【湖南卷】湖南省永州市蓝山县第二中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试卷+答案

这是一份【湖南卷】湖南省永州市蓝山县第二中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试卷+答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列说法正确的有（ ）
①；②；③；④；⑤
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．已知集合，则集合A的真子集个数为（ ）
A．3B．4C．7D．8
3．如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（ ）
A．B．
C．D．
4．设，则“且”是“”的（ ）.
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．或D．
7．已知：，：，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．下列不等式中，可以作为的一个必要不充分条件的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知命题p：，q：，则下列说法正确的有（ ）
A．p是q的必要条件B．p是q的充分条件
C．p是q的充要条件D．q是p的必要条件
10．（多选）下列说法中，正确的有（ ）
A．空集是任何集合的真子集
B．若，，则
C．任何一个集合必有两个或两个以上的真子集
D．如果不属于的元素一定不属于，则
11．已知全集，，且中有6个元素，则实数的值可以是（ ）
A．5B．6C．7D．8
三、填空题
12．“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 .
13．若集合，，，，则
14．当时， 定义运算: 当时， ；当时，； 当或时，； 当时，； 当时，．在此定义下， 若集合， 则中元素的个数为 ．
四、解答题
15．设集合.求：
(1)；
(2).
16．已知集合，，若，求实数m的取值范围．
17．设，已知集合，．
(1)当时，求实数的范围；
(2)设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围．
18．设集合，
(1)若，求实数的范围；
(2)若，求实数的范围.
19．根据要求完成下列问题：
(1)已知集合.集合，且满足，求实数的取值范围；
(2)设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证：
①若，则集合中还有其他两个元素；
②集合不可能是单元素集合.
2024年蓝山二中秋季高一年级数学月考（9.21）
姓名：___________班级：___________座号：___________
一、单选题
1．下列说法正确的有（ ）
①；②；③；④；⑤
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系逐一判断即可.
【详解】1是自然数，故，故①正确；
不是正整数，故，故②正确；
是有理数，故，故③正确；
是实数，故，故④错误；
是无理数，故，故⑤错误.
则正确的有3个.
故选：.
2．已知集合，则集合A的真子集个数为（ ）
A．3B．4C．7D．8
【答案】C
【分析】求出，再利用结论即可得到其真子集个数.
【详解】，
则集合A的真子集个数为.
故选：C.
3．如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】在阴影部分区域内任取一个元素x ，分析元素x 与各集合的关系，即可得出合适的选项.
【详解】解：在阴影部分区域内任取一个元素x ，
则 且，即且 ，
所以，阴影部分可表示为.
故选：D.
4．设，则“且”是“”的（ ）.
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断.
【详解】若且，则，即充分性成立；
若，例如，满足，
但不满足且，即必要性不成立；
综上所述：“且”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出集合，根据求出实数的取值范围.
【详解】因为，，
所以.
故选：C.
6．已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】B
【分析】阴影部分表示的集合为，根据补集定义求出，再根据交集定义即可求解.
【详解】因为全集，集合或，
所以，
阴影部分表示的集合为，
故选：.
7．已知：，：，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】将的充分不必要条件是转化为两集合的真包含关系，然后根据集合间的包含关系列不等式求解即可.
【详解】设，，
因为的充分不必要条件是，所以是的真子集，
所以，且等号不同时成立，解得，
当时，，成立，
所以.
故选：A.
8．下列不等式中，可以作为的一个必要不充分条件的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用必要不充分条件的意义，逐项判断即得.
【详解】对于A，是的不充分不必要条件，A不是；
对于B，是的一个必要不充分条件，B是；
对于C，是的一个充分不必要条件，C不是；
对于D，是的一个充分不必要条件，D不是.
故选：B
二、多选题
9．已知命题p：，q：，则下列说法正确的有（ ）
A．p是q的必要条件B．p是q的充分条件
C．p是q的充要条件D．q是p的必要条件
【答案】BD
【分析】根据充分条件和必要条件的定义直接得到答案.
【详解】命题p：，q：，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.
故选：BD
10．（多选）下列说法中，正确的有（ ）
A．空集是任何集合的真子集
B．若，，则
C．任何一个集合必有两个或两个以上的真子集
D．如果不属于的元素一定不属于，则
【答案】BD
【分析】根据空集的定义和性质可判断A，C正确与否，根据真子集的性质可判断B正确与否，根据韦恩图可判断D正确与否.
【详解】空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故选项A错；
子集具有传递性，故选项B正确；
若一个集合是空集，则没有真子集，故选项C错；
由韦恩图易知选项D正确.

故选：BD.
11．已知全集，，且中有6个元素，则实数的值可以是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】AD
【分析】根据选项条件，结合补集的定义，集合的包含关系，即可求解；
【详解】对于A中，当时，，
满足且中有6个元素，所以A正确；
对于B中，当时，，集合中无整数解，不符合题意；
对于C中，当时，，集合中无整数解，不符合题意；
对于D中，当时，，
满足且中有6个元素，所以D正确.
故选：AD.
三、填空题
12．“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据充分不必要条件得到两集合关系即可得到答案.
【详解】由题意得，则.
故答案为：.
13．若集合，，，，则
【答案】80
【分析】利用交集的结果求出及集合，再结合并集的结果求出即可得解.
【详解】由，得，即，解得，
由，得，而，则，
因此是方程的等根，则，即，
所以.
故答案为：80
14．当时， 定义运算: 当时， ；当时，； 当或时，； 当时，； 当时，．在此定义下， 若集合， 则中元素的个数为 ．
【答案】14
【分析】根据定义运算，分成五类情况分别列举符合条件的元素，合并即得集合.
【详解】①当时，，所以或或；
②当时，，所以或或；
③当或时，，
所以或或或或或；
④当时，；
⑤当时，．
所以，
，共14个元素．
故答案为：14.
四、解答题
15．设集合.求：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据交集运算求解；
（2）先求，再结合补集运算求解.
【详解】（1）因为，
所以.
（2）因为，则，
所以或.
16．已知集合，，若，求实数m的取值范围．
【答案】．
【分析】由可知是的子集，对集合是否为空集进行讨论，即可得出实数m的取值范围为．
【详解】解不等式可得，
由可知是的子集，
①当时，，
所以；
②当时，即时，
且，
所以，所以．
综上，实数m的取值范围为．
17．设，已知集合，．
(1)当时，求实数的范围；
(2)设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意知，5是集合B的元素，代入可得答案；
（2）由题可得是的真子集，分类讨论为空集和不为空集合两种情况，即可求得的取值范围.
【详解】（1）由题可得，则；
（2）由题可得是的真子集，
当，则；
当，，则（等号不同时成立），解得
综上，.
18．设集合，
(1)若，求实数的范围；
(2)若，求实数的范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，再分及结合集合的基本关系讨论即可得；
（2）由题意可得，借助集合的基本关系计算即可得.
【详解】（1）由，故，
当时，有，解得；
当时，有，解得；
综上所述，；
（2）由，故，
故有，解得，
故.
19．根据要求完成下列问题：
(1)已知集合.集合，且满足，求实数的取值范围；
(2)设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证：
①若，则集合中还有其他两个元素；
②集合不可能是单元素集合.
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）分与两种情况讨论可求实数的取值范围；
（2）①根据题意，由，得，进而，得证；②反证法证明.
【详解】（1）当时，，此时，
当时，∵，∴或关于的方程的根均为负数，
当时，关于的方程无实数根，∴，解得，
当关于的方程的根、均为负数时，
有，解得，即，
综上所述，实数的取值范围为；
（2）①若，则，若，则，
若，则，
∴当时，集合中必含有另两个元素、；
②假设集合中只有个元素（），由题意可知，
∵集合为单元素集合，∴，
即，而，则此方程无实数解，
∴假设不成立，∴集合不可能是单元素集合.