广西平果市铝城中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份广西平果市铝城中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.
【详解】解：因为命题“，”是全称量词命题，
所以其否定是存在量词命题，即，，
故选：D
2. 下列四个集合中，是空集的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对每个集合进行逐一检验，研究集合内的元素是否存在即可选出.
【详解】选项A，；
选项B，；
选项C，；
选项D，，方程无解，.
选:D.
3. 已知函数在上是增函数，则实数的取值范围为（ ）.
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得的对称轴，再根据函数在上是增函数求解.
【详解】，
的对称轴为，
要使在上是增函数，
则需.
故选：A
4. 已知，，则p是q的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分必要条件的规定,分别判断充分性和必要性是否满足即得.
【详解】因，故由得不出，即p不是q的充分条件；
而由可得，故必有成立，即p是q的必要条件，
故p是q的必要不充分条件.
故选：B.
5. 已知幂函数在0,+∞内单调递增，则值为（ ）
A. B. C. 或D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得出关于的等式和不等式，解出即可.
【详解】由于幂函数在0,+∞内单调递增，
则，解得.
故选：B.
【点睛】易错点睛：本题考查利用幂函数的解析式与单调性求参数，同时要注意幂函数的系数为这个条件的限制，考查运算求解能力，属于基础题.
6. 已知是R上的偶函数，在上有单调性，且，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由偶函数的对称性可知函数f(x)的图象关于y轴对称，判断f(x)在上单调递增，在上单调递减，距离对称轴越远，函数值越小，即可判断．
【详解】解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，
所以函数f(x)的图象关于y轴对称，
因为在上有单调性，且，
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，距离对称轴越远，函数值越小，
所以，B选项正确，
故选：B.
7. 设函数在0,+∞上的最小值为7，则在−∞,0上的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，则为奇函数且，根据的最小值可得的最小值，从而可得的最大值，故可求的最大值.
【详解】，其中为奇函数．
由条件知0,+∞上有，故在−∞,0上有，
所以在−∞,0上有，
故选：D．
8. 已知奇函数的定义域为，且在上单调递减．若，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用奇函数的性质结合单调性计算即可.
【详解】根据奇函数的性质可知在0,+∞和上单调递减，
且，
所以的解集为.
故选：B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分．
9. 下列命题中，真命题的是（ ）
A. 的充要条件是
B. ，是的充要条件
C. 命题“，使得”的否定是“都有”
D. “”是“”的充分不必要条件
【答案】CD
【解析】
【分析】根据充分必要条件的定义，命题的否定的定义判断．
【详解】时，，但无意义，A错；
时一定有，而当时，，但，充分性正确，B错；
由存在命题的否定是全称命题，命题“，使得”的否定是“都有”，C正确；
，或，因此D正确．
故选：CD．
10. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则函数的最小值为3
B. 若，则的最小值为4
C. 若，则xy的最大值为1
D. 若满足，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由对勾函数的单调性求最值可判断A，由基本不等式可判断B，根据基本不等式及一元二次不等式的解可判断C，根据“1”的变换及均值不等式判断D.
【详解】A.，，令，，由对勾函数的性质得，故错误；
B.因为，所以，当且仅当，即时，取等号，故正确；
C. 因为，，所以，即，
解得，所以，当且仅当时等号成立，故正确；
D. 因为，，所以，当且仅当，即时，取等号，故正确；
故选：BCD
11. 已知函数则（ ）
A.
B.
C. 的最小值为-1
D. 的图象与x轴有2个交点
【答案】AC
【解析】
【分析】换元法求函数解析式，利用解析式求函数值，利用单调性求最值和零点.
【详解】令，得，则，得，
故，，，A正确，B错误．
，所以在上单调递增，
，的图象与x轴只有1个交点，C正确，D错误．
故选：AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，且，则xy的最大值是___________.
【答案】2
【解析】
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】x>0，y>0，且，则，
解得，当且仅当时取等号，
所以xy的最大值是.
故答案为：2
13. 已知函数，若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】分，两种情况，根据分段函数代入求解，即可
【详解】由题意，当时，，即（舍去）；
当时，，即，即（舍正）.
综上：.
故答案为：.
14. 若方程x2＋px＋4＝0的解集为A，方程x2＋x＋q＝0的解集为B，且A∩B＝{4}，则满足C⊆(A∪B)的所有集合C的个数为________．
【答案】8
【解析】
【详解】由题意，∵A∩B＝{4}，∴解得，∴A＝{1,4}，B＝{4，－5}．
∴A∪B＝{1,4，－5}，又∵C为A∪B的子集，∴C有23＝8(个)．
【点睛】本题主要考查了集合的基本运算及集合的子集的概念及其应用，其中解答中根据题意，正确求解集合和，再根据集合的子集的概念求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，.
（1）当时，求；
（2）当，求实数的取值范围；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）确定得到，再计算交集得到答案.
（2）考虑和两种情况，根据范围大小计算即可.
【小问1详解】
当时，，故，
，故.
【小问2详解】
当时，，解得；
当时，，解得；
综上所述：.
16. 已知定义在R上的奇函数，当时，．
（1）在给出的坐标系中画出的图象（网格小正方形的边长为1）；
（2）求函数在R上的解析式，并写出函数的值域及单调区间.
【答案】（1）图象见解析
（2）；的值域为R；单调递增区间为：；递减区间为：.
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性以及时的解析式，即可作出函数图象；
（2）根据函数的奇偶性以及时的解析式，即可求得其解析式；数形结合，可求得其值域以及单调区间.
【小问1详解】
作出函数图象如图：
【小问2详解】
由题意知定义在R上的奇函数，当时，，
则时，；
当时，，则，
故；
函数的值域为R；
单调递增区间为：；递减区间为：.
17. 2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本5000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且，已知每辆车售价15万元，全年内生产的所有车辆都能售完.
（1）求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
（2）2023年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】（1）
（2）， 万元
【解析】
【分析】（1）根据利润＝销售额－成本，结合分类讨论思想进行求解即可；
（2）根据配方法、基本不等式进行求解即可.
【小问1详解】
当时，，
当时，，
综上，.
【小问2详解】
由（1）知，，
当时，，
因为，所以，当时，，
当时，，
当且仅当，即时取等号，此时，又，
所以，2023年产量为百辆时，企业所获利润最大，最大利润为万元.
18. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求的解析式；
（2）判断函数在上的单调性，并证明；
（3）求使成立的实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）增函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，解可得b的值，又由可得a的值，将a、b的值代入函数的解析式即可得答案；
（2）设，用作差法分析可得，由函数单调性的定义即可得证明；
（3）由奇函数的性质可以将变形为，结合函数的定义域与单调性可得m的取值范围．
【小问1详解】
根据题意，是奇函数，则有，
则有，解得；
.
，，解得，
；
【小问2详解】
在上增函数；
证明如下：设，
则，
，
，，，，
则有，即.
在上为增函数；
【小问3详解】
，，
又是定义在上的奇函数，，
则有，
解得，即实数的取值范围为
19. 已知函数的定义域为，对任意，都有，且．
（1）求证：；
（2）求证：函数为偶函数；
（3）若，且在上单调递增，解关于x的不等式．
【答案】（1）证明见详解
（2）证明见详解 （3）
【解析】
【分析】（1）利用赋值法可证；
（2）利用定义法证明函数的奇偶性；
（3）根据函数单调性与奇偶性解不等式.
【小问1详解】
由已知，且，
令，
则；
【小问2详解】
令，
则，
所以函数为偶函数；
【小问3详解】
由，
令
得，
由（2）得函数为偶函数，
且在上单调递增，
，
所以，
解得，