【河南卷】河南省部分示范性重点高中2024-2025学年2025届高三第一（上）学期11月期中质量检测（11.21-11.22）数学试卷+解析

这是一份【河南卷】河南省部分示范性重点高中2024-2025学年2025届高三第一（上）学期11月期中质量检测（11.21-11.22）数学试卷+解析，共22页。试卷主要包含了E ， 设B 点处的切线为等内容，欢迎下载使用。
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2025 届高三第一学期 11 月质量检测
数学
全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的 指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题 区域均无效.
3.选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作 答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.
1. 已知集合 A = {x ∈ Z y = lg(1- x )} ， B = {x x 2 - x - 2 ≤ 0} ，则 A ∩ B = ( )
A. {-1, 0, 1} B. {-1, 0} C. [-1, 1) D. (-1, 2)
则 z = ( )
3.要得到函数 = 2 cs 的图象，只需要把函数 = 2 sin 的图象 ( )
π π
A. 向右平移 个单位长度 B. 向左平移 个单位长度
3 3
C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
4. 已知直线l1 ： (a -1)x + 2y +1 = 0 ， l2 ： ax + (1- a )y + 2 = 0 ，设甲： l1 丄 l2 ；乙： a = 2 ，则 ( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
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5.设 a-, 为非零向量，若 丄 丄 ，则 cs <
1 1 1 1
A. B. - C. D. -
3 3 2 2
6.设 Sn 为等比数列 的前 n 项和，若 a1 = -1 ， a2 a8 = 4 ，则 ）
A. 1 B.2 C.3 D.5
7.若关于x 的不等式 在 上恒成立，则 a 的取值范围是 ( )
D. [e, +∞)
8. 已知函数 f (x ) 的定义域为 R ，且 f (x + y) + f (x -y ) = 2f (x )+ 2f (y ) ， f (1) = 1 ，设
an = f ，则 ）
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9.记数列{an } 的前n 项和为 Sn ，且Sn = n2 + n (n ∈ N*) ，则 ( )
A. a3 = 6
〔 S )
B.数列 { n }是公差为 1 的等差数列
lan ,
C.数列 的前n 项和为
D.数列{(-1)n an } 的前 2023项和为 -2024
10. 已知函数 f (x ) = x3 + ax2 + bx + c ， x = 0 ， x = 3是 f (x ) 的两个零点，且 f, (3) = 0 ，则 ( )
A. a + b + c = 4
B. x = 3为 f (x ) 的极小值点
C. f (x ) 的极大值为 4
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D.满足 f (x ) > f (1) 的解集是{x x > 4 }
11. 已知函数 f (x ) 的定义域为 R ，对于任意非零实数x, y ，均有 f > x ，且 则
下列结论正确的为 ( )
A. f (0) = 0 B. f (x ) 为奇函数
C. f (2x)f (2-x) > 1 D. f (2024x ) ≥ 2024f (x )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.若 α 是第二象限角，且 tanα = - ，则 cs = .
13.在平面直角坐标系 xOy 中， A (1, 0) ，若点 P 满足 2PO2 + PA2 = 2 ，则 △POA 面积的最大值为
.
____________
14.在 △ABC 中， A = ， AB = 2 ， D, E 两点分别在边 AB ，AC 上，若DE = DB ，则 AD 的最大值为
.
____________
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分 13 分）
已知函数 f (x ) = lg2 (|( - -1), 为奇函数.
（1）求 a 的值；
（2）求满足 f (x ) < lg2 (x + 2)- lgx 的 x 的取值范围. 16.（本小题满分 15 分）
已知函数 f (x ) = cs wx cs (|(wx + ), + a (w > 0) 的最小正周期为 π , 且 f (x ) 的最大值为 2.
（1）求w 和 a 的值；
（2）若函数 g(x ) = f (x )- m 在区间 内有且仅有两个零点 x1 ，x2 ，求 m 的取值范围及 f (x1 + x2 )
的值.
17.（本小题满分 15 分）
在 △ABC 中， 内角A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，记 △ABC 的面积为 S， -B-→ . - = 2S .
（1）求 A 的值；
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已知 S = 3 ，D 为 AC 的中点， BD = 7b ，求 △ABC 的周长.
18.（本小题满分 17 分）
已知数列{an } 的前n 项和为 Sn ，数列{bn }满足2bn = an +1 ， Sn = nb1 + (n -1)b2 +… + 2bn-1 + bn ， a1 = b1 = 1 .
（1）求 {an } 的通项公式；
设 cn = 求使得[c1 ]+ [c2 ]+… + [cn ] ≥ 2024 成立的 n 的最小整数.（ [x] 表示不超过 x 的最大整
数）
19.（本小题满分 17 分）
已知曲线 y = f (x ) 的图象上存在 A, B 两点，记直线 AB 的方程为 y = g (x ) ，若 AB 恰为曲线 y = f (x ) 的 一条切线，且直线 y = g (x )与曲线 y = f (x )相切于 A, B 两点， x ∈ R ，f (x ) ≤ g(x ) ，则称函数 f (x ) 为“切线上界 ”函数.
（1）试判断函数 F(x ) = 2 sin2 x + sin 2x 是否为“切线上界 ”函数.若是，求出一组点 A, B ；否则，请说 明理由；
已知G切线上界 ”函数，求实数 a 的取值范围；
（3）证明：当w > 0 时， H (x ) = x + sin wx 为“切线上界 ”函数.
2025 届高三第一学期 11 月质量检测•数学 参考答案、提示及评分细则
河南省部分示范性高中 2024-2025 学年高三上学期 11 月质量检测数学试题
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.
1.【答案】B
【解析】 由1— x > 0 ，解得 x < 1 ，且 x ∈ Z ，由 x2 — x — 2 = (x — 2)(x +1) .0 ，解得 —1 .x .2 ，所以 A ∩ B = {—1, 0} ，故选 B.
2.【答案】A
因为 = i ，所以 z = 所以 ，故选 A.
3.【答案】D
= 2cs = 2sin = 2sin 所以只需把 = 2sin
π
的图象向左平移 个单位长度，故选 D. 6
4.【答案】B
当 a = 1时，直线l1 : 2y +1 = 0, l2 : x + 2 = 0 ，此时l1 丄 l2 ，当 a ≠ 1时， = —1，解得 a = 2 ，
所以甲是乙的必要条件但不是充分条件，故选 B. 5.【答案】D
设 < 由 丄 ，可得 . ，即i csθ= — . 同理，由 丄
可得i . i . csθ= — ，所以 , cs < .故选 D.
6.【答案】C
由 a2 a8 = 4 ，则 a5 = ±2 ，因为q4 = > 0 ，所以 a5 = —2, q4 = 2 ，所以 = 1+ q4 = 3 ，
故选 C.
7.【答案】B
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
D
B
D
C
B
C
题号
9
10
11
答案
ACD
BCD
ACD
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易知 a > 0, x + 开在 上恒成立，即 elna—x + lna — x .eln + ln ， 设f (x ) = ex + x ，易知 f (x ) 单调递增，因为 f
所以 lna — x .ln ，即 lna .x — lnx ，
令 = x — lnx ，则 g, ，当 x ∈ 时， g , < 0, g 单调递减，
当x ∈(1, +∞) 时， g , (x ) > 0, g(x )单调递增，所以 g(x ) 的最小值为 g(1) = 1，
所以lna .1, a 的取值范围是（0, e] ，故选 B. 8.【答案】C
【解析】令x = y = 0 ，则 f (0) + f (0) = 2f (0) + 2f (0) ，所以 f (0) = 0 ， 令x = y = 1 ，则 f (2) + f (0) = 2f (1) + 2f (1) ，所以f (2) = 4 ，
令y = 1, x = n ，则 f (n +1) + f (n —1) = 2f (n)+ 2f (1) = 2f (n)+ 2 ， 所以 f (n +1)— f (n) = f (n)— f (n —1) + 2 ，即 an+1 — an = an — an — 1 + 2 ， 设bn = an+1 — an ，则bn —bn — 1 = 2, b1 = a2 — a1 = 3 ，
所以bn = 3 + 2(n —1) = 2n +1 ，即 an+1 — an = 2n +1， 所以 an = a1 + 3 + 5 +…+ 2n —1 = n 2 ，
, 故选 C.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9.【答案】ACD（全部选对得 6 分，选对 1 个得 2 分，选对 2 个得 4 分，有选错的得 0 分） 【解析】 a3 = S3 — S2 = 6 ，A 选项正确；
当 时，an = Sn — Sn—1 = 2n ，且 a1 = 2 ，所以 an = 2n, 则数列 是公差为 的等差数
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列，B 选项错误 项和为 选项正确； nan = 2 = —2024 ，D 选项正确，故选 ACD.
10.【答案】BCD（全部选对得 6 分，选对 1 个得 2 分，选对 2 个得 4 分，有选错的得 0 分） 【解析】 x = 0, x = 3 是 f (x ) 的两个零点， f (x ) 与x 轴相切，且f, (3) = 0 .
所以 f (x ) = x(x — 3)2 , f (1) = 1+ a +b + c = 4 ，所以 a +b + c = 3 ，A 选项错误；
f, (x ) = (x — 3)2 + 2x (x — 3) = 3 (x — 3)(x —1), x = 3 为 f (x ) 的极小值点，B 选项正确；
f, (x ) = (x — 3)2 + 2x (x — 3) = (x — 3)(3x — 3) ，所以x = 1为 f (x ) 的极大值点， f (1) = 4 .C 选项正确； 因为 f (4) = f (1) = 4 ，D 选项正确；故选 BCD.
11.【答案】ACD（全部选对得 6 分，选对 1 个得 2 分，选对 2 个得 4 分，有选错的得 0 分）
令y = —x ，则 = 0 ，则 f 故选项 A 正确； 由已知 x ∈ R ，有 f > x ，①当x > 0 时， > 1 ；②当x < 0 时， 又
, 则 > 0, :当 x < 0 时，0 < .
若 f (x )为奇函数，则函数为偶函数，与①②矛盾，故选项 B 错误；
由选项 B 可知 f 故选项 C 正确；
当x = 0 时， 由选项 A 知 f (0) = 0, : 显然 f (2024x )开2024f (x )；
当x ≠ 0 时，令 x + y = x2 , x = x1 ，且 x2 > x1 ，由选项 B 易知
x2 x1 x2 — x1 x1
:函数在定义域(—∞, 0) (0, +∞) 内单调递增，
:当 x > 0 时， 024f
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当x < 0 时， 024f 故选项 D 正确；故选 ACD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.【答案及评分细则】 —
【解析】依题意， sinα = , csα = — ，所以 cs (|(α + ), = (csα — sinα) = — . 13.【答案及评分细则】
【解析】设 P(x, y) ，依题意， 2 (x2 + y2 )+ (x —1)2 + y2 = 2 ，整理可得2 + y2 = 所以点 P
在圆心为(|( , 0), ，半径为 的圆上，所以 △POA 面积的最大值为
14.【答案及评分细则】 8 — 43
【解析】设 AD = x, 上ADE = θ, 则DE = DB = 2 — x ，在 △ADE 中，由正弦定理 可得：
, 所以 x =2= 8 — 4 所以当θ= 时，
max
AD = 8 — 4 ·3 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.【答案】（1）4（2） (0, 1)
【解析及评分细则】（1）依题意 = lg2 + lg2 整理得 = lg2
:(a — 2)2 = 4, :a = 4 或 a = 0 （舍），
河南省部分示范性高中 2024-2025 学年高三上学期 11 月质量检测数学试题 :a = 4 ；
（2） 由（1）可知， f (x ) = lg2 (|( ), , l— lg 2x = lg2
整理得， x2 + x — 2 = (x + 2)(x —1) < 0 ，解得 —2 < x < 1，
:满足 f (x ) < lg2 (x + 2)— lgx 的x 的取值范围是(0, 1) .
【解析及评分细则】（1） f (x ) = cswxcs wx + ), + a = cswx |(|( cswx — sinwx ),+ a ，
所以 f (x ) = cswx ((|cswx — sinwx,) + a = — + a
设 f (x ) 的最小正周期为T ，则T = = π , 所以w = 1， f (x ) 的最大值为 + a = 2 ，所以 a = ；
由 可知， f
— m 在区间 内有且仅有两个零点x1 , x2 ，
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( π )
即x1, x2 为方程cs|(2x + 3 , = 2m -3 的两个根，
易知 y = cst 在 上单调递增，在 [0, π ]上单调递减， 根据三角函数图象， : .2m -3 < 1 ，解得 .m < 2 .
17.【答案】（1） （2） 5 +
2 bcsinA ，
→ → 1
【解析及评分细则】（1） 2S = 3AB . AC = 3bccsA ，又 S =
由bcsinA = bccsA ，解得 tanA = ， : A ∈(0, π ) ，得 A = ；
设上ADB = θ, 则 上CDB= π -θ ,
在 △ADB 中， 由余弦定理可得， c2 = 2 - 2× 7b csθ, 在 △CDB 中， 由余弦定理可得， a2 = 2 - 2× 7b cs 两式相加可得， c2 + a2 = = 4b2 ，
由（1）可得， c2 + b2 - a2 = bc, :2c2 -bc - 3b2 = (2c - 3b)(c + b) = 0 ，
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:△ABC 的周长为 5+ 7 .
18.【答案】（1） an = 2n -1 （2）46
【解析及评分细则】（1）因为nb1 + (n -1)b2 +… + bn = Sn ，则 (n +1)b1 + nb2 +… + 2bn + bn+1 = Sn+1 ， 两式相减可得b1 + b2 +…+ bn + bn+1 = an+1 ，即2b1 + 2b2 +…+ 2bn + 2bn+1 = 2an+1 ，
又因为2bn = an +1 ，则 (a1 +1) + (a2 +1) +… + (an +1) + (an+1 +1) = 2an+1 ， 整理可得 Sn+1 + n +1 = 2an+1 ，则 Sn + n = 2an ，
两式相减可得 an+1 +1 = 2an+1 - 2an ，则an+1 +1 = 2 (an +1) ，且 a1 +1 = 2 ，
可知数列{an +1} 是首项为 2 ，公比为 2 的等比数列， 则 an +1 = 2 × 2n-1 = 2n ，所以 an = 2n -1；
易知
[c1 ] = [2 × 1-1] = 1, [c2 ] = |2 × 2 - = 2, [c3 ]= |2 × 3 - = 4, [c4 ]=「|L2 × 4 - = 6, [c5 ]= |2 × 5 - = 9
,
当n开6 时，
2n = (1+1)n = C + C + C + C +…+ C-1 + C开2(n +1) + + = ，
所以 = 2n -1 ，
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所以当n开6 时， [c1 ]+ [c2 ]+…+ [cn ] = 1+ 2 + 4 + 6 + 2× 5 -1+ 2× 6 -1+…+ 2n -1 = n2 - 3 ， 所以 n2 - 3开2024 ，解得 n开46 ，
所以使得[c1 ]+ [c2 ]+…+ [cn ]开2024 成立的 n 的最小整数为 46.
19.【答案】（1）详见解析 详见解析
【解析及评分细则】（1） F (x ) = 2sin2x + sin2x = 1- cs2x + sin2x = 1+ ， 令 2sin 解得 x = kπ + ,k ∈ Z ，
:x = kπ + 为F 的极大值点，且 y = 1 + ·i2 为曲线 y = F (x ) 的一条切线. :F(x )为“切线上界 ”函数，可取 A 满足题意；
（2）设 x1 > x2, A (x1, G (x1 )), B (x2, G (x2 )) ，则G, (x1 ) = G, (x2 ) ，
当x > 0 时， G, (x) = , G, (x)单调递减，
当x < 0 时， G, (x ) = -2x, G, (x )单调递减， :x1 > 0 > x2 ，
整理可得， A 点处的切线方程为
同理 B 点处的切线方程为： y + x + a = -2x2 (x - x2 ) ，
整理可得， y = -2x2 x + x - a ，
依题意， A, B 两点处的切线方程重合，
设 ，
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:φ(x )单调递减， :a < φ( 设 A 点处的切线为
-ln (x +1)(x > 0)，
, 当 x ∈ < 0, x ∈
:P(x )开P(x1 ) = 0, :P(x )开0, :G(x ).E(x ) ， 设B 点处的切线为： Y (x ) = -2x2 x + x - a ，
Y (x )- G (x ) = -2x2 x + x - a + x2 + a = x2 + x - 2xx2 = (x - x2 )2 开0, :Y(x )- G (x )开0, G (x ).Y(x ) ，
综上 a 的取值范围为(|(-∞, ), ；
（3）易知， H, (x ) = 1 + wcswx ，设 A(x1, x1 + sinwx1 ), B (x2, x2 + sinwx2 ) ， A, B 两点处的切线方程分别为： y = (1+ wcswx1 )x + sinwx1 -wx1cswx1 ， y = (1+ wcswx2 )x + sinwx2 -wx2 cswx2 ，
:{ ，
〔1 + wcswx1 = 1 + wcswx2
lsinwx1 -wx1cswx1 = sinwx2 -wx2cswx2
:cswx1 = cswx2, w(x2 - x1 )cswx1 = sinwx2 - sinwx1 ，
不妨取x2 = x1 + , k ∈ Z ，
:2kπcswx1 = sinwx2 -sinwx1 = 0 ，解得x1 = 令 , x2 = ，则sinwx1 = 1, cswx1 = 0 ，
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:直线 AB 的方程为 y = x +1， : H(x ) = x + sinwx .x +1 ，
:当w > 0 时， H (x ) = x + sinwx 为“切线上界 ”函数.