上海市实验学校2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

这是一份上海市实验学校2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题，共19页。试卷主要包含了10，已知,则 ，在中,,则 等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.已知,则 .
2.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则 .
3.在中,,则 .
4.若关于的不等式的解集为,则 .
5.已知为第一象限角，为第三象限角，，则 .
6.已知函数为在上单调递增,则实数的取值范围是 .
7.设函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 .
8.已知,则 .
9.设为平面上一定点,为动点,则当由0变化到时,线段扫过的面积是 .
10.已知,函数在零点的个数最大值为 .
11.已知函数的定义域为,且对任意,满足
,且,则 .
12.已知方程有四个不同的实数根,满足,且在区间和上各存在唯一整数，则实数的取值范围为 .
二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)
13.已知集合，则（ ）.
A. B. C. D.
14.生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物
种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，
则（ ）.
A. B. C. D.
15.将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则的最大值为（ ）.
A.2 B.3 C.4 D.5
16.若函数在上恰有3个零点，则符合条件的的个数是（ ）.
A.4 B.5 C.6 D.7
三、解答题(共5道大题,共计76分)
17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.)
已知在中,角所对的边分别为,且满足,
;
（1）求角的值;
（2）若的面积为,求的周长.
18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.)
如图,已知三棱柱的所有棱长均为1,且.
（1）求直线与平面所成角的正弦值;
（2）求点到平面的距离.

19.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.)
已知函数.
（1）将化成的形式,并写出的最小正周期及对称轴方程；
（2）若在上的值域为,求的取值范围.
20.（本题满分16分.本题共3小题,第(1)小题4分,第（2）小题6分.第(3)小题6分)
对于四个正数，如果，那么称是的"下位序列"
（1）对于,试求的"下位序列";
（2）设均为正数，且是的"下位序列"，试判断：之间的大小关系，并证明你的结论；
（3）设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的"下位序列"，且是的"下位序列"，求正整数的最小值.
21.（本题满分18分.本题共3个小题,第（1）小题4分,第（2）小题6分,第(3)小题8分)
函数满足：对任意恒成立（或恒成立），则称直线是函数在上的支撑线.
（1）指出下列哪些函数在定义域上存在支撑线：
① ② ③ ④
（2）动点在函数图象上，直线是在定义域上的支撑线，求点到直线的距离最小值;
（3）直线是函数在上的支撑线，求实数的取值范围.
上实验2024学年第一学期高三年级数学月考
2024.10
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.已知,则 .
【答案】
【解析】由诱导公式可得:,故答案为:.
2.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则 .
【答案】
【解析】因为函数是定义在R上的奇函数，且当时，，
则。故答案为:.
3.在中,,则 .
【答案】
【解析】.故答案为:
4.若关于的不等式的解集为,则 .
【答案】
【解析】依题意可得,即,而,即,
所以.
5.已知为第一象限角，为第三象限角，，则 .
【答案】
【解析】因为为第一象限角，为第三象限角，所以，因为,
所以，
所以,所以
则.故答案为:.
6.已知函数为在上单调递增,则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】函数为在上单调递增,可知:，
可得.
7.设函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 .
【答案】
【解析】,则,故,
所以曲线在点处的切线为,令，解得，
令，解得，故所求三角形的面积为.
8.已知,则 .
【答案】
【解析】因为，
所以，所以，而，
故，即.故答案为:.
9.设为平面上一定点,为动点,则当由0变化到时,线段扫过的面积是 .
【答案】
【解析】由可知，
点在半径为1，圆心在原点的单位圆上，如图,
点运动到,则,
扇形面积为，而，,故线段扫过的面积为.
10.已知,函数在零点的个数最大值为 .
【答案】
【解析】令可得,则有,
设是相邻的两个零点,则有或,
函数在上有且仅有两个零点，在上有且仅有两个零点，
在上有且仅有两个零点，在上有且仅有两个零点，
在上有且仅有两个零点，在上有且仅有两个零点，
因为，所以在可能没有零点，可能有1个零点，可能有2个零点，不可能有3个零点，所以零点的个数最大值为个，故答案为:.
11.已知函数的定义域为,且对任意,满足
,且,则 .
【答案】
【解析】由
，所以，即，
所以
12.已知方程有四个不同的实数根,满足,且在区间和上各存在唯一整数，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】方法一:.
令，则.所以为偶函数.
所以只需考虑时，有两个零点，且在区间上存在唯一的整数即可.当时,令,得.令,则.
当时,,所以在上单调递增;
当时,，所以在上单调递减.
因为在区间上存在唯一的整数,所以,即.
所以的取值范围为.
方法二:.
令,则，所以为奇函数.
因为也是奇函数，所以只需考虑时,与的图象有两个交点,且在区间上存在唯一的整数.易知，
当时，，所以在上单调递增;
当时,,所以在上单调递减.
当直线过点时,；当直线过点时,.因为与的图象有两个交点,且在区间上存在唯一的整数,
所以,所以的取值范围为.
方法三:由,得，
令，两函数均为偶函数，所以只需考虑时，与的图象有两个交点，且在区间上存在唯一整数.如图,作的部分图象,根据图象易得,
所以解得,
所以的取值范围为.
二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)
13.已知集合，则（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】集合，则。
14.生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物
种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，
则（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据个体总数由变为可列式，，
所以，约分可得，故，所以.
15.将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则的最大值为（ ）.
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
【解析】由题，当时，,若在上只有一个极大值点，则,得,
因为,所以的最大值为3.
16.若函数在上恰有3个零点，则符合条件的的个数是（ ）.
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】B
【解析】令,则或,
由得，当时，在上没有零点，
则在上应有3个零点,所以,即,
与联立得,因为,所以的值依次为9,10；
当时，在上有1个零点在上有3个零点,不满足题意;
当时,在上有2个零点,在上应有1个零点（因为，所以该零点与的零点不相同），
所以,即,与联立得,
因为,所以的取值依次为，综上得符合条件的的个数是5.
三、解答题(共5道大题,共计76分)
17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.)
已知在中,角所对的边分别为,且满足,
;
（1）求角的值;
（2）若的面积为,求的周长.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由题意得:,
即:,,又,因此,
因为,因此,故为锐角,因此;
（2）由,则由余弦定理:,得:,因此可得:,因此,为等腰直角三角形,
又得:，因此的周长为.
18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.)
如图,已知三棱柱的所有棱长均为1,且.
（1）求直线与平面所成角的正弦值;
（2）求点到平面的距离.

【答案】（1） （2）
【解析】（1）由题意,得四面体是正四面体.如图,过点作平面的垂线,交平面于点,连接.由对称性知，点为正三角形的中心.
易得,所以.
因为平面平面,所以.
所以直线与平面所成的角为.
因为,又平面平面,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
(2)因为平面平面,所以.
又,且,所以平面.
又平面,所以.又,所以.
所以四边形为矩形.所以.
因为,
所以点到平面的距离为
19.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.)
已知函数.
（1）将化成的形式,并写出的最小正周期及对称轴方程；
（2）若在上的值域为,求的取值范围.
【答案】（1）对称轴为直线.
（2）
【解析】(1)
，由题意得的最小正周期.
由图象可知，对称轴为直线.
（2）若在上单调,则,
得,
则
由,得,则,
所以.
若在上不单调，则在上的图象上必定有一个最高点或最低点,且在上的图象无论经过任何一个最高点或任何一个最低点,的取值范围均相同.
假设在上的图象的最高点为,则,
当,即时,,此时取得最小值,且最小值是.易得,则,所以.
综上,的取值范围为.
20.（本题满分16分.本题共3小题,第(1)小题4分,第（2）小题6分.第(3)小题6分)
对于四个正数，如果，那么称是的"下位序列"
（1）对于,试求的"下位序列";
（2）设均为正数，且是的"下位序列"，试判断：之间的大小关系，并证明你的结论；
（3）设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的"下位序列"，且是的"下位序列"，求正整数的最小值.
【答案】（1） （2），证明见解析 （3）
【解析】（1）由题意可知此时则的“下位序列”为
（2）由题意可知此时取,则
猜想
先证左边则
再证右边则
综上
（3）由题意可知①，又则
此时于是解得
又对集合内的每个,上式都成立,
则
下证满足题意,
由①可知
再由（2）可知
即对集合内的每个，总存在是满足题意的
综上所述：正整数的最小值为.
21.（本题满分18分.本题共3个小题,第（1）小题4分,第（2）小题6分,第(3)小题8分)
函数满足：对任意恒成立（或恒成立），则称直线是函数在上的支撑线.
（1）指出下列哪些函数在定义域上存在支撑线：
① ② ③ ④
（2）动点在函数图象上，直线是在定义域上的支撑线，求点到直线的距离最小值;
（3）直线是函数在上的支撑线，求实数的取值范围.
【答案】（1）③ ④ （2） （3）
【解析】（1）③ ④
证明:是一条支撑线
（2）直线是在定义域上的支撑线
若,则时,时,,不合题意直线是在定义域上的支撑线,恒成立
令
时,时,在上递增,在上递减的最大值为
又易证在上递减，在上递增.
设在处的切线斜率为所以当在处的切线斜率为
即时,点到直线的距离取得最小值为
（3）直线是函数在上的支撑线
①若在上恒成立
记.
当时,在上单调递减,,符合题意
当时,,符合题意.
当时,在上单调递减,，符合题意
当时,在上单调递增,上单调递减,，不符合题意
②若在上恒成立,
在上不符合题意，
综上，符合题意
【解析】