江苏省宿迁市沭阳县2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 直线的倾斜角为D
A．B．C．D．
2． 椭圆的焦点坐标为D
A．B．C．D．
3． 圆与圆的位置关系为B
A．内切B．相交C．外切D．外离
4． 方程表示的曲线为C
A．圆B．椭圆C．线段D．不表示任何图形
5． 如果方程所表示的曲线关于对称，则必有 A
A．B．C．D．
6． 设为实数，若矩形的边所在的直线方程分别为，，则的值为C
A．B．C．或D．
7． 过点引直线与圆相交于两点，为坐标原点，则当面积取最大值时，的斜率为A
A．B．C．D．
8． 已知双曲线的左顶点为，左，右焦点分别为，，且关于它的一条渐近线的对称点为，若以为圆心，为半径的圆过原点，则双曲线的离心率为B
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9． 如果，，那么直线经过 ACD
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是AD
A．△的周长为12B．的最小值为3
C．存在点，使得D．的最大值为16
11．已知圆：，则下列结论正确的是ABD
A．，圆经过点
B．，直线与圆相切
C．，存在定直线与圆相切
D．，存在定圆与圆外切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．抛物线的焦点到准线的距离为 ．
13．函数的最小值为 ．
14．设为正实数，若集合，
且，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知点，直线．
（1）求过点且与直线平行的直线的方程；
（2）若点在直线上，且，求点的坐标．
解：（1）设所求直线方程为
代入得，，所以，
所以所求直线方程为；6分
（2）设点，因为，
所以，即，解得，
所以．13分
16．（15分）
设为实数，已知方程表示椭圆．
（1）求的取值范围；
（2）若，过椭圆的焦点作长轴的垂线，交椭圆于两点，求的长．
解：（1）因为方程表示椭圆
所以，解得且，
所以的取值范围是；7分
（2）当时，方程为，焦点坐标为，
代入方程得，
所以8分
17．（15分）
已知圆的一条对称轴方程为，并且与轴交于两点．
（1）求圆的方程；
（2）经过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程．
17．解：（1）设圆的方程为，
由圆过得两点，得圆心在直线上，
由，解得，3分
所以
所以圆的方程为，即；6分
（2）由知，圆心到直线的距离，
①若直线存在斜率，可设方程为，即，
由已知圆心到直线的距离，解得，9分
此时，直线的方程为，即； 11分
②若直线斜率不存在，则的方程为，符合题意，
综上所述，直线的方程为或．15分
18．（17分）
双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为分别为其左，右焦点，且，从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后分别经过点（在同一直线上，在第一象限）．当轴时，的斜率为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若，求直线的方程．
解：（1）由光学性质知，三点共线，
因为，所以，当轴时，，
所以，即，3分
又因为，解得，
所以双曲线的标准方程为7分
（2）设，因为，所以，
又，所以，所以14分
所以方程为，即：．17分
19．（17分）
已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且，直线与抛物线交于另一点，点在抛物线的准线上，且轴．
（1）求抛物线的方程；
（2）若线段中点的纵坐标为，求直线的方程；
（3）求证：直线经过原点．
解：（1）由抛物线的定义知：，
所以，解得，
所以抛物线的方程为；3分
（2）因为的斜率不为，设方程为，，
由，化简的，
所以，
又由，得，
所以方程为，即；7分
（3）由（2）知：，9分
因为，所以方程为，
即：，13分
又因为，
所以，，
所以直线经过原点．17分