高二数学第三次月考卷（北师大版2019选修：圆锥曲线+空间向量与立体几何+计数原理1~3节）2024+2025学年高中上学期第三次月考.zip

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大版（2019）选修一第二章圆锥曲线（28%），第三章空间向量与立体几何（51%），第五章计数原理1~3节（21%）。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是（ ）
A．B．C．21D．210
【答案】D
【详解】根据分步乘法计数原理，不同的选法有种.
故选：D
2．如图，在边长为1的正方体中，若点是侧面的中心，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意得为的中点，所以
，
故．
故选：D
3．已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意，得，即，
所以抛物线方程为.
故选：D.
4．空间内有三点，则点P到直线EF的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，所以直线EF的一个单位方向向量为．
因为，所以点P到直线EF的距离为．
故选：A
5．如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用向量，，表示向量，设，则x，y，z的值分别为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由题设，
结合，得，
故选：C
6．已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【详解】圆的圆心为，半径，
双曲线的渐近线方程为，即，
因为，
所以圆心到双曲线的渐近线的距离，
所以，即，所以，
即该双曲线的离心率为.
故选：D.
7．如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形ABCD是正方形，，点是与的交点，则直线与所成角的余弦值为（ ）

A．1B．C．D．
【答案】B
【详解】取的中点，连接，，因为，所以直线与所成角即为与所成的角，所以，

所以，
即，又因为，
所以，所以直线与所成角的余弦值为.
故选：B．
8．一种糖果的包装纸由一个边长为3的正方形和两个等腰直角三角形组成（如图1），沿，将这两个三角形折起到与平面垂直（如图2），连接，若点满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】A
【详解】由，得，所以四点共面，即点是平面上的动点，
所以的最小值即点到平面的距离，由题意，几何体可补成边长为3的正方体，如图，
则可得，设点到平面的距离为，
则，即，
解得．所以的最小值为．
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某市文化局组织了一次“送戏下乡”活动，共有个节目，且小品和相声各一个，若小品不排在第一位，相声不排在最后一位，则不同的排法种数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【详解】直接法：
若小品排在最后一位，有种不同的排法；
若小品排在第二到第六位之间，则相声可以排在除最后一位和小品占据以外的任何位置，有种不同的排法；
则共有种不同的排法，A正确；
间接法：
不管条件限制共有种不同的排法；
当小品在第一位或相声在最后一位时，有种不同的排法，
当小品在第一位且相声在最后一位时，有种情况；
故共有，D正确；
故选：AD.
10．给出以下命题，其中错误的是（ ）
A．平面的法向量分别为，则
B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直
D．平面经过三个点，向量是平面的法向量，则
【答案】ABD
【详解】对于A，由可知两向量不具有倍数关系，故不平行，A错误；
对于B，由于，，则，
故，则或，B错误；
对于C，由于，即得，C正确；
对于D，由于，故，
向量是平面的法向量，则，解得，
故，D错误，
故选：ABD
11．已知曲线．点，，则以下说法正确的是（ ）
A．曲线C关于原点对称
B．曲线C存在点P，使得
C．直线与曲线C没有交点
D．点Q是曲线C上在第三象限内的一点，过点Q向作垂线，垂足分别为A，B，则
【答案】CD
【详解】当时，曲线，即；
当时，曲线，即；不存在；
时，曲线，即；
时，曲线，即；
画出图形如下：

对于A，由图可得A错误，故A错误；
对于B，方程是以为上下焦点的双曲线，
当时，曲线C存在点P，使得，故B错误；
对于C，一三象限曲线的渐近线方程为，所以直线与曲线C没有交点，故C正确；
对于D，设，设点在直线上，点在直线，
则由点到直线的距离公式可得
，，
所以，
又点Q是曲线C上在第三象限内的一点，
代入曲线方程可得，故D正确；
故选：CD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．甲、乙等6位同学去三个社区参加义务劳动，每个社区安排2位同学，每位同学只去一个社区，则甲、乙到同一社区的不同安排方案共有 .
【答案】18
【详解】根据题意，安排6位同学到社区参加义务劳动可分成两步：
第一步，将6位同学分成3组，要求甲、乙一组，其余4位同学平均分组，
则有种分组方法；
第二步，将分好的3组全排列，安排到三个不同的社区，有种情况；
则由分步计数原理可得，
甲、乙到同一社区的不同安排方案共有种不同的安排方法.
故答案为：18.
13．已知点在椭圆上，点在直线上，则的最小值为 .
【答案】
【详解】如图，由直线的方程与椭圆的方程可以知道，直线与椭圆不相交．
设与直线平行的直线与椭圆相切，

由，得，
则，解得，
由图可知，当时，直线与椭圆的切点到直线的距离最近，
又直线与直线间的距离，
所以.
故答案为：##.
14．在三棱锥中建立空间直角坐标系后，得到，则三棱锥的体积为 ，三棱锥外接球的表面积为 .
【答案】；.
【详解】由题意得，，
所以有，
且，
则，平面，平面，且，
故平面.
又，所以，又，
所以是正三角形，则，
故三棱锥的体积；
设三棱锥外接球的球心，
则由可得，
方程组，
解得，故，所以.
则外接球半径为，
则三棱锥外接球的表面积.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）（1）解方程:
（2）计算
（3）解不等式.
【详解】（1）因为 所以,----------------------------2分
又因为，所以，解得.-------------------------------------------------------4分
（2）由 . ------8分
（3）因为所以 ---------------------------------10分
因为，所以，即 ，解得，-------------------------------12分
所以，又，所以或.--------------------------------------------------------------------------13分
16．（15分）已知椭圆与双曲线有公共焦点，与在第一象限的交点为，且.
(1)求与的方程；
(2)记的上顶点为的左顶点为，直线与的另一个交点为，求.
【详解】（1）因为，所以，
记，则.-----------------------------------------------------------------------2分
由椭圆的定义可得，.----------------------4分
由双曲线的定义可得，.--------------------------6分
所以的方程为的方程为.----------------------------------------------7分
（2）由题意得，则直线的方程为.-----------------9分
设.
联立得--------------------------------------------------------------11分
所以.所以，------------------------------------------------------------------13分
所以.-------------------------------------------------15分
17．（15分）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，．

(1)用分别表示．
(2)若，求：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
【详解】（1）如图，连接，

因为六边形为正六边形，
所以，则，----------------------------------------------------------2分
所以，；---------5分
（2）因为六边形为正六边形，所以，--------------------6分
又，
所以，-----------------8分
（i）；--------11分
（ii）因为，-----13分
所以.------------------------15分
18．（17分）已知抛物线：，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为．
(1)若到抛物线准线的距离为，求的值；
(2)当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离；
(3)直线：，抛物线上有一异于点的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围．
【详解】（1）抛物线：的准线为，由于到抛物线准线的距离为，
则点的横坐标为，则，解得；-------------------------3分
（2）当时，点的横坐标为，则，------------------------------4分
设，则的中点为，----------------------------------------------------5分
由题意可得，解得，----------------------------------------------------6分
所以，则，---------------------------------------------------7分
由点斜式可得，直线的方程为，即，----------------8分
所以原点到直线的距离为；---------------------------------------9分
（3）如图，


设，则，------------------10分
故直线的方程为，令，可得，
即，----------------------------------------------------------------------12分
则，依题意，恒成立，
又，则最小值为，
即，即，------------------------------------------------------14分
则，解得，---------------------------------------------------15分
又当时，，当且仅当时等号成立，
而，即当时，也符合题意．故实数的取值范围为．---------------------17分
19．（17分）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥，，，再分别以，，为轴将，，分别向上翻转，使，，三点重合为点所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为.
(1)求蜂房曲顶空间的弯曲度；
(2)若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设
（i）用表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积；
（ii）当蜂房表面积最小时，求其顶点的曲率的余弦值.
【详解】（1）蜂房曲顶空间的弯曲度为顶端三个菱形的7个顶点的曲率之和，
根据定义其度量值等于减去三个菱形的内角和，--------------------------2分
再减去6个直角梯形中的两个非直角内角和，--------------------------------------3分
即蜂房曲顶空间的弯曲度为.-------------------------------------4分
（2）（i）如图所示，连接AC，SH，则，设点在平面的射影为O，
则，则，-------------------------------6分
菱形SAHC的面积为，--------------------------------------------------7分
侧面积，--------------------------------------------8分
所以蜂房的表面积为.---------------------9分
（ii），-------------------------10分
令得到，------------------------------------------------------------------------------11分
所以在递增；在递增.
所以在处取得极小值，也即是最小值.-------------------------------------------13分
此时，在中，令，由余弦定理得，------------------------------------------------------------------14分
又顶点的曲率为，
----------------------------15分
.----------------------------------------------17分