吉林省长春市第八十七中学2024-2025学年七年级上学期第一次月考数学试题（五四制）（解析版）-A4

这是一份吉林省长春市第八十七中学2024-2025学年七年级上学期第一次月考数学试题（五四制）（解析版）-A4，共17页。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
1. 方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握移项与合并同类项是解题的关键．根据解一元一次方程的计算方法计算即可．
【详解】解：移项，得：，
化系数为，得：．
故选：C．
2. 下面四个等式的变形中正确的是（ ）
A. 由，得B. 由，得
C. 由，得D. 由4（），得
【答案】B
【解析】
【分析】根据等式的性质逐个进行判断即可．
【详解】解：A、由方程两边都加即可得出，则此项错误，不符合题意；
B、由方程两边都除以4即可得出，则此项正确，符合题意；
C、由方程两边同乘以得，则此项错误，不符合题意；
D、由去括号得，再两边都加上4可得，则此项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了等式的性质，能灵活运用等式的性质进行变形是解此题的关键．
3. 二元一次方程有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】当是，故选B.
4. 已知关于的方程的解是，则的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】将代入得到关于a的方程，再解关于a的方程即可.
【详解】解：将代入得：，
解得：a=3，
故选：B.
【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．
5. 已知方程，用含的式子表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的知识，把x看作已知数，根据等式的性质变形即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选A．
6. 如图，正方形的一边长减少后，得到一个长方形（图中阴影部分），若长方形的周长为，求正方形的边长．设正方形的边长为，可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次方程解几何问题，根据长方形边长与正方形边长的关系列式即可求解，掌握一元一次方程的实际运用是解题的关键．
【详解】解：设正方形的边长为，
∴,
故选：C．
7. 某工厂，甲单独做12天完成，乙单独做8天完成．现在由甲先做3天，乙再参加做，求完成这项工程乙还需要几天？若设完成这项工程乙还需要天，则下列方程不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可知，甲每天完成这项工程的，甲每天完成这项工程的，由“甲先做3天，乙再参加做”，列出方程即可获得答案．
【详解】解：A.由题意可知，完成这项工程，甲做天，共完成这项工程的，乙完成总工程的，故有，方程正确，该选项不符合题意；
B. 甲先做3天，可完成这项工程的，之后甲乙两人再做天，每天可完成这项工程的，故有，该选项所列方程错误，符合题意；
C. 甲先做3天，可完成这项工程，之后甲乙两人再做天，每天可完成这项工程的，故有，方程正确，该选项不符合题意；
D. 完成这项工程，甲做天，共完成这项工程的，乙完成总工程的，故有，方程正确，该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程．
8. 我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若3个人乘一辆车，则空2辆车；若2个人乘一辆车，则有9个人要步行，求人数和车数．下列方案中
①设车数为x辆，列方程为：
②设人数为y人，列方程为：
③设车数为x辆，人数为y人，列方程组为：
④设人数为x人，车数为y辆，列方程组为：
正确的有（ ）
A. ①②③④B. ①②③C. ②③④D. ①②④
【答案】D
【解析】
【分析】根据题目中的等量关系列出方程即可．
【详解】①设车数为x辆，列方程为：，正确，符合题意；
②设人数为y人，列方程为：，正确，符合题意；
③设车数为x辆，人数为y人，列方程组为：，原方程错误，不符合题意；
④设人数为x人，车数为y辆，列方程组为：，正确，符合题意．
综上所述，正确的有①②④．
故选：D．
【点睛】此题考查了一元一次方程与二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
9. 是关于，的二元一次方程，则_____．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，即可求得m的值．
【详解】解：根据题意，得且，
解得，
故答案为：1．
10. 某年级有学生246人，其中男生比女生人数的2倍少3人，问男女学生各多少人，设女生人数为x人，男生人数为y人，可列方程组为__________．
【答案】．
【解析】
【详解】首先根据关键语句“某年级有学生246人”可得方程x+y=246，“男生比女生人数的2倍少3人”可得方程2x-3=y，联立两个方程可得答案．
故答案为:.
11. 某种羽绒服的进价为800元，出售时标价为1400元，后来由于该羽绒服积压，商店准备打折销售，但保证利润率为，则可打__________折．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据利润率的公式列一元一次方程是解题的关键．设可打折，依题意得，，计算求解即可．
【详解】解：设可打折，
依题意得，，
解得，．
∴可打6折．
故答案为：6．
12. 如果两数x，y满足，那么______．
【答案】2
【解析】
【分析】直接用即可进行解答．
【详解】解：，
得：，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握用加减消元法解二元一次方程组的方法和步骤．
13. 已知，，用含有的式子表示，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的加减消元法，掌握二元一次方程组的加减消元法是解题的关键．将两式相加，再整理即得答案．
【详解】将和相加，得，
．
故答案为：．
14. 图（一）所示的这种拼图我们小时候可能都玩过．已知有若干片相同的拼图，且拼图依相同方向排列时可紧密拼成一行．如图（二）所示，当4片拼图紧密拼成一行时长度为19cm；如图（三）所示，当10片拼图紧密拼成一行时长度为46cm，则12片这样的拼图紧密拼成一行时长度为________cm．

【答案】55
【解析】
【分析】如图，设一个拼图的长度为cm，根据图二和图三的总长度列出方程组进行求解即可．
【详解】解：如图，设一个拼图长度为cm，

由题意，得：，解得：，
∴12片这样的拼图紧密拼成一行时长度为cm；
故答案为：55．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．解题的关键是正确的识图，列出方程组．
三、计算题（共33分）
15. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）根据有理数加减计算法则求解即可；
（2）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
原式
．
16. 化简：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的加减计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）先去括号，然合并同类项即可得到答案；
（2）先去括号，然合并同类项即可得到答案．
【小问1详解】
解；
；
【小问2详解】
解；
．
17. 解方程：
（1）
（2）
（3）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解方程步骤，正确计算是解题的关键；
（1）按照去括号、移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解即可；
（2）按照去括号、移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解即可；
（3）按照去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解即可；
【小问1详解】
解：去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
即；
【小问2详解】
解：去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
即；
【小问3详解】
解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
即．
18. 解方程组：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
（1）用加减消元法求解即可；
（2）用代入消元法求解即可；
（3）用加减消元法求解即可；
（4）整理后用加减消元法求解即可．
【小问1详解】
解：
，得
，
∴，
把代入②，得
，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：，
把①代入②，得
，
∴，
把代入①，得
，
∴；
【小问3详解】
解：
，得
，
∴，
把代入①，得
，
∴，
∴；
【小问4详解】
解：
整理，得
，
，得
，
∴，
把代入②，得
，
∴，
∴．
四、列方程（组）解决问题（35分）
19. 李明在超市买了4瓶矿泉水和2条毛巾，共花了22元．已知1瓶矿泉水的售价是1.5元，1条毛巾的售价是多少元？
【答案】1条毛巾的售价是8元．
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程，找准等量关系，解题的关键是正确列出一元一次方程．
设1条毛巾的售价是x元，根据题意列出一元一次方程求解即可．
【详解】解：设1条毛巾的售价是x元
根据题意得，
解得
∴1条毛巾的售价是8元．
20. “正源”学校初中部为加强学生体育锻炼，购置相同的篮球，相同的足球若干个．若购进篮球个，足球个共需元；若购进篮球个，足球个共需元．求每个篮球、足球分别为多少元？
【答案】每个篮球元、每个足球元
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组解决应用题，根据费用列方程组即可得到答案；
【详解】解：设每个篮球元、每个足球元，由题意可得，
，
解得：，
答：每个篮球元、每个足球元．
21. 一套仪器由一个A部件和三个B部件构成，用钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件恰好配成整套这种仪器？
【答案】应用钢材做A部件，钢材做B部件，刚好配成整套这种仪器
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，读懂题意、设出未知数、找出合适的等量关系、列方程组是解题的关键．设应用钢材做A部件，钢材做B部件，再根据等量关系“共有钢材”和“一个A部件和三个B部件刚好配成套”列方程组求解即可．
【详解】解：设应用钢材做A部件，钢材做B部件，
由题意得，
解得，
刚好配成：（套）．
答：应用钢材做A部件，钢材做B部件，刚好配成160套．
22. 如图，在长为，宽为的长方形展厅划出三个形状、大小完全相同的小长方形摆放水仙花，其示意图如图所示．求一个小长方形的周长．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查二元一次方程组的运用，看清图意，正确列出方程组解决问题．设小长方形的长为，宽为，由图可知，长方形展厅的长是，宽为，由此列出方程组求解即可．
【详解】解：小长方形的长为，宽为，由图可得：
，
两式相加得，，
∴，
则小长方形的周长为．
23. 门老师从家骑车去县城，他从家骑车出发，用30分钟时间行完了一半路程．这时，他加快了速度，每分钟比原来多行50米．又骑了20分钟后，他从路旁的里程标志牌上知道，必须再骑2千米才能赶到县城．求门老师家到县城之间的总路程．
【答案】18千米
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的应用，找出等量关系并列出方程是解题的关键．设门老师家到县城之间的总路程为x米，根据“完了一半路程又骑了20分钟后，再骑2千米才能赶到县城”列方程求解即可．
【详解】解：设门老师家到县城之间的总路程为x米，
解得：
18000米千米，
答：门老师家到县城之间的总路程为18千米．
24. 为抗击新冠肺炎疫情，某药店对消毒液和口罩开展优惠活动.已知消毒液每瓶定价比口罩每包定价多5元，按照定价售出4包口置和3瓶消毒液共需要43元．
（1）求一包口罩和一瓶消毒液定价各多少元？
（2）优惠方案有以下两种：
方案一：以定价购买时，买一瓶消毒液送一包口罩；方案二：消毒液和口罩都按定价的九折付款．
现某客户要到该药店购买消毒液20瓶，口罩x包（x>20）．
①若客户购买150包口罩时，请通过计算说明哪种方案购买较为省钱？
②求当客户购买多少包口罩时，两种方案的购买总费用一样．
【答案】（1）一包口罩定价4元，一瓶消毒液定价9元
（2）①方案一购买较为省钱；②当客户购买155包口罩时，两种方案的购买总费用一样
【解析】
【分析】（1）设一包口罩定价元，从而可得一瓶消毒液定价元，再根据“按照定价售出4包口置和3瓶消毒液共需要43元”建立方程，解方程即可得；
（2）①先分别求出两种方案的费用，再进行比较即可得；
②根据“两种方案的购买总费用一样”建立方程，解方程即可得．
【小问1详解】
解：设一包口罩定价元，则一瓶消毒液定价元，
由题意得：，
解得，
则，
答：一包口罩定价4元，一瓶消毒液定价9元．
【小问2详解】
解：①方案一：（元），
方案二：（元），
因为，
所以方案一购买较为省钱；
②由题意得：，
解得，
答：当客户购买155包口罩时，两种方案的购买总费用一样．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用等知识点，正确建立方程是解题关键．
五、综合题
25. 如图，直线上有A、B两点，，上有两个动点P、Q．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动．设运动时间为（秒）．
（1）请用含t的代数式表示线段的长．
（2）当点B是线段的中点时，求t的值．
（3）运动过程中，点P和点Q能否重合？若能重合，几秒后重合？
（4）运动过程中，线段与线段的长度能否相等？若能相等请求出t值，若不能请说明理由．
【答案】（1）当时，；当时，
（2）
（3）能重合，
（4）
【解析】
【分析】（1）根据题意，点P每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为，当时，秒过后，点P运动的路程为，结合，得，得到
；当时，秒过后，点P运动的路程为，结合，得，得到即．
（2）设点P、Q出发t秒钟后，点B是线段的中点．根据题意得到等量关系：列式计算即可；
（3）假设点P、Q出发t秒钟后，点P和点Q重合，则，列式计算即可；
（4）需要分类讨论：当点P在点Q左侧和右侧两种情况下的t的值．
【小问1详解】
解：根据题意，点P的速度为每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为，当时，秒过后，点P运动的路程为，
∵，
∴，
∴；
当时，秒过后，点P运动的路程为，
∵，，
∴即．
【小问2详解】
解：根据题意，点P每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为，
当时，秒过后，点P运动的路程为，
∵，
∴，
∴；
∵点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动．
∴秒过后，点Q运动路程为，
∵点B是线段的中点．
∴，
∴，
解得，
即点P、Q出发秒钟后，点B是线段的中点．
【小问3详解】
解：假设点P、Q出发t秒钟后，点P和点Q重合，则，
∴．
解得：；
故点P、Q出发秒钟后，点P和点Q重合．
【小问4详解】
解：当点P在点Q左侧时，线段与线段的长度不可能相等．
当点P在点Q右侧时，设点P、Q出发t秒钟后，线段与线段的长度相等，根据题意，得，
解得：．
当时，线段与线段的长度相等．