广东省广州市奥林匹克中学2024~2025学年高三上学期期中考试数学试卷（原卷版）-A4

这是一份广东省广州市奥林匹克中学2024~2025学年高三上学期期中考试数学试卷（原卷版）-A4，共4页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.）
1. 设集合，，则的子集个数为（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
2. 若复数满足，则在复平面内对应点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 设是公差为正数的等差数列，若，，则（ ）
A. 12B. 35C. 75D. 90
4. 的展开式中，常数项为（ ）
A. B. C. D. 10
5. 《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述，比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为0.5丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦尺，弓形高寸，估算该木材镶嵌墙内部分的体积约为（）（注：一丈=10尺=100寸，）
A. 300立方寸B. 305.6立方寸C. 310立方寸D. 316.6立方寸
6. 双曲线的左、右焦点分别为，且的一条渐近线与直线平行，则双曲线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
7. 函数及，则及的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
8. 在长方体中，，，点在正方形内，平面，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.）
9. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 若，则为等腰直角三角形
C. 若，则的面积为
D. 若为锐角三角形，的最小值为1
10. 设函数，已知在有且仅有5个零点，下述结论正确的是（ ）
A. 有且仅有3个极大值点
B. 在有且仅有2个极小值点
C. 在单调递减
D. 的取值范围是
11. 已知直线分别与函数和的图象交于点，，则（ ）
A B.
C. D.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.）
12. 已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是__________.
13. A同学和B同学参加某市青少年围棋比赛并进入决赛，决赛采取“3局2胜”制，若A同学每局获胜的概率均为，且每局比赛相互独立，则在A先胜一局的条件下，A最终能获胜的穊率是__________.
14. 已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为的直线l交C于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q，若点F到C的准线的距离为3，则的值为__________.
四、解答题（本大题共5小题，共计77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知数列前项和满足，数列是公差为的等差数列，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
16. 如图，在三棱柱中，与的距离为，，.
（1）证明：平面平面；
（2）若点N是棱的中点，求直线AN与平面所成角的正弦值.
17. 已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）讨论极值点的个数.
18. 已知椭圆，是下焦点，过点的直线交于、两点，
（1）求的坐标和椭圆的焦距；
（2）求面积的最大值，并求此时直线的方程；
（3）在轴上是否存在定点，使得恒成立?若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．
19. 定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”．
（1）直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；
（2）已知函数求曲线的“双重切线”的方程；
（3）已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，…，，若（），证明：．