天津市滨海新区大港油田第三中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

这是一份天津市滨海新区大港油田第三中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟．
答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号写在答题纸上．答卷时，考生务必将答案写在答题纸上，答在试卷上的无效．
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷 选择题（60分）
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．在空间直角坐标系中，点关于xOz平面的对称点是（ ）
A．B．C．D．
3．已知空间向量，，则（ ）
A．B．C．D．
4．“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．圆上的点到直线的最大距离是（ ）
A．36B．C．18D．
6．若点P是双曲线上一点，，分别为C的左、右焦点，，则（ ）
A．5B．13C．5或13D．1或5
7．三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
8．若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在三棱锥中，点N为棱AP的中点，点M在棱BC上，且满足，设，，，则（ ）
A．B．C．D．
10．如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
11．已知圆：和圆：交于A，B两点，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①两圆的圆心距；
②直线AB的方程为；
③；
④圆上的点到直线AB的最大距离为．
A．1B．2C．3D．4
12．设点F为双曲线C：的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线C的渐近线交于A，B两点（均异于点O）．若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
第Ⅱ卷（90分）
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共10小题，共90分．
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．
13．若双曲线的一个焦点为，则实数______．
14．过椭圆的一个焦点的弦AB与另一个焦点围成的的周长是______．
15．已知直线与平行，则实数______．
16．过点且与圆相切的直线l的方程为______．
17．设点，，直线m过点且与线段AB相交，则直线m的斜率k的取值范围是______．
18．如图，在棱长为1的正方体，中，E为线段的中点，则直线与平面所成角的正弦值为______；点B到直线的距离为______．
三、解答题：本题共4小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．（本小题15分）
已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上．
（Ⅰ）求经过点A，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；
（Ⅱ）求圆C的标准方程；
（Ⅲ）斜率为的直线l过点B且与圆C相交于E，F两点，求．
20．（本小题15分）
已知四棱锥中，底面ABCD为梯形，，平面ABCD，，其中，．N是的中点，M是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角余弦值；
（3）求点B到平面的距离．
21．（本小题15分）
已知椭圆的离心率为，右焦点为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于A，B两点，求的面积．
22．（本小题15分）
设椭圆的上顶点为A，左焦点为F，已知椭圆的离心率，．
（1）求椭圆方程；
（2）设过点A且斜率为k的直线l与椭圆交于点B（B异于点A），与直线交于点M，点B关于y轴的对称点为E，直线ME与y轴交于点N，若的面积为，求直线l的方程．
答案和解析
1．【答案】C
【解析】【分析】本题考查的知识要点：直线方程的倾斜角和斜率的关系，属于基础题．直接利用直线的倾斜角和斜率的关系求出结果．
【解答】解：设直线的倾斜角为，则，由于，所以．故选C．
2．【答案】B
【解析】【分析】本题考查空间中点关于坐标平面对称点的坐标的求法，属于基础题．利用点关于xOz平面对称点为求解即可．
解：点关于xOz平面的对称点是．故选B．
3．【答案】A
【解析】解：∵空间向量，，∴．
故选：A．
根据空间向量的坐标运算法则求解．本题主要考查了空间向量的坐标运算，属于基础题．
4．【答案】A
【解析】解：∵“”⇒“方程表示双曲线”，“方程表示双曲线”⇒“”．∴“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件．故选：A．
“”是“方程表示双曲线”⇒“方程表示双曲线”，⇒“”．
本题考查命题真假的判断，考查双曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．【答案】B
【解析】解：由圆知圆心坐标为，半径为，则圆上的点到直线的最大距离为．故选：B．
求得圆心到直线的距离可求圆上的点到直线的最大距离．
本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离问题，属基础题．
6．【答案】C
【解析】【分析】根据双曲线的定义可得选项．
【详解】由题意可知，，，，若，则，或13．故选：C．
7．【答案】C
【解析】【分析】利用圆的一般方程列出方程组求解即可．
【详解】设所求圆方程为，
因为，，三点都在圆上，
所以，解得，
即所求圆方程为：．故选：C．
8．【答案】C
【解析】【分析】由双曲线渐近线方程可得，将代入双曲线方程可求得，，由此可得结果．
【解答】解：由双曲线方程可得其渐近线方程为：，∴，即，则双曲线方程可化为：，由双曲线过点，∴，解得：，∴，∴双曲线方程为：．故选：C．
9．【答案】B
【解析】【分析】利用空间向量的线性运算即可求解．
【详解】因为点N为棱AP的中点，且，所以．故选：B．
10．【答案】B
【解析】【分析】判断点在椭圆内，再借助“点差法”求出这条弦所在直线的斜率即可计算作答．
【详解】依题意，点在椭圆内，设这条弦的两个端点，，由得：，又，于是得弦AB所在直线斜率，方程为：，即，所以这条弦所在的直线方程是．故选：B
11．【答案】B
【解析】【分析】本题考查两个圆的位置关系，考查公共弦求法，属于中档题．求出圆的圆心与半径，求解圆心距判断①；求出相交弦数值的直线方程判断②；求解弦长判断③；利用点到直线的距离求解判断④即可．
【解答】解：圆：的圆心，半径为：2；圆：的圆心，半径为
对于1，两圆的圆心距，所以1不正确；
对于②，两圆相交，两个圆的方程作差可得，即，所以②正确；
对于③，圆到直线AB的距离为：，所以，所以③不正确；
对于④，圆上的点到直线?的最大距离为：，所以④正确；故选：B．
12．【答案】A
【解析】解：如下图所示：
连接AF、BF，设，由对称性可知，M为AB的中点，，因为，则线段AB是以OF为直径的圆的一条直径，则MM为圆心，故M为OF的中点，又因为，且AB、OF互相垂直且平分，所以，四边形OAFB为正方形，则，所以，所以，该双曲线的离心率为．故选：A．
作出图形，分析可知，四边形OAFB为正方形，可得出，求出的值，进而可求得该双曲线的离心率的值．本题考查双曲线的性质，属于中档题．
13．【答案】3
【解析】【分析】本题考查双曲线的标准方程，属于基础题．根据双曲线的一个焦点为，则，解得m的值即可．
【解答】解：因为双曲线的一个焦点为，则，则，故答案为3．
14．【答案】8
【解析】【分析】本题考查了椭圆的简单性质，着重考查椭圆定义的应用，属于基础题．由椭圆的方程知，长半轴，利用椭圆的定义知，的周长为，从而可得答案．
【解答】解：∵椭圆的方程为，∴，又过焦点的直线与椭圆交于A，B两点，A，B与椭圆的另一个焦点构成，则的周长．故答案为8．
15．【答案】
【解析】【分析】本题考查直线的一般式方程与直线的平行的判定，属中档题．分类讨论，进行求解即可．
【解答】解：当时，两直线显然不平行，当时，由直线与直线平行，∴，解得：或-2，经检验当时两直线重合，不符合题意，∴，故答案为．
16．【答案】或
【解析】【分析】此题考查了直线与圆的位置关系，分类讨论的思想，属于基础题．先求出圆的标准方程，可得圆心坐标和半径，分直线斜率存在和斜率不存在两种情况分别求得切线方程，从而得到答案．
【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：，
∴圆心坐标为，半径，若直线l斜率不存在，此时直线l为与圆相切；若直线l斜率存在，设为k，得到直线l方程为，即，∵直线l与圆相切，∴圆心到直线l的距离，即，解得：，此时直线l的方程为，综上，直线l的方程为或．故答案为：或．
17．【答案】或
【解析】【分析】本题考查了直线的斜率，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．由题意画出图形，求出和的斜率，数形结合得答案．
【解答】解：如图：
，，由于直线m过点，且与线段AB相交，所以由图可知或，即或．故答案为或．
18．【答案】；
【解析】【分析】本题考查直线与平面所成角，点线距离的向量求法，属于中档题．建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解．
【解答】解：以为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的法向量为，
则，∴，∴，取，则，，
∴是平面的一个法向量，又∵，设与平面所成角为，
则，取，，
则，，故点B到直线的距离为；
故答案为：；
19．【答案】解：（Ⅰ）当直线过原点时，直线的方程为，
当直线不过原点时，设直线的方程为，直线经过点，代入解得，
直线的方程为，综上所得直线的方程为或．
（Ⅱ）方法一：由题意设M为A，B的中点，则，∴，
直线MC的方程为，即．
又∵圆心C在直线上，由，解得，∴圆心，
此时圆C的半径．∴圆C的标准方程为．
方法二：圆心C在直线上，可设圆心，
又∵圆C经过，两点，∴，
∴，解得，此时圆心，
圆C的半径．∴圆V的标准方程为．
（Ⅲ）由题意可知直线l的方程为，即．
圆心到直线的距离为，∴．
【解析】本题考查了直线方程，圆的方程，直线截圆的弦长，属于中档题．
（Ⅰ）根据直线是否过原点分两种情况讨论求解；
（Ⅱ）根据题意求解圆心半径即可；
（Ⅲ）由题意求解AB方程，然后求解圆心到直线的距离，即可求解弦长．．
20．【答案】（1）证明：取中点E，连接NE，ME，由N是的中点，得，且，由M是的中点，得，且，则，，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，故平面．
（2）解：以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，有，，，，，，则，，，
设平面的法向量为，，则，
设平面法向量为，，则，
所以，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
（3）解：因为，平面的法向量为，
所以点B到平面的距离为．
【解析】（1）取中点E，连接NE，ME，易证四边形是平行四边形，所以，由线面平行的判定定理证明即可；
（2）以A为原点建系，利用向量法分别求出平面与平面的法向量，利用向量的夹角公式，求平面与平面的夹角的余弦值；
（3）由（2）得及平面的法向量，利用向量法即可求点B到平面的距离．
本题考查直线与平面平行、点到平面的距离、直线与平面所成的角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，属于中档题．
21．【答案】解：（Ⅰ）因为椭圆的离心率为，右焦点为，
所以，，所以，，所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）设，，由，得，，
，，；
F到直线AB的距离为，
所以的面积为．
【解析】（Ⅰ）根据椭圆的焦点和离心率可知，可求a，根据求出b，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，消元，利用韦达定理和弦长公式求出，利用点到直线的距离公式求出点F到直线AB的距离，即可求出的面积．
本题考查椭圆的方程和性质，直线和椭圆的位置关系，属中档题．
22．【答案】解：（1）根据已知条件，，则，
又因为，所以有，，所以椭圆方程为；
（2）根据已知条件，直线l的斜率一定存在，若，则直线方程为，
与直线无交点，所以；
由（1）知，所以直线方程为，联立直线与椭圆方程有：，
即，即，，，
又因为，所以，代入直线，得，
所以，则点B关于y轴的对称点；
联立，有，所以直线ME的斜率为，
设，则有，因为，，
即，解得，所以，
所以，整理有：；
因为ME所在直线方程为：，化为一般式，
设点A到直线ME的距离为d，则，整理得，
所以的面积为：，
即，整理有，即，
整理有：，解得或；或，整理有：，解得或；综上所述，直线方程为或或或．
【解析】本题考查椭圆的性质及标准方程，直线与椭圆的综合，属于较难题．（1）根据已知条件，求出a，b的值确定椭圆方程．（2）根据已知条件确定先确定B点坐标，根据对称确定，确定M坐标，求出解出N坐标，，求出，求出A到直线ME的距离d，进而确定三角形面积，得到关于k方程，解出k即可确定直线方程．