四川省天立学校2024-2025学年高一上学期期中测试数学试题（解析版）-A4

这是一份四川省天立学校2024-2025学年高一上学期期中测试数学试题（解析版）-A4，共12页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19题．全卷满分150分，考试用时120分钟．
出题人：中心命题组 审题人：
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用列举法求出集合，再根据交集的运算求解即可.
【详解】，
所以，
故选：C.
2. 已知全集，集合，那么阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据韦恩图知阴影部分为，结合集合交集、补集的运算求集合即可.
【详解】由题图，阴影部分为，而或，且，
所以.
故选：A
3. “”是“，”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由条件， 列出不等式，求出 , 从而判断出答案.
【详解】, 则要满足 , 解得: ,
因为 不能推出, 但 可以推出，
故“”是“”必要不充分条件.
故选：B
4. “”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断即可.
【详解】因为能推出，
而不能推出，例如，不能推出,
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定.
【详解】“”的否定是“”.
故选：D
6. 设，，，且，则下列各不等式中恒成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用特殊值法即可判断ABC错误，根据不等式的性质可判断D.
【详解】对于选项A，若，则，故A错；
对于选项B，若，则，故B错误;
对于选项C，若，则，故C错误;
对于选项D，因为，由不等式的可加性知，故D正确.
故选:D.
7. 已知，，下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】明确集合A，B分别是数集和点集，根据集合的相等的概念以及元素和集合的关系，一一判断各选项，即得答案.
【详解】由题意知，A表示的为数集，
表示的是点集，
则，A错误；
，故，B正确；
1是一个数，B代表点集，故，C正确；
由于，故，D正确，
故选：BCD
8. 已知，，，则下列说法不正确的是（ ）
A. 的最大值为
B. 的最大值为
C. 的最小值为0
D. 的最小值为
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，当且仅当时等号成立，A选项正确.
B选项，，当且仅当时等号成立，B选项正确.
C选项，由于都是正数，所以C选项错误.
D选项，
，
当且仅当时等号成立，所以D选项正确.
故选：C
【点睛】方法点睛：
均值不等式的应用：通过均值不等式来求解和的最大值，是解这类题目的常用技巧，对基本不等式的理解和应用是求解此类问题的关键，在利用基本不等式求解最值问题时，要注意等号成立的条件.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分．）
9. 已知关于的不等式的解集是或，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 不等式的解集是
C. 不等式的解集是
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由一元二次不等式与解集的关系可判断A选项；利用韦达定理可得出、与的等量关系，利用一次不等式的解法可判断B选项；利用二次不等式的解法可判断C选项；计算可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为关于不等式的解集是或，则，A对；
对于B选项，由题意可知，关于的方程的两根分别为，，
由韦达定理可得，可得，，则，
由可得，解得，B错；
对于C选项，由可得，即，解得，
因此，不等式的解集是，C对；
对于D选项，，D对
故选：ACD.
10. 下列各组函数是同一函数的是（）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】AC
【解析】
【分析】分别求出四个选项中,每个选项两个函数的定义域和对应关系是否相同即可求解。
【详解】对于选项,的定义域为,的定义域为，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；
对于选项，的定义域为的定义域为，定义域相同对应关系不同，不是同一个函数；
对于选项，的定义域，的定义域为，定义域相同，且g(x)=x(x>0)-x(x≤0)，与对应关系也相同，是同一个函数；
对于选项，的定义域为,的定义域为,对应关系不同，不是同一个函数.
故选：AC.
11. 设集合，则对任意的整数，形如的数中，是集合中的元素的有
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】将分别表示成两个数的平方差，故都是集合中的元素，再用反证法证明.
【详解】∵，∴.
∵，∴.
∵，∴.
若，则存在使得，
则和的奇偶性相同.
若和都是奇数，则为奇数，而是偶数，不成立；
若和都是偶数，则能被4整除，而不能被4整除，不成立，∴.
故选ABD
【点睛】本题考查集合描述法的特点、代表元元素特征具有的性质，考查平方差公式及反证法的灵活运用，对逻辑思维能力要求较高.
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 对于集合，，我们把集合，叫做集合A与B的差集，记作，若，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据求出的值，进而根据集合的定义求解即可.
【详解】因为,
所以，即，
所以，
所以，
所以.
故答案为：
13. 函数的定义域为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数定义域的求法来求得正确答案.
【详解】由，得，解得或且，
所以的定义域为.
故答案为：
14. 若函数在区间1,4内有零点（即函数y=fx在1,4区间内与轴有交点），则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】配方后得到函数单调性，从而结合零点存在性定理得到不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】由题意得:为连续函数,
且在上单调递减,在上单调递增,
故,
所以只需f(1)>0f(3)≤0或f(4)>0f(3)≤0,
解得:,
所以实数的取值范围是.
故答案为:
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 已知对于成立；关于a的不等式成立．
（1）若p为真命题，求a的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求b的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用列式计算；
（2）解二次不等式得，再根据p是q的必要不充分条件得集合间的包含关系，进而可得b的取值范围．
【小问1详解】
对于成立，得，解得；
即若p为真命题，a的取值范围为；
【小问2详解】
对于关于a的不等式成立，
得，解得，
若p是q的必要不充分条件，则，
得.
16. 已知函数是二次函数，，．
（1）求的解析式；
（2）解不等式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据得对称轴为，再结合顶点可求解;
(2)由（1）得，然后直接解不等式即可.
【小问1详解】
由，知此二次函数图象的对称轴为，
又因为，所以是的顶点，
所以设
因为，即
所以得
所以
【小问2详解】
因为所以
化为，即或
不等式的解集为
17. 已知集合.在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第②问的横线处，求解下列问题.
（1）当时，求；
（2）若______，求实数的取值范围.
【答案】（1）或
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用集合的交并补运算即可得解；
（2）选①③，利用集合的基本运算，结合数轴法即可得解；选②，由充分不必要条件推得集合的包含关系，再结合数轴法即可得解.
【小问1详解】
当时，，而，
所以，则或.
【小问2详解】
选①：
因为，所以，
当时，则，即，满足，则；
当时，，由得，解得；
综上：或，即实数的取值范围为；
选②：
因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，
当时，则，即，满足题意，则；
当时，，则，且不能同时取等号，解得；
综上：或，即实数的取值范围为；
选③：
因为，
所以当时，则，即，满足，则；
当时，，由得或，解得或，
又，所以或；
综上：或，实数的取值范围为.
18. 已知函数，的解集为．
（1）求的解析式；
（2）当时，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意，为方程的两个根，利用韦达定理得到方程组，解得、，即可求出求出函数解析式；
（2）由（1）可得，利用基本不等式求出函数的最大值；
【小问1详解】
解：因为函数，的解集为，
那么方程的两个根是，，且，
由韦达定理有
所以．
【小问2详解】
解：，
由，所以，当且仅当，即时取等号，
所以，当时取等号，
∴当时，．
19. 定义集合的“长度”是，其中、．已知集合，，且、都是集合的子集．
（1）求集合的“长度”最小值
（2）若，集合的“长度”大于，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据“长度”的定义进行分析，从而确定正确答案.
（2）根据“长度”的定义列不等式，由此求得的取值范围.
【小问1详解】
依题意可知集合不是空集，
要使、都是集合的子集，
则需且，
解得且，
要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立.
当，，，“长度”为，
当，，，“长度”为，
故集合的“长度”的最小值是；
【小问2详解】
若，，
要使集合的“长度”大于，故或
即或又，故.
【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.