江苏省盐城市东台市第一教育联盟2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

这是一份江苏省盐城市东台市第一教育联盟2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.用配方法解方程时，原方程应变形为( )
A. B. C. D.
2.已知样本数据2，3，5，3，7，下列说法不正确的是( )
A. 平均数是4B. 众数是3C. 中位数是5D. 方差是
3.已知的半径为5，圆心O的坐标为，点P的坐标为，则点P与的位置关系是( )
A. 点P在外B. 点P在内C. 点P在上D. 不能确定
4.某班要从9名百米跑成绩各不相同的同学中选4名参加米接力赛，而这9名同学只知道自己的成绩，要想让他们知道自己是否入选，老师只需公布这9名同学成绩的( )
A. 中位数B. 众数C. 方差D. 平均数
5.用半径为60，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是( )
A. 10B. 20C. 30D. 40
6.P为内一点，，半径为5，则经过P点的最短弦长为( )
A. 5B. 6C. 8D. 10
7.如图，点A、B、C在上，过点A作的切线交OC的延长线于点P，，，则AP的长为( )
A. 3
B.
C.
D.
8.如图，AB是的一条弦，点C是上一动点，且，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与交于G、H两点，若的半径为8，则的最大值为( )
A. 8
B. 12
C. 16
D. 20
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.若方程是一元二次方程，则m的值等于______.
10.一组数据：、、、、，这组数据的方差是______.
11.已知圆的一条弦把圆周分成1：3两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是______.
12.如果m是一元二次方程的一个根，那么的值是______.
13.已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为10cm，则这个圆锥的侧面积是______.
14.如图，四边形ABCD是的内接四边形，的半径为5，，则弦AC的长为______.
15.如图，的半径为6，如果弦AB是内接正方形的一边，弦AC是内接正十二边形的一边，那么弦BC的长为______.
16.中，，，则的内切圆的半径长为______.
17.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，满足，则a的值为______.
18.如图，在中，，，，将绕点C旋转，得到，点A的对应点为，P为的中点，连接在旋转的过程中，线段BP长度的最大值为______.
三、解答题：本题共9小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题12分
解方程：
；
用配方法；
；
20.本小题8分
如图，AB是的直径，C、D为上的点，且AD平分，作于点
求证：；
若，求AC的长．
21.本小题10分
已知关于x的方程
求证：方程一定有两个不相等的实数根；
若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．
22.本小题12分
每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心疾首．今年某校为确保学生安全，开展了“远离溺水珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩百分制进行整理、描述和分析成绩得分用x表示，共分成四组：，，，，下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82；
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，90，94，
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
直接写出上述图表中a，b，c的值；
根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由一条理由即可；
该校七、八年级共720人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？
23.本小题10分
如图，AB是的直径，弦于点E，连接AC，
求证：；
若，，求扇形阴影部分的面积．
24.本小题10分
某商店经销一批小商品，每件商品的成本为8元．据市场分析，销售单价定为10元时，每天能售出200件；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20件．
设销售单价定为x元．据此规律，请回答：
商店日销售量减少______件，每件商品盈利______元用含x的代数式表示；
针对这种小商品的销售情况，该商店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？
25.本小题10分
在一次趣味数学的社团活动中，有这样的一道数学探究性问题．
问题情境：如图1，在中，，，则的外接圆的半径为______；
操作实践：如图2，用无刻度直尺与圆规在矩形ABCD的内部作出一点P，使得，且不写作法，保留作图痕迹；
迁移应用：已知，在中，，，，求BC的取值范围．
26.本小题12分
如图，在中，，，点P为AB的中点，E为BC上一动点，过P点作交AC于F点，经过P、E、F三点确定
试说明：点C也一定在上．
点E在运动过程中，的度数是否变化？若不变，求出的度数；若变化，说明理由．
求线段EF的取值范围，并说明理由．
27.本小题12分
如图①，在矩形ABCD中，动点P以的速度在矩形ABCD的边上沿的方向匀速运动，动点Q在矩形ABCD的边上沿的方向匀速运动．P、Q两点同时出发，当点P到达终点D时，点Q立即停止运动．设运动的时间为，的面积为，S与t的函数图象如图②所示．
______cm，点Q的运动速度为______；
在点P、Q出发的同时，点O也从CD的中点出发，以的速度沿CD的垂直平分线向左匀速运动，以点O为圆心的始终与边AD、BC相切，当点P到达终点D时，运动同时停止．
①当点O在QD上时，求t的值；
②当PQ与有公共点时，求t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：，
移项，得，
配方，得，
即，
故选：
移项后配方，再根据完全平方公式变形，最后得出选项即可．
本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：样本数据2，3，5，3，7中平均数是4，中位数是3，众数是3，
方差是
故选：
根据众数、中位数、平均数、方差的定义和计算公式分别进行分析即可．
本题考查方差、众数、中位数、平均数．关键是掌握各种数的定义，熟练记住方差公式是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：圆心O的坐标为，点P的坐标为，
的半径为5，
点P在圆上．
故选：
先根据勾股定理求出OP的长，再与圆的半径相比较即可．
本题考查的是点与圆的位置关系，熟知设的半径为r，点P到圆心的距离，当时，点在圆内是解答此题的关键．
4.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．9人成绩的中位数是第5名的成绩．
参赛选手要想知道自己是否能进入前4名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【解答】
解：知道自己是否入选，老师只需公布第五名的成绩，即中位数．
故选：
5.【答案】B
【解析】解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得
，
解得
故选：
圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解．
本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
6.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查的是垂径定理及勾股定理的应用，能够正确的判断出过P点的最短弦的位置是解答此题的关键．过P点作垂直于OP的弦AB，连接OA，由勾股定理可求出PA的长，进而可由垂径定理得到弦AB的长即过P点的最短弦长
【解答】
解：如图；过P作，交于AB，连接OA，

中，，，
由勾股定理，得：，
，
故选
7.【答案】D
【解析】解：
连接OA，
，
，
过点A作的切线交OC的延长线于点P，
，
，
，
故选：
连接OA，根据圆周角定理求出，根据切线的性质求出，解直角三角形求出AP即可．
本题考查了切线的性质和圆周角定理、解直角三角形等知识点，能熟记切线的性质是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．
8.【答案】B
【解析】解：连接OA、OB，如图所示：
，
，
，
为等边三角形，
的半径为8，
，
点E，F分别是AC、BC的中点，
，
要求的最大值，即求弦的最大值，
当弦GH是圆的直径时，它的最大值为：，
的最大值为：
故选：
连接OA、OB，根据圆周角定理，求出，进而判断出为等边三角形；然后根据的半径为8，可得，再根据三角形的中位线定理，求出EF的长度；最后判断出当弦GH是圆的直径时，它的值最大，进而求出的最大值是多少即可．
本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理，等边三角形的判定与性质等知识．确定GH的位置是解题的关键．
9.【答案】0
【解析】解：方程是一元二次方程，
，
解得
故答案为：
根据一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是
10.【答案】2
【解析】解：这组数据的平均数是：，
则组数据的方差是
故答案为：
先由平均数的公式计算出这组数据的平均数，再根据方差的公式计算即可．
本题考查方差的定义：一般地设n个数据，，，…的平均数为，则方差…，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
11.【答案】或
【解析】解：弦AB把分成1：3两部分，
，
，
四边形ADBC是的内接四边形，
这条弦所对的圆周角的度数是：或
故答案为：或
首先根据题意画出图形，然后由圆的一条弦把圆周分成1：3两部分，求得的度数，又由圆周角定理，求得的度数，然后根据圆的内接四边形的对角互补，求得的度数，继而可求得答案．
此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质，以及圆心角与弧的关系．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
12.【答案】
【解析】解：为一元二次方程的一个根．
，
即，
故答案为：
利用一元二次方程的解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13.【答案】
【解析】解：圆锥侧面积；
故答案为：
圆锥的侧面积底面半径母线长．
考查圆锥的侧面展开图公式；用到的知识点为：圆锥的侧面积底面半径母线长．
14.【答案】
【解析】解：连接OA、OC，AC，
四边形ABCD是的内接四边形，
，
，
，
，
的半径为5，
，
故答案为：
连接OA、OC，根据圆内接四边形的性质和已知条件求出的度数，根据圆周角定理求出，再根据等腰直角三角形的性质求出答案即可．
本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：连接OA、OB、OC，作于点D，
是内接正方形的一边，弦AC是内接正十二边形的一边，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
连接OA、OB、OC，作于点D，根据AB是内接正方形的一边，弦AC是内接正十二边形的一边得到，，从而得到，然后求得BC的长即可．
考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是求得的度数，难度不大．
16.【答案】3
【解析】解：设的内切圆为，切点分别为E，D，F，AD为BC边上的高，
，，
，
则
，
解得：
故答案为：
设的内切圆为，切点分别为E，D，F，AD为BC边上的高，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．
此题主要考查等腰三角形内切圆半径求法，正确利用勾股定理以及等腰三角形的性质是解题关键．
17.【答案】
【解析】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
，，
，
即，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去
故答案为：
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，由，是关于x的一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合，找出关于a的一元二次方程是解题的关键．
18.【答案】11
【解析】解：连接CP，
，，，
，
将绕点C旋转，得到，
，，
为的中点，
，
在旋转的过程中，点P在以C为圆心，5为半径的圆上运动，
当B，C，P三点共线时，BP有最大值，
的最大值为
故答案为
连接CP，由勾股定理求出，由旋转的性质得出，，由直角三角形的性质求出，由题意得出点P在以C为圆心，5为半径的圆上运动，则可求出答案．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，圆的性质，由直角三角形的性质求出CP的长是解题的关键．
19.【答案】解：，
，
，
或，
所以，；
，
，
，
所以，；
，
，
或，
所以，；
方程化为一般式为，
，
，
所以
【解析】先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；
利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；
先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为，然后解一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
20.【答案】证明：平分，
，
，
解：作于点F，如图所示：
则，
，
在和中，，
≌，
，

【解析】根据角平分线的性质可得出，由圆周角定理可得出，进而可得出，利用“同位角相等，两直线平行”即可证出；
作于点F，由垂径定理可得出，由可得出，结合、即可证出≌，再根据全等三角形的性质可得出，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、垂径定理、圆周角定理以及平行线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
21.【答案】证明：
方程，
，
方程一定有两个不相等的实数根；
解：把代入方程可得，解得，
方程为，解得或，
方程的另一根为，
当边长为1和3的线段为直角三角形的直角边时，则斜边，此时直角三角形的周长，
当边长为3的直角三角形斜边时，则另一直角边，此时直角三角形的周长，
综上可知直角三角形的周长为或
【解析】计算该方程的判别式，判断其符号即可；
把方程的根代入可求得m的值，再求解即可，再利用勾股定理可求得直角三角形的第三边，则可求得直角三角形的周长．
本题主要考查根的判别式及勾股定理的应用，在利用根的判别式时，要熟练掌握根的个数与根的判别式的关系，在求直角三角形周长时注意分两种情况．
22.【答案】解：，b，c的值分别为40，94，99；
八年级学生掌握防溺水安全知识较好，
理由：虽然七、八年级的平均分均为92分，但八年级的中位数和众数均高于七年级．
参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数人，
答：参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是468人．
【解析】本题考查扇形统计图，平均数、中位数、众数、方差，用样本估计总体，属于中档题．
用整体1减去其它所占的百分比即可求出a；根据中位数、众数的定义即可求出b，c；
根据八年级的中位数和众数均高于七年级，于是得到八年级学生掌握防溺水安全知识较好；
利用样本估计总体思想求解可得．
解：，
八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数，
；
在七年级10名学生的竞赛成绩中99出现的次数最多，；
见答案；
见答案.
23.【答案】证明：是的直径，弦，
，
；
解：，，
为等边三角形，
，
，
是的直径，弦，
，，
在中，，
扇形阴影部分的面积
【解析】根据垂径定理得到，根据圆周角定理证明结论；
根据等边三角形的判定定理得到为等边三角形，求出，根据勾股定理求出OC，利用扇形面积公式计算即可．
本题考查的是扇形面积计算、垂径定理、圆周角定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．
24.【答案】解：；；
由题意可得：，
解得：，舍去
答：该商店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，销售单价应定为12元．
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的应用．
根据题目的条件：销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20件，填空即可；因为每件商品的成本为8元，所以每件商品盈利元；
由利润=每件利润销售数量建立方程求出其解即可．
【解答】
解：销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20件，
商店日销售量减少件，
每件商品的成本为8元．
每件商品盈利为元；
见答案．
25.【答案】解：；
如图，作BC的垂直平分线，交BE于点O，以O为圆心，OB为半径画圆，交垂直平分线于点P，
如图，作的外接圆，
，，
当时，BC为最长直径，
，
，
，，
，
，
当时，是等边三角形，
，
，
的取值范围为：
【解析】解：连接OB、OC，
，
，
，
是等边三角形，
，
的外接圆的半径为
故答案为：
见答案.
连接OB、OC，根据圆周角定理及等边三角形的性质可得答案；
作BC的垂直平分线，交BE于点O，以O为圆心，OB为半径画圆，交垂直平分线于点P，可得图；
作的外接圆，利用特殊直角三角形的性质及等边三角形的性质可得答案．
此题考查的是圆的综合题目，涉及圆的性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解决此题关键．
26.【答案】解：由于，
经过P、E、F三点确定，由圆周角定理可知：的直径为EF，
，
点C在圆O上．
连接PC
，
是等腰直角三角形，
点P是AB的中点，
平分，
，
，
，
由于的度数不变，
的度数不会发生变化．
是等腰直角三角形，
当时，
此时，
当P与C或B重合时，
此时，
，

【解析】根据圆周角定理可求知FE是的直径，从而可知点C在上．
根据圆周角定理即可求出的度数．
由于是等腰直角三角形，从而可知，所以求出EP的范围即可．
本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，等腰直角三角形的性质，动点问题等知识，综合程度较高，综合考查学生灵活运用知识的能力．
27.【答案】30 6
【解析】解：设点Q的运动速度为a，
则由图②可看出，当运动时间为5s时，有最大面积450，即此时点Q到达点B处，
，
，
，
，
故答案为：30，5；
①如图1，设AB，CD的中点分别为E，F，当点O在QD上时，
，，
且点F是DC的中点，
，
即，
解得，；
②设AB，CD的中点分别为E，F，与AD，BC的切点分别为N，G，过点Q作于H，
如图，当第一次与PQ相切于点M时，
，，且，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
；
如图，当第二次与PQ相切于点M时，
，，且，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，当PQ与有公共点时，t的取值范围为：
设点Q的运动速度为a，则由图②可看出，当运动时间为5s时，有最大面积450，即此时点Q到达点B处，可列出关于a的方程，即可求出点Q的速度，进一步求出AB的长；
①如图1，设AB，CD的中点分别为E，F，当点O在QD上时，用含t的代数式分别表示出OF，QC的长，由可求出t的值；
②设AB，CD的中点分别为E，F，与AD，BC的切点分别为N，G，过点Q作于H，如图，当第一次与PQ相切于点M时，证是等腰直角三角形，分别用含t的代数式表示CG，QM，PM，再表示出QP，由可求出t的值；同理，如图，当第二次与PQ相切于点M时，可求出t的值，即可写出t的取值范围．
本题考查了矩形的性质，二次函数的图象及性质，切线的性质等，综合性强，解题关键是能够根据题意画出图形并能够用含字线母的代数式正确的将相关线段的长表示出来等．年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
93
b
众数
c
100
方差
52