【湖南卷】湖南省永州市新田县第一中学2025届高三上学期期中考试数学试卷

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考试时间：2024年11月23日
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求．）
1. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3. “其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知为定义在R上的奇函数，当时，．若在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5. 将6棵高度不同景观树种植在道路两侧，要求每一侧种植3棵，且每一侧中间的景观树都要比两边的高，则不同的种植方法共有（ ）
A. 20种B. 40种C. 80种D. 160种
6. 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则ω的最大值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
7. 已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知为函数的零点，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．）
9. 已知非零向量，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 向量与向量垂直
10. 如图，在正三棱柱中，M，N，D，Q分别为棱的中点，，则以下结论正确的是（ ）
A. 平面B.
C. 点Q到平面的距离为D. 三棱锥的外接球表面积为
11. 已知抛物线焦点为F，A，B，P为抛物线C上的点，，若抛物线C在点A，B处的切线的斜率分别为，且两切线交于点M．N为抛物线C的准线与y轴的交点．则以下结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 直线PN的倾斜角
C. 若，则直线AB的方程为D. 的最小值为2
非选择题部分
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 已知______________．
13. 已知某中学的3个年级各有学生300，300，400人，现采用分层抽样的方法从3个年级的学生中抽取10人，对他们的体重进行了统计．若3个年级被抽到的学生体重的平均值分别为48，52，55kg，方差分别为4，10，1．将这10名学生体重W（kg）作为样本，则样本的方差为______．
14. “四进制”是一种以为基数的计数系统，使用数字，，，来表示数值．四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响．四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以的相应次方（从开始），然后将所有乘积相加．例如：四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；现将所有由，，组成的位（如：，）四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被整除的概率为______．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 如图，三棱台中，是正三角形，平面ABC，，M，N分别为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值.
16. 已知，函数在点处切线过点.
（1）求实数b的值；
（2）证明：上单调递增；
（3）若对恒成立，求实数a的取值范围．
17. 如图，四边形中，．

（1）求；
（2）为边上一点，且的面积为，求的外接圆半径．
18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且直线与的斜率之积为．
（1）求C的方程；
（2）直线与C交于M，N两点，与y轴交于点A，与x轴交于点B．
（ⅰ）若A，B恰为弦MN的两个三等分点，求直线l的方程；
（ⅱ）若点B与点重合，线段MN的垂直平分线与x轴交于点Q，求的值．
19. 密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学．研究密码变化的客观规律，应用于编制密码以保守通信秘密的，称为编码学；应用于破译密码以获取通信情报的，称为破译学，总称密码学．20世纪70年代，一些学者提出了公开密钥体制，即运用单向函数的数学原理，以实现加、脱密密钥的分离．加密密钥是公开的，脱密密钥是保密的．这种新的密码体制，引起了密码学界的广泛注意和探讨．某数学课外小组研究了一种编制密码的方法：取任意的正整数n，将小于等于n且与n互质的正整数从小到大排列，即为密码．记符合上述条件的正整数的个数为．
（1）求数列的前5项和；
（2）求的表达式和的值；
（3）记，数列的前n项和，证明．