北京市第一零九中学2025届高三上学期期中考试数学试卷（原卷版）-A4

这是一份北京市第一零九中学2025届高三上学期期中考试数学试卷（原卷版）-A4，共5页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 已知复数的共轭为，若，则的实部为（ ）
A. 1B. C. D. i
2. 已知函数（其中）图象如图所示，则函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
3. 在中，，，，则（ ）
A. B. C. 或D. 无解
4. 已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知正四棱锥，底面边长是，体积是，那么这个四棱锥的侧棱长为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知向量满足，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 设等比数列前项和为，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 如图所示，为双曲线：的左焦点，双曲线上的点与（）关于轴对称，则的值是（ ）
A. 9B. 16C. 18D. 27
9. 已知点是圆上的两个动点，点是直线上动点，且，下列说法正确的是（ ）
A. 圆上恰有一个点到直线的距离为B. 长的最小值为
C. 四边形面积的最小值为2D. 直线恒过定点
10. 高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉，并且每一-排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央．从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球．理论上，小球落入2号容器的概率是多少（ ）
A B. C. D.
二、填空题
11. 已知向量，，则夹角的余弦值为_________．
12. 在中，，给出满足的条件，就能得到动点的轨迹方程，如表给出了一些条件及方程.
则满足条件①轨迹方程为 ______；满足②的轨迹方程为 ______；满足③轨迹方程为 ______（用代号填入）.
13. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则________
14. 拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且存在点，使得，则称为函数在闭区间上的中值点．试求函数在区间上的“中值点”______．
15. 激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数.函数是常用的激活函数之一，其解析式为.给出以下结论：
①函数是增函数；
②函数是奇函数；
③函数的值域为；
④对于任意实数，函数至少有一个零点.
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题
16. 已知中，.
（1）求的大小；
（2）若，再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的面积.
条件①；条件②；条件③.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
17. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，，M为PC上一点，且，，.
（1）证明：平面PAD；
（2）求直线DM与平面PBC所成角的正弦值；
（3）求三棱锥的体积.
18. 某区为检测各校学生的体质健康状况，依照中小学生《国家学生体质健康标准》进行测试，参加测试的学生统一从学生学籍档案管理库（简称“CIMS系统”）中随机选取.本次测试要求每校派出30人，其中男女学生各15人，参加八个项目的测试.八项测试的平均分为该学生的综合成绩，满分为100分.测试按照分数给学生综合成绩定等级，分数在内为“优秀”，为“良好”，为“及格”，为“不及格”，下表为某学校30名学生本次测试综合成绩的数据：
（1）分别求出该学校男､女生综合成绩的优秀率；
（2）从表中综合成绩等级为“良好”的学生中随机抽取3人进行后续监控，若表示抽取3人中的女生人数，求的分布列及其数学期望；
（3）在（2）的条件下，当这3名学生综合成绩的方差取得最大值时，请直接写出所有符合条件的3名学生的综合成绩.
19. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值．
20. 已知整数，数列是递增的整数数列，即且定义数列的“相邻数列”为，其中或
（1）已知，数列，写出所有“相邻数列”；
（2）已知，数列是递增的整数数列，，且的所有“相邻数列”均为递增数列，求这样的数列的个数；
（3）已知，数列是递增的整数数列，，且存在的一个“相邻数列”，对任意的，求的最小值．
条件
①周长为10
②面积10
③中，
方程
男生
98
92
92
91
90
90
88
87
87
85
82
79
77
67
57
女生
97
99
96
93
92
91
90
87
85
81
80
77
76
76
48