x的取值个数为6，
故答案为：6.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够画出等效图形再结合勾股定理解答.
四、解答题
15. 设全集为R，集合．
（1）若，求；
（2）在①，②，③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简两个集合，再 求其交集；
（2）先选择条件得到，再讨论和，利用集合的端点值的大小进行求解.
【小问1详解】
解：因为全集为R，
且或，
当时，，
所以.
【小问2详解】
解：选择①：
因为，所以.
当时，，解得；
当时，或，
解得或，
即或；
综上所述，实数a的取值范围是.
选择⑵：
因为，所以.
当时，，解得；
当时，或，
解得或，
即或；
综上所述，实数a的取值范围是.
选择③：
因为，所以.
当时，，解得；
当时，或，
解得或，
即或；
综上所述，实数a的取值范围是.
16. 中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件.
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元?
（2）为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.
【答案】（1）40元；
（2）至少应达到10.2万件，每件定价30元.
【解析】
【分析】（1）设每件定价为t元，由题设有，解一元二次不等式求范围，即可确定最大值；
（2）问题化为时，有解，利用基本不等式求右侧最小值，并确定等号成立条件，即可得到结论.
小问1详解】
设每件定价为t元，依题意得，
则，解得，
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元
【小问2详解】
依题意，时，不等式有解 ，
等价于时，有解，
因为（当且仅当时等号成立），
所以，此时该商品的每件定价为30元，
当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
17. 已知函数.
（1）判断在上的单调性并用单调性的定义证明你的结论；
（2）求不等式的解集.
【答案】（1）单调递减，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】利用函数的单调性定义证明；
（2）根据（1）的结论，由不等式等价于不等式求解.
【小问1详解】
在上单调递减.
证明如下：
设，则.
因为，所以，，所以，
所以，所以，
即在上单调递减.
【小问2详解】
由（1）可知在上单调递减，且，，
所以不等式等价于不等式.
当时，，即，解得；
当时，，即，解得.
综上，.
故不等式的解集是.
18 命题:任意成立；命题成立.
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二次不等式恒成立的解法求解即可；
（2）先求出命题为真时，实数的取值范围，命题至少有一个为真命题，从而由题意得到关于的不等式组，从而得解.
【小问1详解】
对于命题对任意，不等式恒成立，
则有，；
综上，当为真时，实数的取值范围是.
【小问2详解】
对于命题存在，使得不等式成立，.
只需，而，
，，则，
所以当命题为真时，实数的取值范围是，
从而当命题为假命题，为真命题时，或且，则或；
当命题为真命题，为假命题时，且，无解；
当命题为真命题，为真命题时，，则；
所以.
19. 已知关于x的函数．
（1）当时，求在上的最小值；
（2）如果函数同时满足：
①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；
②在函数的定义域内存在区间，使得函数在区间上的值域为．
则我们称函数是该定义域上的“闭函数”．
（i）若关于的函数是“闭函数”，求实数的取值范围；
（ii）判断（1）中是否为“闭函数”？若是，求出的值或关系式；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）是，满足.
【解析】
【分析】（1）对于函数，根据对称轴，分类讨论即可；
（2）（i）据闭函数的定义，列出方程组，可得，为方程的二实根，再由二次方程实根的分布，即可得到所求的范围
（ii）由新定义，假设为“闭函数”，讨论的范围，通过方程的解即可判断
【小问1详解】
函数，其对称轴方程为，
当时，在上单调递增，其最小值为；
当时，在上的最小值为；
函数在上的最小值为.
【小问2详解】
（i）∵递增，
由闭函数的定义知，该函数在定义域内，
存在区间，使得该函数在区间上的值域为，
所以，，
∴为方程的二实根，
即方程在上存在两个不等的实根且恒成立，
令，
∴∴，
解得
∴实数的取值范围．
（ii）对于（1），易知在上为减函数，
①若，递减，若为“闭函数”，
则，
两式相减得，这与矛盾．
②时，若为“闭函数”，则
此时满足条件的存在，
∴时，使得为“闭函数”存在，
③时，若为“闭函数”，则，
消去得，即
解得此时，，且，
∴时，使得为“闭函数”存在，
综上所述，当满足时，为“闭函数”.