四川省内江市第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份四川省内江市第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4，共17页。试卷主要包含了 集合，，则， 复数满足，则， 在等差数列中，若，则的值为， 为研究光照时长， 已知，，则， 已知，，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化简，根据并集的定义即可求解.
【详解】由，可得，
故，
故选：D
2. 复数满足，则（ ）
A. 1B. 2C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】求出复数，再根据复数模的概念求.
【详解】方法一：因为，
所以.
故选：C
方法二：.
故选：C
3. 在等差数列中，若，则的值为（ ）
A. 10B. 20C. 30D. 40
【答案】D
【解析】
【分析】由等差数列下标和的性质求得，进而可得目标式的值.
【详解】由题设，
所以.
故选：D
4. 为研究光照时长（小时）和种子发芽数量（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对，进行线性回归分析.若在此图中加上点后，再次对，进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A. ，不具有线性相关性B. 决定系数变大
C. 相关系数变小D. 残差平方和变小
【答案】C
【解析】
【分析】从图中分析得到加入点后，回归效果会变差，再由决定系数，相关系数，残差平方和及相关性的概念和性质作出判断即可.
【详解】对于A，加入点后，变量与预报变量相关性变弱，
但不能说，不具有线性相关性，所以A不正确
对于B，决定系数越接近于1，拟合效果越好，所以加上点后，决定系数变小，故B不正确；
对于C，从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，所以加上点后，回归效果变差.
所以相关系数的绝对值越趋于0，故C正确；
对于D，残差平方和变大，拟合效果越差，所以加上点后，残差平方和变大，故D不正确；
故选：C.
5. 已知，，则（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】先由已知和余弦函数值确定，再由同角的三角函数关系化简计算即可；
【详解】因为，所以，
因为，所以，
，
所以，，
所以.
故选：A.
6. 已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，得是中点，从而得出，，作于，即为向量在向量上的投影向量，设，求出，后可得结论．
【详解】因为，所以是中点，则是圆直径，，
又，所以等边三角形，，
设，则，作于，则，所以，
即为向量在向量上的投影向量，．
故选：B．
7. 若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据定义域实数集，转化为且恒成立，
结合二次不等式恒成立求解即可.
【详解】由题意，，且对任意，
，①
且，②
对于①，，结合，得.
若，由②知对任意，矛盾；
若，由②知对任意，即，
则，得，
综上，当时，对任意，①②同时成立.
故选：C
8. 设，函数若在区间内恰有6个零点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正弦函数的性质可得的零点为，根据，解得或，即可分三种情况讨论求解.
【详解】在区间内恰有6个零点，
又最多有两个零点，
当时，至少有四个根，
，
令，即，，，
又，，即，
令，解得或，
①若且，解得，
此时在有2个零点，
只需要在有4个零点，
这4个零点分别为
故且，解得，此时有6个零点，满足题意，
②当且时，解得，
此时在有1个零点，
只需要在有5个零点，
这5个零点分别为，
故且，解得，此时有6个零点，满足题意，
③当且时，解得，
此时在有1个零点，
只需要在有5个零点，
这5个零点分别为，
故且，解得不存在，
综上可得或，
故选：D
【点睛】关键点点睛：的零点为，根据，解得或，分三种情况讨论求解.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某老师想了解班上学生的身高情况，他随机选取了班上6名男同学，得到他们的身高的一组数据（单位：厘米）分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的平均值会变大
B. 若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的方差会变小
C. 若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的极差会变小
D. 这组数据的第75百分位数为181
【答案】BC
【解析】
【分析】根据平均值、方差公式及极差、百分位数定义判断各项正误.
【详解】去掉前的平均值，去掉后的平均值，A错误；
去掉前的方差，
去掉后的方差，B正确；
去掉前的极差为，去掉后的极差为，C正确；
由，知这组数据的第75百分位数为184，D错误.
故选：BC
10. 已知，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】由基本不等式判断AB选项，由不等式的基本性质判断CD选项.
【详解】当且仅当时取等号，A选项正确；
当且仅当时取等号，B选项错误；
∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，C选项正确；
∵，∴，∴，D选项正确.
故选：ACD.
11. 已知（，）在上是单调函数，对于任意的满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若函数（）在上单调递减，则
C. 若，则的最小值为
D. 若函数在上存在两个极值点，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数的单调区间以及可知关于点对称且，可得，再由时，取得最小值可得，即A错误，由并利用整体代换可判断B正确；根据函数图象性质可得最小值应为半个周期，即C正确；利用余弦函数单调性以及极值点定义可判断D正确.
【详解】对于A选项，因为，所以，
可得的图象关于点对称，
又因为对任意，都有，所以当时，取得最小值.
因为在是单调函数，所以得，所以，
又因为函数在时取得最小值，所以由，
得，.解得，.
又，所以，故A错误；
对于B选项，易知，所以，
当时，，若函数（）在上单调递减，
则，解得，故B正确；
对于C选项，最小正周期为，当时，
则，分别为函数的最大、最小值，所以，故C正确；
对于D选项，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
要使在上存在两个极值点，要满足，故D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用所给信息并结合三角函数图象性质求得函数的解析式，再对其单调性、最值、极值点等进行判断即可.
非选择题部分（共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中常数项为______ ．
【答案】60
【解析】
【分析】先求出展开式的通项公式,再令 的指数为0,解出,进而可求出常数项.
【详解】 的展开式中的通项公式：.
令-6=0，解得r=4．
∴的展开式中常数项为:=60．
故答案为60．
【点睛】本题考查了二项式定理,属基础题.
13. 安排甲､乙､丙､丁､戊5名大学生去延安､宝鸡､汉中三个城市进行暑期社会实践，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有______.
【答案】150
【解析】
【分析】先分组再排列，利用分步乘法计数原理得解
【详解】先将5名大学生分成3组，有两种分组方法，
若分成3、1、1的三组，有种分组方法，
若分成1、2、2的三组，有种分组方法，
则一共有种分组方法，
再将分好的三组全排列，对应三个城市有种情况，
所以不同的安排方式共有种，
故答案为：150
14. 若恒成立，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】原不等式等价于，当，可得，当时，构造，利用导数研究单调性可得，即可得在上恒成立，构造，利用导数求得最大值，即可求解.
【详解】依题意，．得，所以，
所以，
因为，所以，若，显然成立，此时满足；
若，令，在上恒成立，
所以在上单调递增，而，所以．
综上，在上恒成立，所以．
令，所以，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以，即．
所以的取值范围为.
【点睛】不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；
②数形结合(图象在上方即可)；
③分类讨论参数.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，且.
（1）求角C的大小；
（2）若向量与共线，求a，b的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换，得，结合的取值范围，即可求解；
（2）由与共线，得，得，再根据余弦定理列出方程，即可求解a，b的值.
【详解】（1）
，，，
，解得.
（2）与共线，，
由正弦定理，得，
，由余弦定理，得，
.
【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.
16. 在校运动会上，只有甲､乙､丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲､乙､丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）：
甲：；
乙：；
丙：
假设用频率估计概率，且甲､乙､丙的比赛成绩相互独立
（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（2）设是甲､乙､丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据古典概型概率计算公式直接计算概率；
（2）直接计算离散型随机变量的概率及期望.
【小问1详解】
设事件A为“甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖”，
其概率为；
【小问2详解】
设事件B为：“乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”，故，
事件C为：“丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”，故，
，
，，.
所以其分布列为
期望.
17. 已知数列的首项是1，其前项和是，且，.
（1）求，的值及数列的通项公式；
（2）若存在实数，使得关于的不等式，有解，求实数取到最大值时的值.
【答案】（1），，
（2）4或5
【解析】
【分析】（1）用累加法得到数列通项公式；
（2）求出数列前项和，列出不等式，构造函数利用导函数求最大值，并找到最大值点.
【小问1详解】
∵，∴
当时，，
即，
当时，也满足，
∴，
∴，.
【小问2详解】
由（1）可知，
∴，∴
令，
，当时，，当时，
∵
∴的最大值为70，即当或时，取得最大值70，
∴取得最大值时，取4或5.
18. 已知函数.
（1）当时，求曲线y=fx在点处的切线方程；
（2）若，，证明：；
（3）若，恒有，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）．
【解析】
【分析】（1）直接求出导函数，计算和，由点斜式得直线方程并整理为一般式；
（2）在题设条件下证明，是减函数，，再证明即得证；
（3）时，由说明递减，不等式不可能恒成立，时，由（2）得出时，，的大于1的根记为（是地，），证明时，，时，，由确定的单调性，，时，由完成证明，时，由确定．综合后得出结论．
【小问1详解】
时，，
，
，又，
所以切线方程为，即；
【小问2详解】
，
时，是递增函数，因此，，
又，所以，在上递减，
，
因为，所以，
从而；
【小问3详解】
，，
当时，，在上减函数，
当时，，因此不可能恒成立，
时，由得，
记，，
则有两个实根，一根小于1，一根大于1，
大于1的根为，易知它是关于的减函数，
注意到在上是增函数，且，
即时，，时，，
所以时，，递减，时，，递增，
所以，
时，，此时，
记，在上递减，在上递增，且，
因此
当时，，，
当时，，，
综上，时，恒成立
所以的取值范围是．
【点睛】难点点睛：本题考查用导数求切线方程，研究不等式恒成立问题，难度较大．第（3）小题的求解，一般由完成，但本题中，难点一是确定函数值是何时取得的，结合（2）的求解，得出时，，难点二是在分类讨论和的结论时需要用两种不同的思路，时，最小值作为的函数是递增的，得出，然后由的单调性得证，时，先由的单调性得出．
19. 若数列的相邻两项或几项之间的关系由函数确定，则称为的递归函数．设的递归函数为．
（1）若，（），证明：为递减数列；
（2）若，且，的前项和记为．
①求；
②我们称为取整函数，亦称高斯函数，它表示不超过的最大整数，例如，．若，求．
【答案】（1）证明见解析
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）根据定义得出，再根据即可证明；
（2）根据等比数列的定义及等比数列的求和公式即可求解①；结合①得出，当时，，所以；当时，由放缩得出，结合得出进而求解．
【小问1详解】
证明：若，显然．
又，所以，，，，
所以，．
因为，，所以，
，所以，所以是递减数列．
【小问2详解】
①由题意得，
又，所以，所以，
所以是以为首项，6为公比的等比数列，
则．
②由①得，所以．
当时，，所以；
当时，．
所以当时，，
所以当时，，
又，所以，
所以，，所以，
所以．
0
1
2
3