高二数学第三次月考卷（上海专用，沪教版2020必修第三册全册）2024+2025学年高中上学期第三次月考.zip

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪教版2020必修第三册全册。
5．难度系数：0.65。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为 ．
【答案】平行或相交
【解析】若空间中两条直线、确定一个平面，则、平行或相交.
故答案为：平行或相交.
2．袋子里装有大小与质地均相同的1个红球、1个白球和1个黑球，从中任取一个球，观察其颜色，该随机试验的样本空间中的样本点为 ．（只需写出一个）
【答案】（白球）（答案不唯一）
【解析】所有的样本点为（白球），（黑球），（红球），
故答案为：（白球）（答案不唯一）
3．某人抛掷一枚质地均匀的硬币10次，其中正面朝上7欠，则该硬币正面朝上的频率为 ．
【答案】/0.7
【解析】某人抛掷一枚质地均匀的硬币10次，其中正面朝上7欠，则该硬币正面朝上的频率为.
故答案为：.
4．若一个球的体积是，则这个球的表面积是 ．
【答案】
【解析】设球的半径为，则，解得，
所以这个球的表面积为.
故答案为：.
5．“直线平面”是“m垂直平面内无数条直线”的 条件．
【答案】充分不必要条件
【解析】“直线平面”“垂直于平面内无数条直线”成立；
“垂直于平面内无数条直线”“直线平面”不成立；因为无数条直线可以是平面内平行的直线；
故“直线平面”是“垂直于平面内无数条直线”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要条件.
6．如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形周长是 ．
【答案】
【解析】如图所示，
在直观图中，设与交于点，则，，，
在原图形中，，，，，
所以原图形的周长是．
故答案为：．
7．已知正方形所在的平面，且，，则和平面所成角的大小为 ．
【答案】30°/
【解析】由于平面，平面，
所以,,
设正方形的边长为，
则,即，
解得，，
所以，，
由于为和平面所成角，
故,故，
故答案为：30°
8．在某演讲比赛中，七位评委对甲参赛选手的评分如图茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的方差为 ．
【答案】/1.6
【解析】由茎叶图可知评委打出的最低分78，最高分94．
其余得分为85，85，85，87，88，故平均分为，
方差为．
故答案为：.
9．如图，在三棱锥D-AEF中，分别是DA，DE，DF的中点，B，C分别是AE，AF的中点，设三棱柱的体积为，三棱锥D-AEF的体积为，则 ．
【答案】
【解析】设三棱柱的高为，则三棱锥的高为，
由题意知：，
，
故答案为：.
10．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论：其中所有正确的结论序号是 ．
（1）BM与ED平行； （2）CN与BE是异面直线；
（3）CN与BM成； （4）DM与BN垂直；
【答案】（3）（4）
【解析】将该正方体的平面展开图还原得到如图所示：
对于（1）：显然是异面直线，故（1）不正确；
对于（2）：在正方体中，,,所以四边形是平行四边形，所以，故（2）不正确；
对于（3）：连接，结合（2）由，所以为异面直线与所成的角，显然 ，所以为等边三角形，所以，故（3）正确；
对于（4）：因为在正方体中，面，且在面内，
所以，又因为四边形是正方形，所以,
因为且在面内，在面内，所以面，
又因为在面内，所以，故（4）正确；
故答案为：（3）（4）.
11．设、为两个随机事件，给出以下命题：
（1）若、为互斥事件，且，，则；
（2）若，，，则、为相互独立事件；
（3）若，，，则、为相互独立事件；
（4）若，，，则、为互斥事件；
其中正确命题的个数为 ．
【答案】3
【解析】若，为互斥事件，且，，
则，故（1）错误；
若，，，则，
则由相互独立事件乘法公式知，为相互独立事件，故（2）正确；
若，，所以，
又，则，
由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知，为相互独立事件，故（3）正确；
若，，
又，所以，
则事件，不能同时发生，故事件，为互斥事件，故（4）正确；
综上，正确命题的个数为3.
故答案为：3.
12．如下图，已知四边形均为正方形，先将矩形沿折起，使二面角的大小为，再将正方形沿折起，使二面角的大小为，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 ．
【答案】/0.75
【解析】如图，
作交于，作，交于,
在平面内，由平面.
在平面内，由面.又因为与全等，
设平面为平面，平面为平面，平面为平面.
由面积射影定理知：
同理可得
所以，
故有.
故答案为：.
二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)
13．①一次数学考试中，某班有12人的成绩在100分以上，30人的成绩在90～100分，12人的成绩低于90分，现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况；②运动会的工作人员为参加接力赛的6支队伍安排跑道．针对这两件事，恰当的抽样方法分别为（ ）
A．分层抽样，简单随机抽样B．简单随机抽样，简单随机抽样
C．简单随机抽样，分层抽样D．分层抽样，分层抽样
【答案】A
【解析】对于①：考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差异，用分层随机抽样比较恰当；
对于②：总体包含的个体较少，用简单随机抽样比较恰当．
故选：A
14．某单位共有A、B两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如下.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为，，方差分别为，，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】根据频率分布条形图可知，，即；
显然A部门得分数据较B部门更为集中，其方差更小，即；
故选：C
15．若一个圆锥和一个半球有公共底面，且圆锥的体积恰好等于半球的体积，则该圆锥的轴截面的顶角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】几何体的轴截面如图所示，设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，则球的半径也为，
因为圆锥的体积恰好等于半球的体积，
所以，得，
所以，
设圆锥的轴截面的顶角为，则
，
故选：C.
16．如图，已知正方体，点P是棱的中点，设直线为a，直线为b．对于下列两个命题：①过点P有且只有一条直线l与a、b都相交；②过点P有且只有两条直线l与a、b都成角．以下判断正确的是（ ）
A．①为真命题，②为真命题B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题D．①为假命题，②为假命题
【答案】B
【解析】如下图所示，在侧面正方形 和再延伸一个正方形和，则平面 和 在同一个平面内，所以过点P，有且只有一条直线l，即 与a、b相交，故①为真命题；
取中点N，连PN，由于a、b为异面直线，a、b的夹角等于 与b的夹角.由于 平面，平面，，所以平面，所以与 与b的夹角都为 .又因为平面，所以与 与b的夹角都为，而，所以过点P，在平面内存在两条直线，使得与a与b的夹角都为，同理可得，过点P，在平面内存在两条直线，使得与与b 的夹角都为，故②为假命题.
故选：B
三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)
17．如图所示，圆柱的母线长为2，矩形是经过的截面，点为母线的中点，点为弧的中点.
(1)求异面直线与所成角的大小；
(2)若圆柱的侧面积为，求直线与平面所成角的正弦值的大小.
【解析】（1）连接，则，
所以是异面直线与所成角（或其补角）， (2分)
因为点为弧的中点，所以，
所以异面直线与所成角为； (6分)
（2）设圆柱底面半径为，由已知，则，
连接，因为平面，
所以是直线在平面上的射影，
所以是直线与平面所成的角， (8分)
，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值为. (14分)
18．已知三棱锥中，平面为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点.

(1)求直线与平面所成的角的正切值；
(2)证明：平面平面，并求直线到平面的距离.
【解析】（1）

因为平面，连接，
则即为直线与平面所成的角， (2分)
又，，，
为中点，可得，，
所以，
即直线与平面所成的角的正切值为. (6分)
（2）由题知，平面，平面，
，平面，
所以平面平面. (8分)
因为平面，平面，
所以， (10分)
又，平面，，
所以平面，又平面，
所以就是直线到平面的距离，
又为中点，
则，
即直线到平面的距离为. (14分)
19．某篮球特色学校调查学生投篮技能情况，请每个学生投篮5次并记录进球数，随机抽取高一年级和高二年级各100名学生的进球数作为样本，结果统计如下（其中，）；
(1)请写出高二年级样本的中位数；
(2)若高一年级样本的平均数为，求的值；
(3)在这200名学生中，高一高二年级各选取1人，若“至少有一个人的进球数为2”的概率是，求的值；
【解析】（1）因为高二年级进球数不超过个的人数为人，
不超过个的人数为人，
所以高二年级样本的中位数为个； (2分)
（2）因为高一年级样本的平均数为3.2，
所以，
即，
又因为，
所以，
联立方程，解得，
即的值为； (6分)
（3）由题意可知，高一人中进球数为的有人，
则随机抽一人进球数为的概率为；
高二人中进球数为的有12人，
则随机抽一人进球数为的概率为， (10分)
所以“至少有一个人的进球数为”的概率，
解得． (14分)
20．在三棱柱中，，，，，分别为的中点.
(1)证明：平面∥平面；
(2)证明：平面⊥平面；
(3)若为线段上的动点，求二面角的平面角的余弦值的取值范围．
【解析】（1）三棱柱中，四边形为平行四边形，分别为的中点，所以，且，
又因为，且，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又由于面，面，所以面， (2分)
在中，，且，同理，且，
所以，又由于面，面，所以面，
又面，，平面，
所以平面∥平面； (4分)
（2）连接 ， ，
因为 ，所以 ，又因为 ，且，所以 ，
因为 ， 平面 ，且 ，
所以 平面 ，因为 平面 ， (6分)
所以 ，在 中， ， ，
，
由余弦定理求得 ，
则 ， ， (8分)
因为，所以 ，解得 ，
在，， ，可知，又，
在中，，因此 ．
由（1）知， ，且 ， 平面 ，且 ，
所以 平面，
因为 平面 ，因此平面 平面 ． (10分)
（3）设，，，
所以到平面的距离为， (12分)
在平行四边形中，计算得，
在中可得，
在平行四边形中，计算得， (14分)
在中可得，
在中，，
所以到的距离为，
设二面角的平面角为，. (18分)
21．如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，经过，，三点的平面记为平面，点是侧面内的动点，且.

(1)设平面，求证：；
(2)平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比（其中）；
(3)当最小时，求三棱锥的外接球的表面积.
【解析】（1）连接，因为且，所以为平行四边形，
所以，平面，平面，所以平面， (2分)
又平面，平面，所以. (4分)

（2）在正方形中，直线与直线相交，
设，连接，设，连接，
由为的中点，得为的中点，，
所以平面即为平面， (6分)
因为为的中点，所以为的中点，
所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台，
因为正方体的棱长为，
所以
，
另一部分几何体的体积，
两部分的体积． (10分)
（3）取的中点，的中点，连接、、、，
显然，，所以，平面，平面，
所以平面，
又为的中点，所以且，又且，
所以且，
所以为平行四边形，所以，
平面，平面，
所以平面， (12分)
又，平面，所以平面平面，
又点是侧面内的动点，且，
所以在线段上，又，
即为等腰三角形，所以当为的中点时最小， (14分)
因为为等腰直角三角形，所以其外接圆的圆心为斜边的中点，设为，
令，则为的中点，连接，则，所以平面，
所以球心在上，设球心为，连接、、，
设外接球的半径为，，则，
又，，
所以，，解得，则，
所以外接球的表面积. (18分)
进球数
0
1
2
3
4
5
高一人数
4
2
b
42
12
高二人数
3
1
12
44
33
7